Измеримая функция

[Хорхе]

Бьюсь и не могу ответить на простой вопрос.

Пусть $h$ --- такая измеримая функция на $[0,\infty)$, что $h(x)\to \infty$ при $x\to\infty$.

Известно, что существуют последовательности $s^1_n,s^2_n,a^1_n,a^2_n$, все стремящиеся к бесконечности, и измеримые функции $k^1,k^2$, что для всех $x$

$$ f(x+s^i_n)-a_n^i \to k^i(x), n\to \infty, i=1,2 $$

Вопрос: обязательно ли функции $k^1,k^2$ отличаются на константу?

-- Пн июл 20, 2009 19:13:37 --

Вопрос решен, можно закрывать.

[Mikhail Sokolov]

Извиняюсь, а можно решение в студию?

Я пытался рассуждать так.
Имеем: $f(x+t)-g(t) \to k(x)$.
$k(x)= \lim [f(x+y+t)-g(t)-g(y+t)+g(t)] = k(x+y) - \lim [g(y+t)-g(t)]$.
Последний предел необходимо существует, поскольку существуют оставшиеся два. Обозначим этот предел за $h(y)$. Тогда получим функциональное уравнение Коши относительно функции $k$: $k(x+y)=k(x)+h(y)$. Дальше надо выяснить, достаточно ли наложенных на $f$ условий для того, чтобы решением этого уравнения являлась линейная функция: $k(x)=ax+b$...

[Хорхе]

Необязательно, естественно.

$h(x) = x(1+\sin x/2)$, $s_n^i = a_n^i = (-1)^i \pi/2 + 2\pi n$.