2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Где у Кудрявцева доказывается теорема Котельникова?
Сообщение15.07.2009, 21:57 
Вообще вопрос можно поставить шире: в каких известных учебниках по анализу доказывается эта теорема и где именно (страница)? У меня создалось впечатления, что обычно в учебниках, эта теорема доказывается не совсем корректно.

Заранее благодарен.

 
 
 
 Re: Где у Кудрявцева доказывается теорема Котельникова?
Сообщение15.07.2009, 22:12 
А я вот и вообще никогда в жизни с теоремой Котельникова не сталкивался. Т.е. сталкивался, конечно, но уж точно не в учебниках по анализу.

Как говорится, "кушать -- лублу, а так -- нэт".

(Что, конечно, не означает, что там её нельзя найти.)

 
 
 
 Re: Где у Кудрявцева доказывается теорема Котельникова?
Сообщение15.07.2009, 22:33 
А давайте опыт проведем? Просто интересно.

Теорема Котельникова подразумевает, что если интеграл Фурье от функции отличен от нуля на интервале $[ -\Omega; \Omega]$ то эту функцию можно представить отсчетами с частотой $2 \Omega$

Теперь берем синусоиду с частотой $\Omega$ и дискретизируем ее в точках $\pi n$. Т.е. с частотой $2 \Omega$ т.е. точно по Котельникову. Получаем ес-но одни нули. Потом дискретизируем ее в точках $\pi n + \frac \pi 2$. Но теперь получаем ряд 1, -1, ...

В чем дело? Теорема ошибочна? Или я чего-то преднамеренно опустил?

 
 
 
 Re: Где у Кудрявцева доказывается теорема Котельникова?
Сообщение15.07.2009, 22:38 
st256 в сообщении #229246 писал(а):
Теорема Котельникова подразумевает, что если интеграл Фурье от функции отличен от нуля на интервале $[ -\Omega; \Omega]$ то эту функцию можно представить отсчетами с частотой $2 \Omega$

Со строго большей частотой.

 
 
 
 Re: Где у Кудрявцева доказывается теорема Котельникова?
Сообщение15.07.2009, 22:40 
st256 в сообщении #229246 писал(а):
В чем дело?

$( -\Omega; \Omega )$

 
 
 
 Re: Где у Кудрявцева доказывается теорема Котельникова?
Сообщение15.07.2009, 22:44 
ewert в сообщении #229247 писал(а):
Со строго большей частотой.


Не согласен :)
В аутоинтичном доказательстве Котельникова записано именно равенство. А у Шенона теорема звучит вообще так:
Если функция f(t) не содержит частот выше W Гц, то она полностью определяется своими мгновенными значениями в моменты, отстоящие друг от друга на (1/2 W) сек. Если я правильно перевел с английского, конечно.

-- Ср июл 15, 2009 23:46:53 --

venco в сообщении #229248 писал(а):
st256 в сообщении #229246 писал(а):
В чем дело?

$( -\Omega; \Omega )$


Вот Вы знаете, я не согласен с Вами. Мало того, с одной стороны я борюсь с такими трактовками этой теоремы (просто они не доказаны, это чисто эмпирический вывод), а с другой стороны, Вы... абсолютно правы :)

 
 
 
 Re: Где у Кудрявцева доказывается теорема Котельникова?
Сообщение15.07.2009, 22:47 
Ну вот Вы и привели контрпример.

 
 
 
 Re: Где у Кудрявцева доказывается теорема Котельникова?
Сообщение15.07.2009, 22:51 
ewert в сообщении #229252 писал(а):
Ну вот Вы и привели контрпример.


Не совсем понял. Я привел контрпример (с синусоидой), который "разваливает" теорему? Или я привел другую теорему, которая в отличии от первой "более правильна"?

 
 
 
 Re: Где у Кудрявцева доказывается теорема Котельникова?
Сообщение15.07.2009, 22:53 
st256 в сообщении #229253 писал(а):
ewert в сообщении #229252 писал(а):
Ну вот Вы и привели контрпример.


Не совсем понял. Я привел контрпример (с синусоидой), который "разваливает" теорему? Или я привел другую теорему, которая в отличии от первой "более правильна"?

Вы привели пример опровергающий неправильную формулировку, с $[ \Omega; \Omega ]$.
А правильная - с $( \Omega; \Omega )$.

 
 
 
 Re: Где у Кудрявцева доказывается теорема Котельникова?
Сообщение15.07.2009, 23:03 
Цитата:
Вы привели пример опровергающий неправильную формулировку, с $[ \Omega; \Omega ]$.
А правильная - с $( \Omega; \Omega )$.


Нет. Я просто опустил кое-что из определения. Дискретизируемая функция по Котельникову должна
1) удовлетворять условиям Дирехле.
2) быть интегрируема.

А синусоида - не интегрируемая ф-ция. Т.е. По теореме Котельникова вообще никакую синусоиду дискретизировать нельзя... Да и вообще периодический сигнал.

 
 
 
 Re: Где у Кудрявцева доказывается теорема Котельникова?
Сообщение16.07.2009, 17:04 
Аватара пользователя
По поводу теоремы Котельникова хочу сказать, что в радиотехнике её иногда применяют не совсем правильно. Классический пример - музыкальные аудиокомпакты. Кто-то подсчитал, что достаточно отсчётов с частотой 44 кгц, чтобы воспроизвести музыкальный звук (мол, выше 22 кгц ухо не слышит). Но ведь это не так. В природе практически не бывает сигналов, спектр которых резко обрывается после какой-то границы. И в музыкальном сигнале после 20кгц идёт плавное спадание спектра. Сигнал выше 20кгц мы не слышим, но ощущаем. Кроме того, на аудиокомпактах оганичили дискретизацию (точность представления сигнала) 16-ю битами, что недостаточно. В результате аудиоэксперты считают, что лазерные компакты звучат хуже старых виниловых грампластинок.

 
 
 
 Re: Где у Кудрявцева доказывается теорема Котельникова?
Сообщение16.07.2009, 18:45 
мат-ламер в сообщении #229475 писал(а):
По поводу теоремы Котельникова хочу сказать, что в радиотехнике её иногда применяют не совсем правильно.


К сожалению, вынужден с Вами согласиться. В противном случае, меня бы здесь не было.


Цитата:
Кто-то подсчитал, что достаточно отсчётов с частотой 44 кгц, чтобы воспроизвести музыкальный звук (мол, выше 22 кгц ухо не слышит). Но ведь это не так.


Вы не совсем правы. Скорее всего, Вы не слышите у же после 18 кГц. Во всяком случае, я проработавший в этой облости приличное время и имеющий "тренированное ухо" выше не слышу. На счет "ощущения звука", то это вопрос спорный. Кроме полосы частот, там еще масса гораздо более значимых факторов типа фазовых и гармонических искажений. Кстати, 44100 Гц уже почти не применяют. Обычно выбирают из линейки 48 кГц, 96 кГц, 192 кГц. Кстати, разрядность АЦП уже давно 24 бита.

Цитата:
И в музыкальном сигнале после 20кгц идёт плавное спадание спектра.


Вот-вот. А теорема Котельникова этот случай не рассматривает. А корректного (именно корректного) доказательства (с учетом перекрытия спектров) я не знаю. И сие меня сильно огорчает.

 
 
 [ Сообщений: 12 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group