Полугруппы

[neo66]

Sonic86
Что-то у меня, видимо, по природному скудоумию, получаются одни группы.
Дайте какой-нибудь пример, моногенной полугруппы, которая не является группой.
-----------------------
Посмотрел книжку Ляпина. Моногенные полугруппы определяются чуть более общим образом.
В частности, полугруппа, состоящая из элементов $\{x,x^2,x^3\}$ и соотношения $x^4=x^2$ не является группой. Но, для элемента $x$ не существует такого $y$, что $xyx=x$(так, как $xxx=x^3, xx^2x=x^2, xx^3x=x^3$).

[Sonic86]

neo66 писал(а):

Посмотрел книжку Ляпина. Моногенные полугруппы определяются чуть более общим образом.
В частности полугруппа, состоящая из элементов $\{x,x^2,x^3\}$ и соотношения $x^4=x^2$ не является группой. Но, для элемента $x$ не существует такого $y$, что $xyx=x$(так, как $xxx=x^3, xx^2x=x^2, xx^3x=x^3$).

Нет, значит это я затупил.

[Sonic86]

neo66 писал(а):

Sonic86
Что-то у меня, видимо, по природному скудоумию, получаются одни группы.
Дайте какой-нибудь пример, моногенной полугруппы, которая не является группой.
-----------------------
Посмотрел книжку Ляпина. Моногенные полугруппы определяются чуть более общим образом.
В частности, полугруппа, состоящая из элементов $\{x,x^2,x^3\}$ и соотношения $x^4=x^2$ не является группой. Но, для элемента $x$ не существует такого $y$, что $xyx=x$(так, как $xxx=x^3, xx^2x=x^2, xx^3x=x^3$).

Вы имеете ввиду полугруппы не абстрактные, а те, которые можно из обычных примеров построить?
Конечные одного могу привести: чтобы получить моногенную полугруппу, берете любую конечную полугруппу, выбираете в ней элемент $x$ и рассматриваете его степени. У меня была полугруппа $\mathbb{Z}_2[x]$, где $x^n=1, n \in \mathbb{N}$ c умножением (или ей изоморфная), в ней можно выбрать моногенные, взяв элемент с четной суммой коэффициентов (если взять $\mathbb{Z}_p$ вместо $\mathbb{Z}_2$, то с суммой, делящейся на $p$). То есть, если $F$ - конечная полугруппа, $G$ - максимальная подгруппа в ней и $a \in G \ F$, то отображение $x \to ax$ на $G \ F$ задает структуру орграфа, состоящего из нескольких разных по мощности компонент типа $a \to a^2 \to ... \to a^p \to ... \to a^{q-1} \to a^p$ (типа петля - колечко с хвостом), вот это - моногенная полугруппа $\{ a,...,a^p,...,a^{q-1}\}$ с соотношением $a^p=a^q$. Можно взять более общий вариант - ее подполугруппу $F = \{ a^r,...,a^p,...,a^{q-1}\}, r \geq p \geq q$. Выше я взял более частный вариант для которого $p=r$. Но очевидно, что для всех элементов хвоста $x:x=a^j, r \geq j < p$ действительно нет такого $y$, что $xyx=x$, поскольку вообще нет такого $z:xz=x$, но для любого $x:x=a^j, p \geq j < q$ такой элемент $y$ есть и притом единственный (поскольку петля замыкается): $a^jya^j=a^j \Leftrightarrow y=a^{q-p-j}$.
Таким образом, в общем случае для моногенных полугрупп (с хвостом) условие задачи не выполняется (причем как раз для элементов хвоста), а для моногенных полугрупп, у которых $x \to ax$ - биекция (без хвоста), условие задачи выполняется.

[neo66]

Что-то я перестал понимать. Зачем все это словоблудие?
Вы утверждаете, что существует полугруппа с указанным условием, не являющаяся группой? Если да, укажите пример.

[Sonic86]

neo66 писал(а):

Если да, укажите пример

Полугруппа $\{ x^p, ..., x^{q-1}\}$ с умножением с $x^p=x^q$.

[neo66]

Для каких $p$ и $q$ это не группа?

[Sonic86]

$1 \leq p < q$
Вот для $p=1, q=8$:
$<\{ 1+t, 1+t^2, 1+t+t^2+t^3, 1+t^4, 1+t+t^4+t^5, 1+t^2+t^4+t^6, 1+t+...+t^7\}; \cdot>$, где $t: t^8=1$, а операция $\cdot$ - умножение по модулю 2.

[Профессор Снэйп]

Мне лень проверять, но вообще-то правильный ответ такой, что $S$ всегда группа То есть либо тут ошибка, либо найдено фундаментальное противоречие в современной математике

-- Сб июл 18, 2009 19:07:14 --

Alexiii в сообщении #227619 писал(а):

Судим так:так как тут доказал,что идемпотент единственный,то из $ab=abab,ba=baba \Rightarrow ab=ba$.Для любого элемента $a\in S \Rightarrow a(ab)=(ab)a=a,(a)(b)=ab,(b)(a)=ba$,притом $b$ единственный!
В итоге получили для $S$:
1)$\forall a,b,c\in S ((ab)c=a(bc))$ - Ассоциативность
2)$\forall a\exists ! b((ab)a=a(ab)=a)$ - Существо единичного элемента
3)$\forall a\exists ! b((a)(b)=(b)(a)=ab)$ - Существо противного элемента

Эдак $S$ группа с ед. елементом $ab$(он единственный,так как$\forall a\in S$элемент $ab$-идемпотент,а значит единственен)!

Все!..

Я согласен с этим доказательством и признаю его правильным Хотя изложено оно, безусловно, весьма коряво.

[neo66]

Sonic86 в сообщении #229889 писал(а):

$1 \leq p < q$
Вот для $p=1, q=8$:
$<\{ 1+t, 1+t^2, 1+t+t^2+t^3, 1+t^4, 1+t+t^4+t^5, 1+t^2+t^4+t^6, 1+t+...+t^7\}; \cdot>$, где $t: t^7=1$, а операция $\cdot$ - умножение по модулю 2.

Что-то вы тут недодумали.
Это во-первых не моногенная полугруппа.
Во-вторых вообще не полугруппа , так как $(1+t)^2=1+t^2$ - не принадлежит множеству перечисленных элементов.
В третьих, не $t^7=1$, а $t^8=1$?

Если вы хотите, чтобы вас понимали, пишите аккуратней.

[Профессор Снэйп]

Справедливости ради замечу, что $1+t^2$ он всё-таки перечислил

[neo66]

Извиняюсь, был невнимателен.
Тем не менее, указанная полугруппа является группой с единицей $1+t+t^2+t^3+t^4+t^5+t^6+t^7$.

[Профессор Снэйп]

Хм...

$$ (1+t)(1+ \ldots + t^7) = (1+ \ldots + t^7) + (t+ \ldots + t^8) = 1 + 2(t+\ldots+t^7) + t^8 = 1+1 = 0 $$

Что-то не то

[Sonic86]

neo66 писал(а):

В третьих, не $t^7=1$, а $t^8=1$?

Да, действительно $t^8=1$, тут я ошибся.
И все-таки не группа, я их могу километр написать.
Насчет ошибки - надо подставлять мою полугруппу в это доказательство и смотреть, где глюк вылазит.

[neo66]

Нет, все-таки, наверное, $t^7=1$. В этом случае получается группа, как я выше указал.

Sonic86 в сообщении #230205 писал(а):

И все-таки не группа, я их могу километр написать.

Не надо километров, напишите одну, причем, по возможности, простейшую.

[Профессор Снэйп]

neo66 в сообщении #230220 писал(а):

Не надо километров, напишите одну, причем, по возможности, простейшую.

Причём без ошибок.

То что Вы написали, не есть даже полугруппа. Я выше уже писал об этом: перемножаем два элемента $1+t$, $1+t+\ldots+t^7$ и получаем $0$ --- элемент, который не был перечислен в списке!