Так о чем арифметика?

[Свободный Художник]

epros в сообщении #229417 писал(а):

Кстати, касательно "чёрточек": Тут в параллельной ветке, обсуждая возможности дать определение тому, что понятие "определено в теории", мы предварительно пришли к выводу, что в теориях, содержащих константы, могут быть определены операции и отношения на вполне конкретных объектах, представляющих собой замкнутые термы теории. Например, для арифметики Пеано таковыми объектами являются строки $0$, $S(0)$, $S(S(0))$, ...

Ну, так это вроде как бы классика:
Агафонов В. Н., Борщев В. Б., Воронков А. А.
Логическое программирование в узком смысле.
В книге: Логическое программирование: Сборник статей. Под ред. Агафонова В. Н.
М.: Мир, 1988, сс. 302 — 303.
http://www.px-pict.com/9/6/4/4/1.html

[epros]

Свободный Художник в сообщении #229440 писал(а):

epros в сообщении #229417 писал(а):

Кстати, касательно "чёрточек": Тут в параллельной ветке, обсуждая возможности дать определение тому, что понятие "определено в теории", мы предварительно пришли к выводу, что в теориях, содержащих константы, могут быть определены операции и отношения на вполне конкретных объектах, представляющих собой замкнутые термы теории. Например, для арифметики Пеано таковыми объектами являются строки $0$, $S(0)$, $S(S(0))$, ...

Ну, так это вроде как бы классика:
Агафонов В. Н., Борщев В. Б., Воронков А. А.
Логическое программирование в узком смысле.
В книге: Логическое программирование: Сборник статей. Под ред. Агафонова В. Н.
М.: Мир, 1988, сс. 302 — 303.
http://www.px-pict.com/9/6/4/4/1.html

Ну так а что Вы тогда спрашиваете "что изучает арифметика" да "в чём природа чисел"? Вот Вам "сами числа" - те самые, которые определены арифметикой: $0$, $S(0)$, $S(S(0))$, ...

Выберем чуть другой синтаксис при формализации теории - получим как раз строки чёрточек...

[Sergey-Cop]

Свободный Художник в сообщении #225556 писал(а):

А сами по себе числа представляют собой нечто совершенно неопределенное и неопределимое…

Получается, что все дискуссии о “природе чисел” бессмысленны.

Числа представляют, как раз таки, количественное измерение.

epros в сообщении #229417 писал(а):

Некоторые вот считают, что только в применениях и состоит ценность теорий.

Например, лично я так считаю. И числа — это как раз то, что есть в природе: Если вы видите какой-либо предмет, а затем замечаете еще нечто похожее на него, то всё вместе (с одинаковыми качественными свойствами) получается количество.

Сначала говорите признак, например, пироги, а затем количество три. (Например, понятие "переменная величина" выражает этот признак, т.е. по которому выполнено количественное измерение). А если игнорировать природу чисел, то получается классический пример ошибки: "два сапога плюс три пирога".

[Свободный Художник]

epros в сообщении #229448 писал(а):

Ну так а что Вы тогда спрашиваете "что изучает арифметика" да "в чём природа чисел"? Вот Вам "сами числа" - те самые, которые определены арифметикой: $0$, $S(0)$, $S(S(0))$, ...

Выберем чуть другой синтаксис при формализации теории - получим как раз строки чёрточек...

Ну, а что же их (“самих чисел”!!!) нет, например, в книге Дэвенпорта?
Дэвенпорт Г. Высшая арифметика.
Введение в теорию чисел.
М.: Наука, 1965.
http://www.px-pict.com/7/4/1/2/1.html

Не о числах она, что ли, книга Дэвенпорта-то?
Даже упоминания об аксиоматике Пеано в ней нету (о, ужас!).
Вместе с тем, в ней есть параграф под названием “законы арифметики”:
http://www.px-pict.com/7/4/1/2/1/3.html

В этом параграфе собраны неформально записанные предложения, которые впоследствии играют роль аксиом при дедуктивном развитии теории, изложенной в книге.
Так вот, если арифметика – это “наука о числах”, то логично было бы предположить, что и “законы арифметики” должны быть “законами о числах”.
Но те “законы”, которые приведены у Дэвенпорта, не выглядят как “законы о числах”. Они выглядят вот именно как “законы об операциях” (как законы о свойствах определенных операций и отношений, заданных на числах). Сами же числа как сепульками были, так сепульками и остаются. Приведенная у Дэвенпорта аксиоматика устанавливает только общую структуру числовой системы, а “природа” самих чисел остается неопределенной во всех отношениях, кроме одного, -- что она согласуется с этой структурой (если еще раз вспомнить слова Клини).
----------------

Конечно, в определенном смысле синтаксические объекты $0, S(0), S(S(0)), $… более других способны претендовать на роль “платиново-иридиевый эталонов” для натуральных чисел. Но даже если не на минуту не забывать о важных практических приложениях арифметики, все ли юзеры согласятся работать с этими эталонами?
Кассирши на кассах точно не согласятся.

Кстати, и сами эталоны могут оказаться ненадежными:
http://blog.physicsdepartment.ru/etalony-fizicheskih-velichin/
http://www.ideafind.ru/russia/Kilogramm-nynche-uzhe-ne-tot/
----------------

Вместо фетишизации “эталонов” я хочу призвать Вас проникнуться Великой Идеей Изоморфизма систем объектов (носящей общематематический характер).

Свободный Художник в сообщении #229263 писал(а):

Разве Вам неведомо, что в математике изучаются системы объектов с точностью до изоморфизма? Что как раз-то и предполагает, что “объекты” (т. е. элементы множества-носителя системы) – это ничто, тогда как отношения между объектами – это все.
Именно отношения между объектами характеризуются в аксиоматике, а не сами объекты.
В этом суть гильбертовского подхода к аксиоматике геометрии и в этом суть цитировавшихся выше пассажей Гудстейна, сравнившего арифметику с шахматной игрой.

При изоморфных отображениях сохраняется общая структура системы, а не ее объекты. Так что числа вполне могут стать фигурами, лишь бы отношения между ними сохранились.

Принятые в математике аксиоматики характеризуют системы объектов с точностью до изоморфизма.

[ewert]

Свободный Художник в сообщении #229608 писал(а):

Но те “законы”, которые приведены у Дэвенпорта, не выглядят как “законы о числах”. Они выглядят вот именно как “законы об операциях” (как законы о свойствах определенных операций и отношений, заданных на числах).

Числа становятся числами только после того, как на них определены операции -- и ровно настолько, насколько эти операции определены.

[AGu]

Свободный Художник в сообщении #229608 писал(а):

Принятые в математике аксиоматики характеризуют системы объектов с точностью до изоморфизма.

Я был бы счастлив (честно), если бы это было так.
Увы, в математике полно «некатегоричных» теорий, т.е. теорий, имеющих неизоморфные модели. К еще большему моему сожалению, арифметика Пеано попадает в их число.

[epros]

Свободный Художник в сообщении #229608 писал(а):

Ну, а что же их (“самих чисел”!!!) нет, например, в книге Дэвенпорта?

Это Вы у него спросИте.

Свободный Художник в сообщении #229608 писал(а):

В этом параграфе собраны неформально записанные предложения, которые впоследствии играют роль аксиом при дедуктивном развитии теории, изложенной в книге.
Так вот, если арифметика – это “наука о числах”, то логично было бы предположить, что и “законы арифметики” должны быть “законами о числах”.
Но те “законы”, которые приведены у Дэвенпорта, не выглядят как “законы о числах”. Они выглядят вот именно как “законы об операциях” (как законы о свойствах определенных операций и отношений, заданных на числах). Сами же числа как сепульками были, так сепульками и остаются.

Вот именно, что собираются "неформально записанные предложения", "которые впоследствии играют роль аксиом", т.е. потом формализуются. А Вы предпочитаете забыть с чего мы начали: с неформального "сбора" свойств того, что мы считаем "числами". В этом и состоит реальный путь развития идеи "числа": никто не хватает с неба аксиом, описывающих абстрактный объект, всё начинается с применения понятия, в ходе которого мы осознаём его полезность, и только потом мы это понятие формализуем (чтобы не было неоднозначного понимания разными людьми).

Натуральное число возникло не в виде аксиоматики Пеано, а как результат практики счёта. И всё начиналось с конкретных представлений чисел, таких как пальцы, камушки или зарубки на дереве. А уж затем, как формализация "общепризнанных" свойств этих зарубок на дереве, возникли аксиомы. Естественно, в связке с операциями над ними.

Свободный Художник в сообщении #229608 писал(а):

Конечно, в определенном смысле синтаксические объекты $0, S(0), S(S(0)), $… более других способны претендовать на роль “платиново-иридиевый эталонов” для натуральных чисел. Но даже если не на минуту не забывать о важных практических приложениях арифметики, все ли юзеры согласятся работать с этими эталонами?
Кассирши на кассах точно не согласятся.

Это не проблема кассирш, а проблема тех математиков, которые избрали такой способ формализации теории. Очевидно, интересы кассирш их не беспокоили. Но арифметику натуральных чисел можно без труда формализовать и таким образом, что "синтаксическими объектами", обозначающими числа, в ней будут именно строки десятичных цифр, к которым привыкли кассирши.

[Yarkin]

epros в сообщении #229685 писал(а):

Натуральное число возникло не в виде аксиоматики Пеано, а как результат практики счёта. И всё начиналось с конкретных представлений чисел, таких как пальцы, камушки или зарубки на дереве. А уж затем, как формализация "общепризнанных" свойств этих зарубок на дереве, возникли аксиомы. Естественно, в связке с операциями над ними.

Под "пальцами" и "камушками" числа не представлялись - о них не знали. Под ними подразумевались конкретные пересчитываемые объекты, т. е. они являлись материальными моделями этих объектов. Зарубки или черточки - это первые абстрактные модели тех же самых объектов.

[Sergey-Cop]

Yarkin в сообщении #230003 писал(а):

epros в сообщении #229685 писал(а):

Натуральное число возникло не в виде аксиоматики Пеано, а как результат практики счёта...

Под "пальцами" и "камушками" числа не представлялись - о них не знали. Под ними подразумевались конкретные пересчитываемые объекты, т. е. они были материальными моделями этих объектов. Зарубки или черточки - это первые абстрактные модели тех же самых объектов.

Ну, чтобы изобразить количество, нет принципиальной разницы между камушками и черточками. А вот чтобы выполнять сложение и вычитание, то камушки хорошая материальная модель. Особенно, если камушки нанизаны на прутья... т.е. если это счеты.

Мне непонятно, почему это абстрактны именно зарубки и черточки, а камушки, которыми изображается то же самое количество...

Ну, допустим, о числах не знали. Но сообщить о количестве показав все пальцы руки, и произнося "рука" или "пальцы руки" и т.п. — это вполне было доступно (или — пальцы рук и ног, свои и соплеменников). Даже не зная, что "пальцы руки" (обеих рук, рук и ног) — это число, всё равно этим числом пользовались! Т.е. хотя понятия "число" еще нет, но конкретные числа уже появляются.

Что значит, зарубки абстрактны? — это также перечисляемые объекты, как и камушки. Отличаются лишь тем, что зарубки — это запись на чём-то (на палочке, на дощечке). Это типа рисунок, знак, письменность. Непонятно, что подразумевается под "абстрактные": Письменный символ имеет абстрактный образ — наверное, это.


Да, кстати, на зарубках очень удобно выполнять сложение, добавляя новые зарубки. А вот вычитать проблематично — так что зарубки не очень-то тянут на модель.

[epros]

Sergey-Cop в сообщении #230156 писал(а):

Ну, чтобы изобразить количество, нет принципиальной разницы между камушками и черточками. А вот чтобы выполнять сложение и вычитание, то камушки хорошая материальная модель.

Чёрточки тоже неплохая модель: сложение моделируется конкатенацией строк, и даже умножение прекрасно моделируется подстановкой одной строки вместо каждой чёрточки другой строки. И "материализуется" она очень легко: с помощью чернил и бумаги.

Sergey-Cop в сообщении #230156 писал(а):

А вот вычитать проблематично — так что зарубки не очень-то тянут на модель.

Вычитать тоже легко: зачёркиваете, и всё. Если такие "каляки" не нравятся, то переписываете оставшиеся незачёркнутыми чёрточки в чистое место.

Между прочим, прелесть такой модели заключается в том, что никаких таблиц сложения и умножения и "правил арифметики" вообще знать не надо. Результаты операций типа 3+8 или 3*5 находятся опытным путём.

[Свободный Художник]

AGu в сообщении #229632 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #229608 писал(а):

Принятые в математике аксиоматики характеризуют системы объектов с точностью до изоморфизма.

Я был бы счастлив (честно), если бы это было так.
Увы, в математике полно «некатегоричных» теорий, т.е. теорий, имеющих неизоморфные модели.

Разумеется.
Но на самом деле моя мысль какая была?
Если система $M$ является моделью теории $T$, и если система $M_1$ изоморфна системе $M$, то система $M_1$ также будет моделью теории $T$.
Стандартное определение изоморфизма систем объектов, на которых заданы некотороые отношения и операции:
Кейслер Г. Дж., Чэн Ч.Ч. Теория моделей.
М.: Мир, 1977, сc. 32 — 52.
http://www.px-pict.com/9/6/2/4/1/4.html

с симптоматичным (для данной темы) примечанием:

Цитата:

Изоморфные модели могут, очевидно, считаться неразличимыми в любом смысле, если мы только не пожелаем рассматривать внутреннее строение каждого элемента из множеств A и B.

-----------

AGu в сообщении #229632 писал(а):

Увы, в математике полно «некатегоричных» теорий, т.е. теорий, имеющих неизоморфные модели. К еще большему моему сожалению, арифметика Пеано попадает в их число.

А как насчет арифметики Пресбургера? Тоже, ведь, арифметика как-бы …
http://en.wikipedia.org/wiki/Presburger_arithmetic
http://mathworld.wolfram.com/PresburgerArithmetic.html

[AGu]

Свободный Художник в сообщении #230199 писал(а):

AGu в сообщении #229632 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #229608 писал(а):

Принятые в математике аксиоматики характеризуют системы объектов с точностью до изоморфизма.

Я был бы счастлив (честно), если бы это было так.
Увы, в математике полно «некатегоричных» теорий, т.е. теорий, имеющих неизоморфные модели.

Разумеется.
Но на самом деле моя мысль какая была?
Если система $M$ является моделью теории $T$, и если система $M_1$ изоморфна системе $M$, то система $M_1$ также будет моделью теории $T$.

Виноват, выпав из контекста, я умудрился в половинке разглядеть целое. Понял, отстал, спасибо.

-- 2009.07.20 20:23 --

Ой, я сразу не разглядел, тут еще вопросец был:

Свободный Художник в сообщении #230199 писал(а):

AGu в сообщении #229632 писал(а):

Увы, в математике полно «некатегоричных» теорий, т.е. теорий, имеющих неизоморфные модели. К еще большему моему сожалению, арифметика Пеано попадает в их число.

А как насчет арифметики Пресбургера? Тоже, ведь, арифметика как-бы …

В каком сысле «как насчет»? В смысле категоричности? Тогда тоже нет, не категорична она. Разрешима, полна, но не категорична. (Категоричной может быть только теория, имеющая лишь конечные модели. Действительно, если теория имеет бесконечную модель, то она имеет счетную модель и несчетную модель.)

[Свободный Художник]

AGu в сообщении #230215 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #230199 писал(а):

AGu в сообщении #229632 писал(а):

Увы, в математике полно «некатегоричных» теорий, т.е. теорий, имеющих неизоморфные модели. К еще большему моему сожалению, арифметика Пеано попадает в их число.

А как насчет арифметики Пресбургера? Тоже, ведь, арифметика как-бы …

В каком сысле «как насчет»? В смысле категоричности? Тогда тоже нет, не категорична она. Разрешима, полна, но не категорична. (Категоричной может быть только теория, имеющая лишь конечные модели. Действительно, если теория имеет бесконечную модель, то она имеет счетную модель и несчетную модель.)

Я имел в виду, что любые две счетные модели арифметики Пресбургера изоморфны (как и в случае теории плотного линейного порядка без концевых точек). Ведь это так?

[AGu]

Свободный Художник в сообщении #230288 писал(а):

Я имел в виду, что любые две счетные модели арифметики Пресбургера изоморфны (как и в случае теории плотного линейного порядка без концевых точек).

Это, вроде, называется $\aleph_0$-категоричностью (или $\omega$-категоричностью).

Свободный Художник писал(а):

Ведь это так?

Не знаю.

[Sergey-Cop]

epros в сообщении #230171 писал(а):

Sergey-Cop в сообщении #230156 писал(а):

А вот вычитать проблематично — так что зарубки не очень-то тянут на модель.

Вычитать тоже легко: зачёркиваете, и всё. Если такие "каляки" не нравятся, то переписываете оставшиеся незачёркнутыми чёрточки в чистое место.

Вот именно, переписывать, зачеркивать — хороший стимул развития способа записи чисел, коль при выполнении операций нужно много переписывать. Хоть за это и придется «платить» изучением правил.