доказать тригонометрическое тождество

[Apelsincheg]

доказать $\frac {1-\cos x+\sin x}{1+\sin x+\cos x} = \tg x \frac {x}{2}$ и вычислить $\tg 15^o , \tg 22.5^o$

школьный курс сам по себе, но почему-то этот пример у меня вызвал некие трудности, мало наверное знать формулы тригонометрии, деградирую наверное

из этого ясно что $\tg x \frac {x}{2} = \frac {\sin x} {\cos x + 1} = \frac {1 - \cos x}{\sin x}$

я пробовал работать с левой частью, выражал тангенс через синус, но это заводило меня в тупик и пришлось начинать сначала и бестолку, уравнение тождеств не получалось

[мат-ламер]

Из Вашего сообщения непонятно, что Вы доказываете. Формула в третьем абзаце должна быть в учебнике (не знаю, как у Вас с этим в Китае) и доказывается просто. Формулу в верхнем абзаце попробуйте доказать исходя из формулы в третьем абзаце.

-- Пт июл 17, 2009 10:36:25 --

Или в верхней формуле перейдите к синусам и косинусам половинного угла.

[ewert]

Apelsincheg в сообщении #229595 писал(а):

доказать $\frac {1-\cos x+\sin x}{1+\sin x+\cos x} = \tg x \frac {x}{2}$

Вообще-то раз уж речь зашла о тангенсе половинного угла, то про него есть стандартные формулы, которые следует помнить безусловно, уж больно часто они используются: если $t=\tg{x\over2},$ то $\sin x={2t\over1+t^2}$ и $\cos x={1-t^2\over1+t^2}.$ Просто подставьте это в левую часть.

[Apelsincheg]

ewert
вот их я и использовал, но оперировал не с t, а напрямую с тангенсом, в этом и моя сложность заключалась, гуманитарий влияет
спасибо, помогло но как теперь вычислить тангенсы 15 и 22.5 градусов?

мат-ламер
доказать что левая часть равна правой части, что непонятного?

пс: в Китае как у всех, но я по сканави смотрел решения

[vvvv]

Apelsincheg писал - вот их я и использовал, но оперировал не с t, а напрямую с тангенсом, в этом и моя сложность заключалась, гуманитарий влияет спасибо, помогло но как теперь вычислить тангенсы 15 и 22.5 градусов?

Подставляете в левую часть тождества соответственно pi/6 и pi/4 и вычисляете - получите значение правой части.
(предполагается, что вычислитель знает чему равны синус и косинус pi/6 и pi/4)

[ewert]

Apelsincheg в сообщении #229603 писал(а):

спасибо, помогло но как теперь вычислить тангенсы 15 и 22.5 градусов?

Т.е. идея банальна: надо просто прочитать это тождество справа налево. Получится правило, сводящее тангенс некоторого угла через характеристики угла, вдвое большего.

[TOTAL]

ewert в сообщении #229674 писал(а):

Т.е. идея банальна: надо просто прочитать это тождество справа налево.

То есть вместо $tg\frac{x}{2}$ читайте $\frac{x}{2}gt$ и т.д.

[ИСН]

..!кат еж язьлен ,LATOT

[ewert]

TOTAL в сообщении #229677 писал(а):

ewert в сообщении #229674 писал(а):

Т.е. идея банальна: надо просто прочитать это тождество справа налево.

То есть вместо $tg\frac{x}{2}$ читайте $\frac{x}{2}gt$ и т.д.

Вы невнимательны: читать следует $\frac{x}{2}x\,\mathrm{gt}.$

(и даже это не совсем точно!)

[AKM]

Apelsincheg в сообщении #229595 писал(а):

$\tg {\color{red}x} \frac {x}{2} = $

Apelsincheg, исправьте ошибку, --- уберите лишний ${\color{red}x}$.
Используйте кнопку для редактирования своего сообщения.

-- Пт июл 17, 2009 15:20:59 --

Примените формулы двойного угла: $\sin x=\sin(2\cdot\frac x2)}=2\sin\frac x2\cos\frac x2$ и т.п.