2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 доказать тригонометрическое тождество
Сообщение17.07.2009, 09:26 
Аватара пользователя


24/06/09
16
Dalian, China
доказать $\frac {1-\cos x+\sin x}{1+\sin x+\cos x} = \tg x \frac {x}{2}$ и вычислить $\tg 15^o , \tg 22.5^o$

школьный курс сам по себе, но почему-то этот пример у меня вызвал некие трудности, мало наверное знать формулы тригонометрии, деградирую наверное :lol:

из этого ясно что $\tg x \frac {x}{2} = \frac {\sin x} {\cos x + 1} = \frac {1 - \cos x}{\sin x}$

я пробовал работать с левой частью, выражал тангенс через синус, но это заводило меня в тупик и пришлось начинать сначала и бестолку, уравнение тождеств не получалось

 Профиль  
                  
 
 Re: доказать тригонометрическое тождество
Сообщение17.07.2009, 09:34 
Заслуженный участник


30/01/09
5058
Из Вашего сообщения непонятно, что Вы доказываете. Формула в третьем абзаце должна быть в учебнике (не знаю, как у Вас с этим в Китае) и доказывается просто. Формулу в верхнем абзаце попробуйте доказать исходя из формулы в третьем абзаце.

-- Пт июл 17, 2009 10:36:25 --

Или в верхней формуле перейдите к синусам и косинусам половинного угла.

 Профиль  
                  
 
 Re: доказать тригонометрическое тождество
Сообщение17.07.2009, 09:46 
Заслуженный участник


11/05/08
32089
Apelsincheg в сообщении #229595 писал(а):
доказать $\frac {1-\cos x+\sin x}{1+\sin x+\cos x} = \tg x \frac {x}{2}$

Вообще-то раз уж речь зашла о тангенсе половинного угла, то про него есть стандартные формулы, которые следует помнить безусловно, уж больно часто они используются: если $t=\tg{x\over2},$ то $\sin x={2t\over1+t^2}$ и $\cos x={1-t^2\over1+t^2}.$ Просто подставьте это в левую часть.

 Профиль  
                  
 
 Re: доказать тригонометрическое тождество
Сообщение17.07.2009, 10:15 
Аватара пользователя


24/06/09
16
Dalian, China
ewert
вот их я и использовал, но оперировал не с t, а напрямую с тангенсом, в этом и моя сложность заключалась, гуманитарий влияет :P
спасибо, помогло но как теперь вычислить тангенсы 15 и 22.5 градусов?

мат-ламер
Изображение доказать что левая часть равна правой части, что непонятного?

пс: в Китае как у всех, но я по сканави смотрел решения

 Профиль  
                  
 
 Re: доказать тригонометрическое тождество
Сообщение17.07.2009, 13:20 
Заблокирован


19/09/08

754
Apelsincheg писал - вот их я и использовал, но оперировал не с t, а напрямую с тангенсом, в этом и моя сложность заключалась, гуманитарий влияет спасибо, помогло но как теперь вычислить тангенсы 15 и 22.5 градусов?

Подставляете в левую часть тождества соответственно pi/6 и pi/4 и вычисляете - получите значение правой части.
(предполагается, что вычислитель знает чему равны синус и косинус pi/6 и pi/4) :)

 Профиль  
                  
 
 Re: доказать тригонометрическое тождество
Сообщение17.07.2009, 13:24 
Заслуженный участник


11/05/08
32089
Apelsincheg в сообщении #229603 писал(а):
спасибо, помогло но как теперь вычислить тангенсы 15 и 22.5 градусов?

Т.е. идея банальна: надо просто прочитать это тождество справа налево. Получится правило, сводящее тангенс некоторого угла через характеристики угла, вдвое большего.

 Профиль  
                  
 
 Re: доказать тригонометрическое тождество
Сообщение17.07.2009, 13:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5001
Нов-ск
ewert в сообщении #229674 писал(а):
Т.е. идея банальна: надо просто прочитать это тождество справа налево.
То есть вместо $tg\frac{x}{2}$ читайте $\frac{x}{2}gt$ и т.д. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: доказать тригонометрическое тождество
Сообщение17.07.2009, 13:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13382
с Территории
:lol: ..!кат еж язьлен ,LATOT

 Профиль  
                  
 
 Re: доказать тригонометрическое тождество
Сообщение17.07.2009, 13:40 
Заслуженный участник


11/05/08
32089
TOTAL в сообщении #229677 писал(а):
ewert в сообщении #229674 писал(а):
Т.е. идея банальна: надо просто прочитать это тождество справа налево.
То есть вместо $tg\frac{x}{2}$ читайте $\frac{x}{2}gt$ и т.д. :D

Вы невнимательны: читать следует $\frac{x}{2}x\,\mathrm{gt}.$

(и даже это не совсем точно!)

 Профиль  
                  
 
 Re: доказать тригонометрическое тождество
Сообщение17.07.2009, 13:53 
Заблокирован по собственному желанию
Аватара пользователя


18/05/09
3612
Apelsincheg в сообщении #229595 писал(а):
$\tg {\color{red}x} \frac {x}{2} = $
Apelsincheg, исправьте ошибку, --- уберите лишний ${\color{red}x}$.
Используйте кнопку Изображение для редактирования своего сообщения.

-- Пт июл 17, 2009 15:20:59 --

Примените формулы двойного угла: $\sin x=\sin(2\cdot\frac x2)}=2\sin\frac x2\cos\frac x2$ и т.п.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group