Квадратичное расширение и геометрические построения

[BVR]

Построение правильных многоугольников - Теорема Гаусса-Ванцеля
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0% ... 0%BB%D1%8F
И там же написано про 17-ти угольник.
А про доказательство теоремы о разрешимости задачи на построение циркулем и линейкой тоже видел. щас посмотрю...

-- Вт июл 14, 2009 22:02:49 --

Нашёл. Старый пединститутский учебник:
Базылев В. Т., Дуничев К. И. Геометрия, том II, раздел 3, глава 3, параграф 25. (у меня эта книжка 1975 года)
Но там сначала приводится аксиоматика построений ЦиЛ. Потом "туда" доказывается, что если можно выразить, то даются основные построения. А "обратно", что если можно построить отрезок по его выражению через другие отрезки, то координаты его концов содержат конечное множество рациональных операций и извлечения квадратных корней" , поскольку простейшие построения (которые там вводятся сразу после аксиом) ничего другого дать и не могут.

[e7e5]

Спасибо за ссылку на теорему Гаусса-Ванцеля.

Ясно, что правильными многоугольниками дело не ограничивается.

Можно рассмотреть такую задачу:

Для произвольной точки $A(x_0,y_0)$, принадлежащей первой четверти, проводится прямая, так что длина отрезка заключенного между осями $Ox$ и $Oy$ равна $s$.

Какое должно быть соотношение между координатами точки $A$ и длиной $s$, чтобы с помощью циркуля и линейки можно было провести такую прямую?

[мат-ламер]

Составьте уравнение прямой, проходящей через точку. Найдите точки пересечения этой прямой с осями. Найдите расстояние между этими точками. Вы получите, что эти три величины $(x_0, y_0, s)$ связывает квадратичная зависимость. Отсюда следует, что если эти величины рациональны или получаются при помощи не более чем квадратичных иррациональностей, то построить такую прямую можно.

[e7e5]

мат-ламер в сообщении #229020 писал(а):

Составьте уравнение прямой, проходящей через точку. Найдите точки пересечения этой прямой с осями. Найдите расстояние между этими точками.

Уравнение прямой в отрезках:
$\frac {x} {a} + \frac {y} {b} =1$,

длина отрезка:
$a^2+b^2 \equiv s$

Отсюда выражаем $a$, получилось уравнение четвертой степени:
$a^4-2x_0 a^3+(x_0^{2} +y_0^{2}-s^2)a^2+2s^2x_0a-s^2x_0^{2}=0$

переносим в правую часть уравнения с противоположными знаками все члены, степень которых не выше двух:
$a^4-2x_0 a^3=-(x_0^{2} +y_0^{2}-s^2)a^2-2s^2x_0a+s^2x_0^{2}$,
к обеим частям уравнения прибавим $x_0^{2} a^2$, так что в левой части получится полный квадрат:

$(a^2-x_0 a)^2=-(x_0^{2} +y_0^{2}-s^2)a^2+x_0^{2}a^2-2s^2x_0a+s^2x_0^{2}$

[Батороев]

e7e5 в сообщении #228843 писал(а):

Можно рассмотреть такую задачу:

Для произвольной точки $A(x_0,y_0)$, принадлежащей первой четверти, проводится прямая, так что длина отрезка заключенного между осями $Ox$ и $Oy$ равна $s$.

Какое должно быть соотношение между координатами точки $A$ и длиной $s$, чтобы с помощью циркуля и линейки можно было провести такую прямую?

Не совсем понял, что может означать: "невозможность построения с помощью циркуля и линейки" для данной задачи?
Если для каких-то вариантов отношений упомянутых величин такое построение возможно, то какие могут быть препятствия для построений в других соотношениях (кроме шуточных: короткая линейка, маленький листок)?
Как мне видится, единственное ограничение - это то, что $ s\geq \sqrt{2}(x_0+y_0) $, т.е. условие существования самого отрезка.

[e7e5]

Батороев в сообщении #229348 писал(а):

Как мне видится, единственное ограничение - это то, что $ s\geq \sqrt{2}(x_0+y_0) $, т.е. условие существования самого отрезка.

Контрпример. точка $A(2,1)$, $s=5$, разве нет такой прямой, проходящей через т. $A$ так, чтобы оси координат $Ox$ и $Oy$ отсекали на этой прямой отрезок длиной $s=5$? Вопрос в том, как построить с помощью циркуля и линейки эту прямую? Сможете?

-- Чт июл 16, 2009 21:59:59 --

e7e5 в сообщении #229258 писал(а):

получилось уравнение четвертой степени:
$a^4-2x_0 a^3+(x_0^{2} +y_0^{2}-s^2)a^2+2s^2x_0a-s^2x_0^{2}=0$

Наверное самое простое порешать с использованием кубической резольвенты.
В теории:
$x^4+a_0x^3+b_0x^2+c_0x+d=0$
можно свести к уравнению
$(x^2+ \frac {a_0 x} {2} + \frac {y} {2})^2=(a_0^{2}/4 -b_0+y)x^2+(a_0y/2-c_0)x+(y^2/4-d_0)$, (I)

кубическая резольвента:
$y^3-b_0y^2+(a_0c_0-4d_0)y-(d_0(a_0^{2}-4b_0)+c_0^{2})=0$
если найти какой-нибудь корень $y_0$, то правая часть превратится в полный квадрат, так что дальше найдутся корни.

Сравнивая с получившимся уравнением у меня получилась такая резольвента:

$y^3-(x_0^{2}+y_0^{2}-s^2)y^2-2s^2x_0^{2}(2y_0^{2}-2s^2+1)=0$

Какой же есть хоть один подходящий корень у этой резольвенты?

[Алексей К.]

e7e5 в сообщении #229514 писал(а):

Контрпример. точка $A(2,1)$, $s=5$, разве нет такой прямой, проходящей через т. $A$ так, чтобы оси координат $Ox$ и $Oy$ отсекали на этой прямой отрезок длиной $s=5$?

Это пока не контрпример, а скорее, неправильное прочтение Батороева. Согласно ему, такая прямая существует, ибо условие существования самого отрезка $5>\sqrt2\cdot (1+2)$ выполнено.

-- 17 июл 2009, 16:17 --

e7e5 в сообщении #229514 писал(а):

Сравнивая с получившимся уравнением у меня получилась такая резольвента:

$y^3-(x_0^{2}+y_0^{2}-s^2)y^2-2s^2x_0^{2}(2y_0^{2}-2s^2+1)=0$

Какой же есть хоть один подходящий корень у этой резольвенты?

Все корни этой резольвенты подходящие, естессно. Другое дело, что они бесконечно муторны, а если и упрощаются слегка, то тоже муторно. И для решения задачи нужен не какой-нибудь, а все три.

При желании попробовать этот метод (Декарта-Эйлера кажется он называется) можете порешать уравнение $x^4+6x^2+8ax-3=0$. У меня оно случилось недавно по жизни, решения относительно легко записались явно, и резольвента щадящая оказалась.

-- 17 июл 2009, 16:24 --

Подстановка $x_0=s\cos\theta,\;y_0=s\sin\theta$ напрашивается (сразу напрашивалась, в смысле на уровне уравнения прямой).

[Батороев]

Через точку $A$ можно провести два отрезка заданной длины.
Никто не задумывался над тем, равны ли расстояния между концами обоих отрезков по оси $OX$ и по оси $OY$?

У меня такой вопрос возник, когда через теорему Пифагора попытался выразить длины обоих отрезков.
Допустим, координаты концов отрезков: первого $(x_1, 0)$; $(0, y_1)$, второго $(x_2,0)$; $(0, y_2)$.
Тогда можно записать:
$ s^2 = (y_1-y_0)^2+x_0^2+y_0^2+(x_1-x_0)^2 = (x_2-x_0)^2+x_0^2+y_0^2+(y_2-y_0)^2$
Откуда получил:
$ (x_1-x_0)^2-(x_2-x_0)^2=(y_2-y_0)^2-(y_1-y_0)^2 $,
что хотя и не доказывает этот факт, но вызывает некоторое подозрение.

-- Сб июл 18, 2009 02:57:53 --

Другими словами, не с антипараллелограммом ли ($x_1x_2y_1y_2$) мы имеем дело?

[Алексей К.]

Не равны. Повозясь ещё чуть чуть ($x_2=x_1+\Delta x,\;\ldots$), увидим, что не равны, кроме случаев $x_0=y_0$ либо $\Delta x=0$.

[Батороев]

Алексей К. в сообщении #229831 писал(а):

Не равны. Повозясь ещё чуть чуть ($x_2=x_1+\Delta x,\;\ldots$), увидим, что не равны, кроме случаев $x_0=y_0$ либо $\Delta x=0$.

Да, согласен, что это не антипараллелограмм, т.к. вдобавок, углы попарно не равны.

e7e5 в сообщении #229514 писал(а):

Контрпример. точка $A(2,1)$, $s=5$, разве нет такой прямой, проходящей через т. $A$ так, чтобы оси координат $Ox$ и $Oy$ отсекали на этой прямой отрезок длиной $s=5$? Вопрос в том, как построить с помощью циркуля и линейки эту прямую? Сможете?

Чертежными методами такое построение выполняется запросто:
Раздвигаем циркуль на $\dfrac {s}{2} $.
Одну иглу втыкаем в т. $O$, вторую в кромку линейки на том же расстоянии $\dfrac{s}{2}$ от начала линейки и всю эту конструкцию поворотом циркуля вокруг начала координат против часовой стрелки и перемещением начала линейки вдоль оси $OX$ справа-налево, добиваемся касания кромкой линейки точки $A$. При этом при первом касании не успокаиваемся.
А вот, как построить математическими циркулем и линейкой что-то не догоняю.

[e7e5]

Алексей К. в сообщении #229704 писал(а):

При желании попробовать этот метод (Декарта-Эйлера кажется он называется) можете порешать уравнение $x^4+6x^2+8ax-3=0$. У меня оно случилось недавно по жизни, решения относительно легко записались явно, и резольвента щадящая оказалась.

По методу Декарта -Эйлера для нахождения корней нужно решить кубическое уравнение, оно такое получилось, по сравнению с моим, конечно более щадящее, но все равно...

$z^3+3z^2+3z-a^2=0$

[Алексей К.]

e7e5 в сообщении #229871 писал(а):

по сравнению с моим, конечно более щадящее, но все равно...
$z^3+3z^2+3z-a^2=0$

Не всё равно: уравнение $(z+1)^3-(1+a^2)=0$ из разряда тривиальных.

-- 18 июл 2009, 16:12 --

У меня, правда, резольвента несколько другая была. Возможно, Вы действовали по какому-то другому варианту формул. Я пользовал те, что приведены здесь, в справочной части форума.

[e7e5]

Алексей К. в сообщении #229704 писал(а):

e7e5 в сообщении #229514 писал(а):

Сравнивая с получившимся уравнением у меня получилась такая резольвента:

$y^3-(x_0^{2}+y_0^{2}-s^2)y^2-2s^2x_0^{2}(2y_0^{2}-2s^2+1)=0$

Какой же есть хоть один подходящий корень у этой резольвенты?

Все корни этой резольвенты подходящие, естессно. Другое дело, что они бесконечно муторны, а если и упрощаются слегка, то тоже муторно. И для решения задачи нужен не какой-нибудь, а все три.

Известно, что все корни многочлена четвертой степени, не имеющего корней в области рациональности $P$, тогда и только тогда могут быть построены с помощью циркуля и линейки, когда кубическая резольвента имеет по меньшей один корень, лежащий в области рациональности $P$.

А обратно? Чтобы нельзя было построить?

Для получившейся кубической резольвенты нужно найти условие на дискриминант $D <0$?

[Алексей К.]

e7e5 в сообщении #230495 писал(а):

Известно, что все корни многочлена четвертой степени, не имеющего корней в области рациональности $P$, тогда и только тогда могут быть построены с помощью циркуля и линейки, ...

Поскольку мне это не известно, я в циркульную часть беседы не встреваю. Поговорил только о том, что касалось решения уравнений.

e7e5 писал(а):

Для получившейся кубической резольвенты нужно найти условие на дискриминант $D <0$?

В конце фразы, замечу, стоит знак вопроса. Нужно найти условие или не нужно найти? Тоже не знаю.
Или нужно, чтобы все корни были действительны $\small (D<0)$?
В любом случае, сначала стоило бы взглянуть на этот дискриминант (я, конечно, смотрел, когда повозился с ним и заявил, что оно муторное, но ничего не приглянулось и не сохранилось).

[e7e5]

e7e5 в сообщении #229514 писал(а):

Сравнивая с получившимся уравнением у меня получилась такая резольвента:

$y^3-(x_0^{2}+y_0^{2}-s^2)y^2-2s^2x_0^{2}(2y_0^{2}-2s^2+1)=0$

Дискриминант кубической резольвенты получился такой:

$D=-\alpha[4(x_0^2+y_0^2-s^2)^3+27\alpha]$, где
$\alpha=2s^2x_0^{2}(2y_0^{2}-2s^2+1)$

Какое надо наложить условие на коэффициенты, чтобы кубическая резольвента не имела корней, лежащих в области рациональности $P$? Полученный дискриминант может помочь?