Задача описания бесконечно дифференцируемой функции.

[Brukvalub]

Осмелюсь предложить для обсуждения достаточно известную , но, тем не менее, интересную, на мой взгляд, задачу:
Что можно сказать о бесконечно дифференцируемой на всей вещественной оси вещественнозначной функции, если имеется всюду плотное на оси множество, в каждой точке которого некоторая ее производная равна нулю?

[незваный гость]

Трудно сказать что-либо. Нельзя, например, утверждать, что это полином.

Пример неполиномиальной функции, обладающей описанными свойствами: ${\rm e}^{a\,x} \cos x $, при $a: \frac{1}{\pi}\arctan a \notin {\mathbb Q}$

[Brukvalub]

То есть Вы предлагаете рассмотреть $f(x) = {\mathop{\rm Re}\nolimits} \;e^{(a + i)x} $ Мне не совсем ясно, почему этот пример удовлетворяет условию задачи.

[незваный гость]

$\frac{\partial^n}{{\partial x}^n} \Re {\rm e}^{(a+i)x} = \Re {\rm e}^{(a+i)x + n \ln (a+i)}$.

$\Re {\rm e}^{(a+i)x + n \ln (a+i)} = 0 \Leftrightarrow$ $\Im((a+i)x + n \ln (a+i)) = \frac{\pi(2k+1)}{2} \Leftrightarrow$ $x + n \Im \ln (a+i) = \frac{\pi(2k+1)}{2}$, или $x = \frac{\pi(2k+1)}{2} - n \Im \ln (a+i)$. Мы выбирали $a$ так, что соотношение коэффициентов при $k$ и $n$ -- число иррациональное. Посему правая часть образует всюду плотное множество.

Посмотрите, пожалуйста, эту тему -- в ней обсуждалась (неподробно) схожая задача. И обратите внимание на это сообщение. Там гораздо более сильное условие, и тем не менее решение требует "тяжелой артилерии".

[Руст]

Таких функций много. Некоторый вид я ранее здесь построил. Можно и явный в виде суммы ряда:

$$\sum_n \frac{P_n(x)}{2^{2^n}} , \ \ \ P_n(x)=\cos{(2^n\arccos x)}.$$

[Brukvalub]

Спасибо за обсуждение задачи.

[matfiz]

Забавно. Если "всюду плотное" теперь заменим на "полной меры"(= "почти всюду", дополнение до множества меры нуль), будет ли тогда полином?