очевидность понятия "равно".

[AGu]

luitzen в сообщении #228792 писал(а):

То «it», которое «may be set theory», относится не к метатеории, а к предметной теории.

Да, промахнулся я с выдергиванием цитаты. (Надеюсь, Вы не думаете, что это было намеренно: я ведь привел URL.)

luitzen писал(а):

Приведите, пожалуйста, пример употребления, который не нужно допиливать многочисленными «[…]».

Какая-то игра в клики, ей-богу. Зачем она Вам? Ну, допустим, не укажу я подходящей ссылки. Что тогда случится? Тогда предложенное мной построение теории групп рухнет? А если укажу, то моя писанина вдруг обретет смысл? Как осмысленность/корректность/адекватность конкретного математического построения может зависеть от наличия книг с упоминанием особой пары слов? Если Вы хотите сказать, что все имеющиеся в этом мире авторитеты понимают под метатеорией что-то иное, то так и скажите. Я приму это и постараюсь понять.

Ну допустим, накликал я через гугл еще пару ссылок:
Metatheory and reflection
Set theory, logic, and their limitations
Может, и мимо. Но что с того? Решительно не понимаю я Вашу игру.

P.S. Ребят, эй? Люди добрые, есть тут кто? Я что, один тут такой псих? Неужели вы тоже считаете, что теория множеств не может использоваться в качестве метатеории для теориим групп? Где я там напортачил? Это ж классика, махровая классика, черт меня побери.

[Инт]

AGu в сообщении #228825 писал(а):

P.S. Ребят, эй? Люди добрые, есть тут кто? Я что, один тут такой псих? Неужели вы тоже считаете, что теория множеств не может использоваться в качестве метатеории для теориим групп?

Очевидно, что может. Вопрос из простейших.

[epros]

AGu в сообщении #228771 писал(а):

Если Вы приведете свою версию определения понятия «определимость в теории», то я, возможно, просеку Вашу позицию. Пока же мне приходится лишь гадать. Что ж, попробую.
...
Итак, пытаюсь гадать... Здесь, видимо, идет речь совсем о другой определимости -- не в теории, а в модели -- стандартной модели $\mathbb N$ арифметики.

Тоже попробую погадать.
Во-первых, я бы сказал не "определимость", а "определённость" (как состоявшийся факт). Это то, что меня не устраивает в Вашем определении: оно говорит о возможности добавить понятие в язык, в котором его не было, а я хотел бы говорить о том понятии, которое в теории уже есть (например, о сложении в арифметике).
Во-вторых, определённость понятия в модели меня не очень устраивает - именно зависимостью от модели. Но от этого легко избавится, начав определение с фразы: "Существует такая модель $\mathcal{M}$ теории $T$, что ...".

Поэтому можно сформулировать так:
Будем говорить, что бинарная операция $?$ определена в теории $T$, если
$\exists \mathcal{M} ~ \forall a,b \in \mathcal{M} ~ \exists! c \in \mathcal{M} ~ (T \vdash a?b = c)$

Например, для арифметики такой моделью будет:
$\mathcal{M} = \{ 0, S(0), S(S(0)), \dots \}$

AGu в сообщении #228771 писал(а):

epros писал(а):

Отсюда вопрос: для какой теории тогда определяется сложение?

Видимо, все же не в теории, а в модели? Ну а если в модели, то, например, в $(\mathbb N, (\cdot)',{|})$, т.е. в модели натуральных чисел с инкрементом и делимостью [Робинсон].

Это, конечно, ответ, но он не подойдёт по одной простой причине: Определять сложение через делимость ничуть не лучше, чем просто заявить, что оно "неопределяемое понятие" (т.е. понимайте как хотите). Сложные понятия логично определять через простые. Каждый ребёнок знает, что операция "прибавить $a$" определяется через $a$-кратное прибавление единицы.
Т.е. "нормальный" способ определения сложения натуральных чисел - через операцию инкремента. Должен же быть какой-то формальный способ для этого.

AGu в сообщении #228771 писал(а):

А ведь теория [...] -- это множество формул. И формула -- это множество (точнее, последовательность) символов. И символы образуют множество -- алфавит.

Это, конечно, верно, но понятие "множество" уж больно избыточно. Помимо алфавитов и т.п. теория множеств множет говорить о таких экзотических объектах, которые никакими алфавитами или строками не моделируются.

Поэтому я предпочитаю считать символы и строки базовыми (неопределяемыми) понятиями, а не пытаться определить их через множества. Кстати, в этом плане под "моделью" я также предлагаю понимать не множество, а некий способ приписать каждому объекту теории уникальный строковый идентификатор.

-- Вт июл 14, 2009 21:20:09 --

AGu в сообщении #228825 писал(а):

Неужели вы тоже считаете, что теория множеств не может использоваться в качестве метатеории для теориим групп?

Может. А может и не использоваться (в смысле, может использоваться совсем другая теория).

[luitzen]

AGu, никто не спорит, что теория множеств может использоваться в качестве метатеории для теории групп. Но не на тех основаниях, на которых Вам кажется. Метатеория — это то место, где что-то утверждается, а то и доказывается по поводу предметной теории. Понятно, что в этом случае предметную теорию приходится в каком-то смысле «переформулировать» с использованием языка метатеории.

Если же с использованием языка теории просто формулируется другая теория, то первая теория не может быть названа метатеорией по отношению ко второй.

Формально, безусловно, теория множеств может выступать в качестве метатеории для теории групп. Но формулируемые в такой метатеории утверждения будут чаще всего тривиальны. Поэтому требуемые мной примеры употребления трудно отыскать.

-- Ср июл 15, 2009 02:00 --

Я тоже усомнился в своей адекватности и отправил запрос одному товарищу. Вот какой был ответ:

Цитата:

По вопросу о метатеории: смотря что понимать под ТМ. Вспомни парадокс Сколема: множество не счетно в «объектной» ТМ, но счетно «фактически», т. е. с точки зрения метаязыка, который в свою очередь существенным образом привлекает теоретико-множественные понятия, т. е. основан на некоторой ТМ «второго уровня».

Если обращаться к ТГ, то очевидно, что это одна из теорий в первопорядковой логике. Наряду с ней могут быть построены другие теории, например первопорядковая ЗФ. Из того, что в этой ЗФ могут быть «эмулированы» некоторые или даже все структуры ТГ, конечно, не следует, что ЗФ является метатеорией для ТГ. С другой стороны, семантика первопорядковой логики, в которой строится ТГ, на сегодня насквозь пронизана теоретико-множественными понятиями, и от этой «метатеории множеств» ТГ естественно зависит. Так что вопрос «является ли ТМ метатеорией для ТГ» плохо поставлен. Он обретает смысл (и одновременно становится тривиальным) после того как уточняется, о какой именно ТМ идет речь.

AGu, с чем в приведённом пассаже Вы согласитесь, а с чем нет?

[ewert]

epros в сообщении #228833 писал(а):

Т.е. "нормальный" способ определения сложения натуральных чисел - через операцию инкремента. Должен же быть какой-то формальный способ для этого.

С практической точки зрения интерес представляет сама операция сложения, но вовсе не инкремент. Если в кармане уже лежит полтинник и мы кладём туда ещё десятку, то мы же не отсчитываем её по рублю, а -- кладём и всё. Т.е. "нормальный" способ определения сложения натуральных чисел -- аксиоматический.

[epros]

ewert в сообщении #228906 писал(а):

epros в сообщении #228833 писал(а):

Т.е. "нормальный" способ определения сложения натуральных чисел - через операцию инкремента. Должен же быть какой-то формальный способ для этого.

С практической точки зрения интерес представляет сама операция сложения, но вовсе не инкремент. Если в кармане уже лежит полтинник и мы кладём туда ещё десятку, то мы же не отсчитываем её по рублю, а -- кладём и всё. Т.е. "нормальный" способ определения сложения натуральных чисел -- аксиоматический.

Не согласен. Сама операция сложения интуитивно непонятна. Вас долго учили в школе правилам сложения, чтобы операция "добавить к полтиннику десятку" не вызывала у Вас затруднений. Я это на примере нескольких детей наблюдал: для младшего школьника (а для дошкольника - и подавно) это не очевидно. Объяснить "универсальный смысл" операции целочисленного сложения можно только через "отсчитывание по рублю".

И хочу заметить, что "аксиоматический" способ, о котором Вы говорите, этому не противоречит. На самом деле определение сложения в арифметике Пеано ("аксиоматическое") является ничем иным, как примитивно рекурсивным определением через заранее известную функцию инкремента:
1. $a + S(b) = S(a + b)$ - операция прибавления $S(b)$ рекурсивно определяется через прибавление на единицу меньшего числа - $b$.
2. $a + 0 = a$ - конец рекурсии.

[ewert]

epros в сообщении #228915 писал(а):

И хочу заметить, что "аксиоматический" способ, о котором Вы говорите, этому не противоречит. На самом деле определение сложения в арифметике Пеано ("аксиоматическое") является ничем иным, как примитивно рекурсивным определением через заранее известную функцию инкремента

Но и наоборот -- инкремент есть частный случай сложения. А поскольку операция сложения является базовой не только в целочисленной арифметике, но и вообще чёрт-те где, то она как аксиоматический объект и выгоднее. Мало ли что там у дошкольников.

(Заметьте, я говорю и говорил исключительно об удобстве, а вовсе не о возможности или невозможности.)

[epros]

ewert в сообщении #228920 писал(а):

А поскольку операция сложения является базовой...

Вы настолько неправы, что мне с этим даже спорить странно. Нет никакой очевидности в том, что 3+8=11. То, что Вы в детстве хорошо заучили таблицу сложения, не даёт Вам оснований утверждать, что это "базовая" операция, не требующая пояснений. Если понаблюдаете за детьми, с каким трудом даётся им заучивание этой самой таблицы сложения, то Вы это поймёте. Единственный способ проверить это равенство, не зная таблицы сложения, это свести сложение к инкременту - являющемуся более "базовой" операцией именно потому, что как человечество в целом, так и каждый отдельный человек познают сначала его (а не сложение).

Что касается сложений в других областях (не в арифметике натуральных чисел), то оно очевидным образом возникло как расширение операции целочисленного сложения. А отнюдь не наоборот: сначала в гениальных умах математиков родилось общее "аксиоматическое" понятие о сложении, а потом уже его решили применить к натуральным числам.

[AGu]

epros в сообщении #228833 писал(а):

AGu в сообщении #228771 писал(а):

Если Вы приведете свою версию определения понятия «определимость в теории», то я, возможно, просеку Вашу позицию. Пока же мне приходится лишь гадать. Что ж, попробую.
...
Итак, пытаюсь гадать... Здесь, видимо, идет речь совсем о другой определимости -- не в теории, а в модели -- стандартной модели $\mathbb N$ арифметики.

Тоже попробую погадать.
Во-первых, я бы сказал не "определимость", а "определённость" (как состоявшийся факт).

Вот так поворотец! Выходит, мы говорили о совершенно разных понятиях.

epros писал(а):

Это то, что меня не устраивает в Вашем определении: оно говорит о возможности добавить понятие в язык, в котором его не было, а я хотел бы говорить о том понятии, которое в теории уже есть (например, о сложении в арифметике).

Не удивительно. От «определимости» (т.е. возможности выразить в заданных терминах) до «определенности» (т.е. в каком-то смысле «уникальности», «единственности») расстояньице еще то. (Впрочем, мне сейчас грех жаловаться: я сам недавно допустил довольно существенную оговорку подобного рода. ) OK, пусть будет «определенность».

epros писал(а):

Во-вторых, определённость понятия в модели меня не очень устраивает - именно зависимостью от модели. Но от этого легко избавится, начав определение с фразы: "Существует такая модель $\mathcal{M}$ теории $T$, что ...".

Поэтому можно сформулировать так:
Будем говорить, что бинарная операция $?$ определена в теории $T$, если
$\exists \mathcal{M} ~ \forall a,b \in \mathcal{M} ~ \exists! c \in \mathcal{M} ~ (T \vdash a?b = c)$

Например, для арифметики такой моделью будет:
$\mathcal{M} = \{ 0, S(0), S(S(0)), \dots \}$

Ох, опять загадка. Вы о столь многом умолчали, что приведенное Вами определение можно счесть бессмысленным или осмысленным, тривиальным или глубоким, неадекватным или предельно точным в зависимости от силы телепатических способностей. Боюсь, что моих способностей тут маловато, но все же вновь попробую погадать.

(1) Коль скоро «я хотел бы говорить о том понятии, которое в теории уже есть», я делаю вывод, что операция $?$ входит в сигнатуру $\Sigma_T$ рассматриваемой теории $T$.
(2) Наблюдение (1) навевает грусть: получается, что определенным может быть лишь функциональный символ, вынесенный в сигнатуру. По-моему, это требование неадекватно ограничивает общность (даже несмотря на то, что предлагаемое определение можно распространить на случай предикатных символов). К слову, известное мне классическое определение представимости и определимости, связанное со стандартными моделями арифметики, такого ограничения не имеет.
(3) Наблюдая записи $a,b\in\mathcal M$, $c\in\mathcal M$ и $T\vdash a?b=c$, я заключаю, что строка $a?b=c$ принадлежит $L_T$, т.е. является формулой сигнатуры $\Sigma_T$.
(4) Из принадлежности $(a?b=c)\in L_T$ следует, что $a$, $b$ и $c$ являются термами сигнатуры $\Sigma_T$.
(5) Из (4) следует, что модель $\mathcal M$ состоит не из абы чего, а именно из термов сигнатуры $\Sigma_T$.
(6) Наличие записи $T\vdash a?b=c$ наталкивает на мысль, что $a$, $b$ и $c$ -- не просто термы, а замкнутые термы, т.е. не содержат вхождения переменных.
(7) Из (5) и (6) следует, что $\mathcal M$ состоит из замкнутых термов сигнатуры $\Sigma_T$.
(8) Пустые модели традиционно не рассматриваются, а значит, сигнатура $\Sigma_T$ обеспечивает наличие замкнутых термов.
(9) Из (8) следует, что $\Sigma_T$ содержит хотя бы одну константу.
(10) Как и (1), заключение (9) позволяет усомниться в общности предлагаемого определения, поскольку сигнатуры массы традиционных теорий не содержат констант. К числу таковых относятся та же теория групп (в которую далеко не всегда включают константу нейтрального элемента), теория множеств (в которую вообще никогда не включают констант -- даже для пустого множества), теория упорядоченных множеств и многие другие. Получается, что к таким теориям понятие «определенности» неприменимо -- разве что в этом случае предполагается дополнительное введение каких-либо изначально отсутствующих констант (причем, способом, заведомо отличным от предлагаемого сейчас).
(11) Впрочем, как бы я ни грустил по поводу (2) и (10), я готов счесть эти ограничения специфическими для выбранного подхода и продолжить гадание.
(12) Из $T\vdash a?b=c$ вовсе не следует $\mathcal M\vDash `a\text'\,?\,`b\text'=`c\text'$, поскольку об интерпретации сигнатуры $\Sigma_T$ в модели $\mathcal M$ ничего сказано не было. Например, на множестве $\{`0\text',`S(0)\text',`S(S(0))\text',\dots\}$ мы можем интерпретировать $0$ и $S$ так, что получится, например, $\mathcal M\vDash`S(0)\text'=0$ и $\mathcal M\vDash`0\text'=S(0)$. Едва ли подобные вольности была задуманы, а если это так, то от нас опять-таки что-то скрыли. Видимо, было скрыто условие $(\forall\,a\in\mathcal M)\ \mathcal M\vDash`a\text'=a$. (Такую модель, наверное, можно назвать «синтаксической».)
(13) Если интерпретация равенства в $\mathcal M$ предполагается стандартной, то знак единственности в условии $\exists\,\mathcal{M}\ \forall\,a,b\in\mathcal M\ \exists!\,c\in\mathcal M\ (T\vdash a?b = c)$ избыточен. Но это мелочь.
(Синтаксическую модель $\mathcal M$ удовлетворяющую условию $\exists\,\mathcal{M}\ \forall\,a,b\in\mathcal M\ \exists!\,c\in\mathcal M\ (T\vdash a?b = c)$ предлагаю назвать «точной».)

Теперь -- замечание по существу. Предлагаемое определение мне не кажется адекватным. Более того, оно напрочь противоречит моему восприятию слов «определенность в теории». Делюсь своими сомнениями.

Рассмотрим теорию $T$ с сигнатурой $\Sigma_T=\{0,{+}\}$ и единственной специальной аксиомой $0+0=0$. Спрашивается, является ли операция сложения $+$ определенной в теории $T$? По обсуждаемому сейчас определению -- да, является (синтаксическая модель $\mathcal M=\{`0\text'\}$ является точной). Но моя интуиция вопит: сложение в $T$ не является определенным (уникальным, единственным)! Ну скажите на милость, -- уверяет меня моя интуиция, -- о какой определенности сложения может идти речь, если все, что мы знаем о сложении -- это то, что $0+0=0$? Да, замкнутых термов в рассматриваемой сигнатуре немного, всего-то $0,(0+0),0+(0+0)$ и т.п. И точных синтаксических моделей тоже мало (все они одноэлементны). Но разве это говорит в пользу определенности сложения «в теории»? Сложение будет единственным только в одноэлементных моделях теории $T$, а в любой другой -- нет. Т.е. мы имеем дело не с «определенностью в теории», а с «определенностью в точных моделях теории». По сути мы совсем недалеко ушли от определимости в стандартной модели и всего лишь заменили стандартную модель набором точных, причем по ходу дела ввели довольно сильные ограничения, изгнав из рассмотрения массу традиционных теорий и еще большую массу функций и отношений, об определимости/определенности которых можно было бы говорить.

Заранее прошу меня извинить, если что-то неверно угадал, но что взять с телепата-любителя?

epros писал(а):

AGu в сообщении #228771 писал(а):

epros писал(а):

Отсюда вопрос: для какой теории тогда определяется сложение?

Видимо, все же не в теории, а в модели? Ну а если в модели, то, например, в $(\mathbb N, (\cdot)',{|})$, т.е. в модели натуральных чисел с инкрементом и делимостью [Робинсон].

Это, конечно, ответ, но он не подойдёт по одной простой причине: Определять сложение через делимость ничуть не лучше, чем просто заявить, что оно "неопределяемое понятие"

Этот ответ не подойдет по другой простой причине: я говорил об определимости, а Вы думали об определенности.

P.S. Надеюсь, моя лукавая наглость Вас не задела. Это все были игрушки-развлекушки. (Просто я был искренне удивлен возникшим перепрыгом с одного понятия к напрочь другому. )

-- 2009.07.15 17:26 --

epros в сообщении #228833 писал(а):

я предпочитаю считать символы и строки базовыми (неопределяемыми) понятиями, а не пытаться определить их через множества.

Не поделитесь соответствующей метатеорией? Мне было бы любопытно взглянуть. (Не подумайте чего, я искренне интересуюсь. )

epros писал(а):

Кстати, в этом плане под "моделью" я также предлагаю понимать не множество, а некий способ приписать каждому объекту теории уникальный строковый идентификатор.

Тоже было бы интересно увидеть, как этот «способ» формализуется в Вашей метатеории. (В случае метатеории множеств этот способ является функцией. Интересно, что это будет в Вашем случае.)

-- 2009.07.15 18:21 --

luitzen в сообщении #228854 писал(а):

AGu, никто не спорит, что теория множеств может использоваться в качестве метатеории для теории групп.

Хмм...

luitzen в сообщении #228655 писал(а):

AGu в сообщении #228632 писал(а):

Возьмем, к примеру, теорию групп (с операцией сложения), определенную в метатеории множеств.

Ох, не кажется мне эта фраза достаточно аккуратной…

Если это не было сомнением в том, что теорию множеств можно использовать в качестве метатеории для теории групп, то что это было?
Выходит, «X можно определить в метатеории Y» еще не означает, что «Y можно использовать как метатеорию для X»? Т.е. использование в качестве средства для определения -- это не использование? Любопытная трактовка понятий.
(Мой легкомысленный наезд можно спокойно игнорировать. Это я так мстю. )

luitzen писал(а):

Но не на тех основаниях, на которых Вам кажется. Метатеория — это то место, где что-то утверждается, а то и доказывается по поводу предметной теории.

С последним -- полностью согласен.

luitzen писал(а):

Если же с использованием языка теории просто формулируется другая теория, то первая теория не может быть названа метатеорией по отношению ко второй.

Осмелюсь заявить, что метатеория множеств позволяет «что-то утверждать и доказывать по поводу предметной теории» (теории групп в том числе). Например, она может утверждать/доказывать противоречивость/непротиворечивость, разрешимость/неразрешимость, полноту/неполноту, категоричность/некатегоричность и т.д./и т.п. этой теории, может сравнивать эту теорию с другими по силе, доказывать существование/отсутствие моделей данной теории, обладающих теми или иными свойствами, доказывать, что из данной теории что-то выводится или не выводится и вообще может делать практически все, что способно прийти в голову.

luitzen писал(а):

Формально, безусловно, теория множеств может выступать в качестве метатеории для теории групп. Но формулируемые в такой метатеории утверждения будут чаще всего тривиальны.

Тут я, пожалуй, отвечу Вашими словами: «Ох, не кажется мне эта фраза достаточно аккуратной…»

luitzen писал(а):

Я тоже усомнился в своей адекватности и отправил запрос одному товарищу. Вот какой был ответ:

Цитата:

По вопросу о метатеории: смотря что понимать под ТМ. Вспомни парадокс Сколема: множество не счетно в «объектной» ТМ, но счетно «фактически», т. е. с точки зрения метаязыка, который в свою очередь существенным образом привлекает теоретико-множественные понятия, т. е. основан на некоторой ТМ «второго уровня».

Если обращаться к ТГ, то очевидно, что это одна из теорий в первопорядковой логике. Наряду с ней могут быть построены другие теории, например первопорядковая ЗФ. Из того, что в этой ЗФ могут быть «эмулированы» некоторые или даже все структуры ТГ, конечно, не следует, что ЗФ является метатеорией для ТГ. С другой стороны, семантика первопорядковой логики, в которой строится ТГ, на сегодня насквозь пронизана теоретико-множественными понятиями, и от этой «метатеории множеств» ТГ естественно зависит. Так что вопрос «является ли ТМ метатеорией для ТГ» плохо поставлен. Он обретает смысл (и одновременно становится тривиальным) после того как уточняется, о какой именно ТМ идет речь.

AGu, с чем в приведённом пассаже Вы согласитесь, а с чем нет?

Со всем согласен. В том числе, с тем, что "вопрос «является ли ТМ метатеорией для ТГ» плохо поставлен." Подобных высказываний я никогда себе не позволял и говорил лишь о том, что теория множеств «может быть использована» (причем в очень сильном понимании слова «использована») в качестве метатеории для теории групп.

-- 2009.07.15 18:37 --

epros в сообщении #228915 писал(а):

И хочу заметить, что "аксиоматический" способ, о котором Вы говорите, этому не противоречит. На самом деле определение сложения в арифметике Пеано ("аксиоматическое") является ничем иным, как примитивно рекурсивным определением через заранее известную функцию инкремента

Хочу заметить, что все же не «аксиоматическое», а «семантическое» и не «в арифметике Пеано», а в «стандатной модели арифметики Пеано» (или, если угодно, «семантическое определение в точных синтаксических моделях арифметики Пеано» ).
И я это буду замечать до тех пор, пока меня в этом не переубедят (что, разумеется, вполне возможно при должном старании ).

[epros]

AGu в сообщении #228984 писал(а):

Вот так поворотец! Выходит, мы говорили о совершенно разных понятиях.
...
я был искренне удивлен возникшим перепрыгом с одного понятия к напрочь другому.

Хочу отметить, что задавая свой первый вопрос по этому поводу:

epros в сообщении #228638 писал(а):

AGu в сообщении #228632 писал(а):

(1a) понятие равенства в теории не определяется, является первичным и подчиняется аксиомам теории;

Интересно вообще понять, что означает словосочетание "определяется в теории".

я имел в виду тот самый смысл, касающийся состоявшегося факта "определённости" понятия в теории. Ибо поскольку "теория" в подразумеваемом мной здесь смысле есть вещь законченная и записанная, словосочетание "определяется в теории" следует понимать не как "определение может быть добавлено к теории", а как "определение уже есть в теории".

Я здесь исхожу из того "бытового" здравого смысла, согласно которому понятие "группа" определяется в теории групп, а понятия "натурального числа" и "целочисленнного сложения" - определяются в арифметике натуральных чисел. Может быть этот здравый смысл и несостоятелен, однако без телепатических способностей этого не выяснить.

AGu в сообщении #228632 писал(а):

приведенное Вами определение можно счесть бессмысленным или осмысленным, тривиальным или глубоким, неадекватным или предельно точным в зависимости от силы телепатических способностей. Боюсь, что моих способностей тут маловато, но все же вновь попробую погадать.

И Ваши телепатические способности меня весьма впечатлили.

AGu в сообщении #228632 писал(а):

(1) Коль скоро «я хотел бы говорить о том понятии, которое в теории уже есть», я делаю вывод, что операция $?$ входит в сигнатуру $\Sigma_T$ рассматриваемой теории $T$.

Да, несомненно именно это я и имел в виду. Например, операция возведения в степень в арифметике Пеано "не определена" уже в силу отсутствия значка "^" в сигнатуре. Однако она "определима" в Вашем смысле. Хотя, честно говоря, этот смысл мне не нравится, поскольку на практике никто не будет расписывать формулу со степенями через формулы со сложениями и умножениями, а просто воспользуется рекурсивным определением, аналогичным аксиомам для сложения или для умножения.

AGu в сообщении #228632 писал(а):

(2) Наблюдение (1) навевает грусть: получается, что определенным может быть лишь функциональный символ, вынесенный в сигнатуру. По-моему, это требование неадекватно ограничивает общность (даже несмотря на то, что предлагаемое определение можно распространить на случай предикатных символов).

Ну, что тут можно сказать... Либо приходится ограничиться тем, что есть, т.е. формально записанной теорией, в которой заведомо чего-то нет, либо пытаться (подобно Инту) говорить о каких-то "содержательных теориях", которые непонятно что собой представляют, но зато в них по определению "есть всё, что нужно".

AGu в сообщении #228632 писал(а):

(3) Наблюдая записи $a,b\in\mathcal M$, $c\in\mathcal M$ и $T\vdash a?b=c$, я заключаю, что строка $a?b=c$ принадлежит $L_T$, т.е. является формулой сигнатуры $\Sigma_T$.

Да

AGu в сообщении #228632 писал(а):

(4) Из принадлежности $(a?b=c)\in L_T$ следует, что $a$, $b$ и $c$ являются термами сигнатуры $\Sigma_T$.

Да

AGu в сообщении #228632 писал(а):

(5) Из (4) следует, что модель $\mathcal M$ состоит не из абы чего, а именно из термов сигнатуры $\Sigma_T$.

Да

AGu в сообщении #228632 писал(а):

(6) Наличие записи $T\vdash a?b=c$ наталкивает на мысль, что $a$, $b$ и $c$ -- не просто термы, а замкнутые термы, т.е. не содержат вхождения переменных.

Да, но я полагаю, что этого не нужно специально оговаривать, поскольку из того, что содержит вхождения переменных, теорема теории $T$ не получится.

AGu в сообщении #228632 писал(а):

(7) Из (5) и (6) следует, что $\mathcal M$ состоит из замкнутых термов сигнатуры $\Sigma_T$.

Угу.

AGu в сообщении #228632 писал(а):

(8) Пустые модели традиционно не рассматриваются, а значит, сигнатура $\Sigma_T$ обеспечивает наличие замкнутых термов.

Вопрос про пустую модель, конечно, интересный. Полагаю что да, не должны рассматриваться, ибо в противном случае любая бинарная операция считалась бы "определённой".

AGu в сообщении #228632 писал(а):

(9) Из (8) следует, что $\Sigma_T$ содержит хотя бы одну константу.

Да, я об этом уже успел подумать. Пока придумал только вариант определения, согласно которому наличие констант в теории всё же необходимо, ибо иначе непонятно что именно оная теория определяет.

AGu в сообщении #228632 писал(а):

(10) Как и (1), заключение (9) позволяет усомниться в общности предлагаемого определения, поскольку сигнатуры массы традиционных теорий не содержат констант. К числу таковых относятся та же теория групп (в которую далеко не всегда включают константу нейтрального элемента), теория множеств (в которую вообще никогда не включают констант -- даже для пустого множества), теория упорядоченных множеств и многие другие. Получается, что к таким теориям понятие «определенности» неприменимо -- разве что в этом случае предполагается дополнительное введение каких-либо изначально отсутствующих констант (причем, способом, заведомо отличным от предлагаемого сейчас).

Мне понятны Ваши сомнения. Определение, применённое к теории без констант, приведёт к формальному выводу, что в этой теории "ничего не определено".
Либо этот вывод нужно принять (чему мой здравый смысл тоже противится), либо действительно необходимо предусмотреть некие универсальные правила введения отстутствующих констант (к чему я пока не готов).

AGu в сообщении #228632 писал(а):

(12) Из $T\vdash a?b=c$ вовсе не следует $\mathcal M\vDash `a\text'\,?\,`b\text'=`c\text'$, поскольку об интерпретации сигнатуры $\Sigma_T$ в модели $\mathcal M$ ничего сказано не было. Например, на множестве $\{`0\text',`S(0)\text',`S(S(0))\text',\dots\}$ мы можем интерпретировать $0$ и $S$ так, что получится, например, $\mathcal M\vDash`S(0)\text'=0$ и $\mathcal M\vDash`0\text'=S(0)$. Едва ли подобные вольности была задуманы, а если это так, то от нас опять-таки что-то скрыли. Видимо, было скрыто условие $(\forall\,a\in\mathcal M)\ \mathcal M\vDash`a\text'=a$. (Такую модель, наверное, можно назвать «синтаксической».)

Вы угадали совершенно правильно: меня интересует в первую очередь "синтаксическая" модель в том смысле, что под объектами теории понимаются строки символов, ибо я не понимаю как математика вообще может оперировать, например, камушками или яблоками (не их обозначениями, а самими объектами).
В остальном, вроде бы, могут быть варианты:
Во-первых, истинность равенства в модели меня совершенно не интересует. Именно поэтому после всех кванторов идёт утверждение о доказуемости в теории, а не об истинности в модели. Соответственно, значок единственности может оказаться существенным.
Во-вторых, мне совершенно безразлично будет ли в модели $\mathcal M\vDash`S(0)\text'=0$ и $\mathcal M\vDash`0\text'=S(0)$ или, скажем, $\mathcal M\vDash`S(0)\text'=`?\text'$ и $\mathcal M\vDash`0\text'=`??\text'$. Всё, что мне нужно от модели, это чтобы все объекты теории получили уникальные строковые идентификаторы, которые, будучи подставленными в формулу определения, приведут (какая удача!) к тому, что она окажется верной.

AGu в сообщении #228632 писал(а):

Теперь -- замечание по существу. Предлагаемое определение мне не кажется адекватным. Более того, оно напрочь противоречит моему восприятию слов «определенность в теории». Делюсь своими сомнениями.

Рассмотрим теорию $T$ с сигнатурой $\Sigma_T=\{0,{+}\}$ и единственной специальной аксиомой $0+0=0$. Спрашивается, является ли операция сложения $+$ определенной в теории $T$? По обсуждаемому сейчас определению -- да, является (синтаксическая модель $\mathcal M=\{`0\text'\}$ является точной). Но моя интуиция вопит: сложение в $T$ не является определенным (уникальным, единственным)! Ну скажите на милость, -- уверяет меня моя интуиция, -- о какой определенности сложения может идти речь, если все, что мы знаем о сложении -- это то, что $0+0=0$? Да, замкнутых термов в рассматриваемой сигнатуре немного, всего-то $0,(0+0),0+(0+0)$ и т.п. И точных синтаксических моделей тоже мало (все они одноэлементны). Но разве это говорит в пользу определенности сложения «в теории»? Сложение будет единственным только в одноэлементных моделях теории $T$, а в любой другой -- нет. Т.е. мы имеем дело не с «определенностью в теории», а с «определенностью в точных моделях теории». По сути мы совсем недалеко ушли от определимости в стандартной модели и всего лишь заменили стандартную модель набором точных, причем по ходу дела ввели довольно сильные ограничения, изгнав из рассмотрения массу традиционных теорий и еще большую массу функций и отношений, об определимости/определенности которых можно было бы говорить.

Честно говоря, пока я не осмыслил Ваших сомнений. Теория определяет сложение на единственном объекте, ну и что? Вот такое интересное в этой теории сложение... А у Вас есть какие-то более разумные интерпретации этой странной теории?

AGu в сообщении #228632 писал(а):

epros в сообщении #228833 писал(а):

я предпочитаю считать символы и строки базовыми (неопределяемыми) понятиями, а не пытаться определить их через множества.

Не поделитесь соответствующей метатеорией? Мне было бы любопытно взглянуть. (Не подумайте чего, я искренне интересуюсь. )

epros писал(а):

Кстати, в этом плане под "моделью" я также предлагаю понимать не множество, а некий способ приписать каждому объекту теории уникальный строковый идентификатор.

Тоже было бы интересно увидеть, как этот «способ» формализуется в Вашей метатеории. (В случае метатеории множеств этот способ является функцией. Интересно, что это будет в Вашем случае.)

Давайте пока укажу в качестве примера такового способа нормальный алгоритм Маркова.

-- Ср июл 15, 2009 17:55:04 --

AGu в сообщении #228984 писал(а):

Хочу заметить, что все же не «аксиоматическое», а «семантическое» и не «в арифметике Пеано», а в «стандатной модели арифметики Пеано» (или, если угодно, «семантическое определение в точных синтаксических моделях арифметики Пеано» ).
И я это буду замечать до тех пор, пока меня в этом не переубедят (что, разумеется, вполне возможно при должном старании ).

Упоминание модели, по крайней мере, неуместно. Потому что определение ссылается не на конкретную модель, а на факт существования некой модели.

[conviso]

Цитата:

ewert в сообщении #228642 писал(а):
Допустим, мы утверждаем, что 2/3=4/6. Принадлежит ли это утверждение теории или метатеории?

Судя по синтаксису это утверждение теории под названием "арифметика рациональных чисел".
Ибо строки явным образом не равны.

Уважаемые собеседники, кто бы мог пояснить мне сей тезис выделенный...! По какой аксиоме какой (супер-мета)-теории происходит усиление не"равенства" до не"равенства явным образом"?
И все-таки..., про зайцев и про числа....
Было предложено мной понятие "равно" в двух, как мне представляется в двух очевидных и отличающихся смыслах: делах, которые за этими двумя пониманиями должны были бы последовать = сравниваем зайцев по принадлежности к "числам" или же "сравниваем" по принадлежности к "зайчатиности".
Неравенство "2/3" и "4/6" "явным образом" оценивается по каким признакам...(из мной указанных..., например... )

[AD]

Очень просто. Последовательности символов 2/3 и 4/6 различны (отличаются в первом и третьем символе), но утверждение "2/3=4/6", интерпретируемое как формула на языке предикатов (на каком именно языке предикатов оно написано - фиг поймешь, поэтому считаем, что на каком-то из первых приходящих в голову), тем не менее, выводимо (то есть можно доказать в теории (в какой именно, автор выражения тоже забыл указать, поэтому тоже считаем, что это какая-то из тех, которые первыми приходят в голову)) и общезначимо (т.е. верно в любой модели).

-- Чт июл 16, 2009 12:00:20 --

conviso в сообщении #229270 писал(а):

По какой аксиоме какой (супер-мета)-теории происходит усиление не"равенства" до не"равенства явным образом"?

Никакого "усиления" не происходит. Метатеория - это вполне себе математическое понятие.

[AGu]

epros в сообщении #229064 писал(а):

AGu в сообщении #228632 писал(а):

epros в сообщении #228833 писал(а):

я предпочитаю считать символы и строки базовыми (неопределяемыми) понятиями, а не пытаться определить их через множества.

Не поделитесь соответствующей метатеорией? Мне было бы любопытно взглянуть. (Не подумайте чего, я искренне интересуюсь. )

epros писал(а):

Кстати, в этом плане под "моделью" я также предлагаю понимать не множество, а некий способ приписать каждому объекту теории уникальный строковый идентификатор.

Тоже было бы интересно увидеть, как этот «способ» формализуется в Вашей метатеории. (В случае метатеории множеств этот способ является функцией. Интересно, что это будет в Вашем случае.)

Давайте пока укажу в качестве примера такового способа нормальный алгоритм Маркова.

Продолжаете играть в загадки? (Что такое алгоритм, мы, слава учителям, представляем.) Мне же действительно хочется понять Вашу позицию. На данный момент у меня создается впечатление, что в термин «модель» Вы вкладываете ничтожно мало. Вас, как я понимаю, не волнует истинность формул в «модели». И мне кажется, что понятие модели Вам просто не нужно. Вам вполне достаточно говорить о доказуемости, причем только в арифметике или чем-то подобном. Вы зачем-то ограничиваете себя, и делаете это сознательно и безжалостно (к себе). И любая попытка выйти за рамки очерчернного (Вами же) вокруг Вас круга вызывает у Вас недоумение или непонимание. Не обижайтесь, но именно такой вывод я делаю, читая Ваши сообщения. И я искренне надеюсь, что этот вывод ошибочен.

[age]

conviso
Математическое изложение аксиом физики - шестая проблема Гильберта. Не решена.

[ewert]

age в сообщении #229528 писал(а):

conviso
Математическое изложение аксиом физики - шестая проблема Гильберта. Не решена.

Нихренасе проблема.
Она никогда и в принципе никогда решена быть не сможет -- в принципе никогда.