Где у Кудрявцева доказывается теорема Котельникова?

[st256]

Вообще вопрос можно поставить шире: в каких известных учебниках по анализу доказывается эта теорема и где именно (страница)? У меня создалось впечатления, что обычно в учебниках, эта теорема доказывается не совсем корректно.

Заранее благодарен.

[ewert]

А я вот и вообще никогда в жизни с теоремой Котельникова не сталкивался. Т.е. сталкивался, конечно, но уж точно не в учебниках по анализу.

Как говорится, "кушать -- лублу, а так -- нэт".

(Что, конечно, не означает, что там её нельзя найти.)

[st256]

А давайте опыт проведем? Просто интересно.

Теорема Котельникова подразумевает, что если интеграл Фурье от функции отличен от нуля на интервале $[ -\Omega; \Omega]$ то эту функцию можно представить отсчетами с частотой $2 \Omega$

Теперь берем синусоиду с частотой $\Omega$ и дискретизируем ее в точках $\pi n$. Т.е. с частотой $2 \Omega$ т.е. точно по Котельникову. Получаем ес-но одни нули. Потом дискретизируем ее в точках $\pi n + \frac \pi 2$. Но теперь получаем ряд 1, -1, ...

В чем дело? Теорема ошибочна? Или я чего-то преднамеренно опустил?

[ewert]

st256 в сообщении #229246 писал(а):

Теорема Котельникова подразумевает, что если интеграл Фурье от функции отличен от нуля на интервале $[ -\Omega; \Omega]$ то эту функцию можно представить отсчетами с частотой $2 \Omega$

Со строго большей частотой.

[venco]

st256 в сообщении #229246 писал(а):

В чем дело?

$( -\Omega; \Omega )$

[st256]

ewert в сообщении #229247 писал(а):

Со строго большей частотой.

Не согласен
В аутоинтичном доказательстве Котельникова записано именно равенство. А у Шенона теорема звучит вообще так:
Если функция f(t) не содержит частот выше W Гц, то она полностью определяется своими мгновенными значениями в моменты, отстоящие друг от друга на (1/2 W) сек. Если я правильно перевел с английского, конечно.

-- Ср июл 15, 2009 23:46:53 --

venco в сообщении #229248 писал(а):

st256 в сообщении #229246 писал(а):

В чем дело?

$( -\Omega; \Omega )$

Вот Вы знаете, я не согласен с Вами. Мало того, с одной стороны я борюсь с такими трактовками этой теоремы (просто они не доказаны, это чисто эмпирический вывод), а с другой стороны, Вы... абсолютно правы

[ewert]

Ну вот Вы и привели контрпример.

[st256]

ewert в сообщении #229252 писал(а):

Ну вот Вы и привели контрпример.

Не совсем понял. Я привел контрпример (с синусоидой), который "разваливает" теорему? Или я привел другую теорему, которая в отличии от первой "более правильна"?

[venco]

st256 в сообщении #229253 писал(а):

ewert в сообщении #229252 писал(а):

Ну вот Вы и привели контрпример.

Не совсем понял. Я привел контрпример (с синусоидой), который "разваливает" теорему? Или я привел другую теорему, которая в отличии от первой "более правильна"?

Вы привели пример опровергающий неправильную формулировку, с $[ \Omega; \Omega ]$.
А правильная - с $( \Omega; \Omega )$.

[st256]

Цитата:

Вы привели пример опровергающий неправильную формулировку, с $[ \Omega; \Omega ]$.
А правильная - с $( \Omega; \Omega )$.

Нет. Я просто опустил кое-что из определения. Дискретизируемая функция по Котельникову должна
1) удовлетворять условиям Дирехле.
2) быть интегрируема.

А синусоида - не интегрируемая ф-ция. Т.е. По теореме Котельникова вообще никакую синусоиду дискретизировать нельзя... Да и вообще периодический сигнал.

[мат-ламер]

По поводу теоремы Котельникова хочу сказать, что в радиотехнике её иногда применяют не совсем правильно. Классический пример - музыкальные аудиокомпакты. Кто-то подсчитал, что достаточно отсчётов с частотой 44 кгц, чтобы воспроизвести музыкальный звук (мол, выше 22 кгц ухо не слышит). Но ведь это не так. В природе практически не бывает сигналов, спектр которых резко обрывается после какой-то границы. И в музыкальном сигнале после 20кгц идёт плавное спадание спектра. Сигнал выше 20кгц мы не слышим, но ощущаем. Кроме того, на аудиокомпактах оганичили дискретизацию (точность представления сигнала) 16-ю битами, что недостаточно. В результате аудиоэксперты считают, что лазерные компакты звучат хуже старых виниловых грампластинок.

[st256]

мат-ламер в сообщении #229475 писал(а):

По поводу теоремы Котельникова хочу сказать, что в радиотехнике её иногда применяют не совсем правильно.

К сожалению, вынужден с Вами согласиться. В противном случае, меня бы здесь не было.

Цитата:

Кто-то подсчитал, что достаточно отсчётов с частотой 44 кгц, чтобы воспроизвести музыкальный звук (мол, выше 22 кгц ухо не слышит). Но ведь это не так.

Вы не совсем правы. Скорее всего, Вы не слышите у же после 18 кГц. Во всяком случае, я проработавший в этой облости приличное время и имеющий "тренированное ухо" выше не слышу. На счет "ощущения звука", то это вопрос спорный. Кроме полосы частот, там еще масса гораздо более значимых факторов типа фазовых и гармонических искажений. Кстати, 44100 Гц уже почти не применяют. Обычно выбирают из линейки 48 кГц, 96 кГц, 192 кГц. Кстати, разрядность АЦП уже давно 24 бита.

Цитата:

И в музыкальном сигнале после 20кгц идёт плавное спадание спектра.

Вот-вот. А теорема Котельникова этот случай не рассматривает. А корректного (именно корректного) доказательства (с учетом перекрытия спектров) я не знаю. И сие меня сильно огорчает.