Парадокс в классической механике.

[Антипка]

Andrew58 в сообщении #228611 писал(а):

Ответ по существу вопроса http://e-science.ru/forum/index.php?sho ... st=120#128
-- Вт июл 14, 2009 08:44:48 --

Там тоже не все безупречно. Вот что там писал Munin:

Цитата:

Согласны ли вы с тем, что в обоих вариантах (с грузиками и нитью) невесомое колесо (катушка), осуществляющее связи, сохранит у себя весь горизонтальный импульс, и устремится вперёд с бесконечной скоростью?

Исходная посылка неверна. Катушка не сохранит горизонтальный импульс. По мере разматывания нити нарушается цилиндрическая симметрия системы, в результате чего между катушкой и опорой появляется сила трения покоя, изменяющая импульс той и другой. Однако пустая невесомая катушка действительно "улетит с бесконечной скоростью" - в силу закона сохранения энергии.

Собственно, я решил задачу аналитически для случая невесомой катушки, одного витка нити и неподвижной платформы. Там нет ничего сложного. Составляете уравнение Лагранжа II рода - получается нелинейное ОДУ второй степени без явного включения независимой переменой (времени), известной заменой понижаем степень и переходим к производной по обобщенной координате (у меня это $\varphi $ - угол сектора катушки, на котором есть нить), видим, что оно представляет из себя полный дифференциал, интегрируем .... и получаем результат, который элементарно выводится из закона сохранения энергии. Вот первый интеграл движения:
$\[(gR + v^2 )(\varphi - \sin \varphi ) = const\]$

PS, добавленный некоторое время спустя.
Andrew58, не обижайтесь, но ответа по существу вопроса в дискуссии по приведенной вами ссылке нет. Потому что ни один из участников - ни Munin, ни вы, ни тем более ABV, не поняли сути процессов, которые идут в той системе. Отсюда появились ремарки Munin'а о том, что аппарата классической механики недостаточно для решения задачи (зачем-то и термодинамику сюда пристегнул) и что импульс "цепи" (его горизонтальная составляющая) сохраняется. В частности, формулы, приведенные вами, относятся к какой-то иной задаче. Ваша общая ошибка заключается в том, что вы не учли фактор асимметрии, возникающей вследствие "разматывания цепи", и как следствие - появление сил трения покоя, изменяющих импульс "кольца". А задача, на самом деле, очень простая, могла бы даже сойти в качестве олимпиадной для старшекласников. Единственная сложность - когда считаешь ипмульс, кин.энергию и пот.энергию неполного кольца, надо брать интеграл, - но он ОЧЕНЬ простой, берется легко, и, как это ни смешно, один и тот же во всех трёх случаях - конечно, с точностью до константы, выносимой за знак интеграла.

[Munin]

Антипка в сообщении #228631 писал(а):

Исходная посылка неверна. Катушка не сохранит горизонтальный импульс.

Это не посылка, а вывод. Мной он был получен для модели отцепляющихся грузиков, и проверен для катушки.

Антипка в сообщении #228631 писал(а):

По мере разматывания нити нарушается цилиндрическая симметрия системы

И что? Это разве должно повлиять на импульс?

Антипка в сообщении #228631 писал(а):

в результате чего между катушкой и опорой появляется сила трения покоя

Не обосновано.

Антипка в сообщении #228631 писал(а):

Собственно, я решил задачу аналитически для случая невесомой катушки, одного витка нити и неподвижной платформы.

Покажите.

Антипка в сообщении #228631 писал(а):

Ваша общая ошибка заключается в том, что вы не учли фактор асимметрии, возникающей вследствие "разматывания цепи",

На основании чего вы делаете это заявление? Асимметрия учтена.

[Антипка]

Munin в сообщении #228677 писал(а):

Антипка в сообщении #228631 писал(а):

Исходная посылка неверна. Катушка не сохранит горизонтальный импульс.

Это не посылка, а вывод. Мной он был получен для модели отцепляющихся грузиков, и проверен для катушки.

Очевидно, вы ошиблись. На цилиндрически несимметричную (из-за разматывания нити) катушку просто обязана действовать сила трения покоя со стороны опоры, значит горизонтальная составляющая импульса просто обязана меняться во времени.

Munin в сообщении #228677 писал(а):

Антипка в сообщении #228631 писал(а):

По мере разматывания нити нарушается цилиндрическая симметрия системы

И что? Это разве должно повлиять на импульс?

Конечно. Сила трения покоя - единственная горизонтально направленная сила, действующая на катушку с нитью, и именно она ответственна за изменение импульса катушки.

Munin в сообщении #228677 писал(а):

Антипка в сообщении #228631 писал(а):

в результате чего между катушкой и опорой появляется сила трения покоя

Не обосновано.

В нашем случае при нарушении цилиндрической симметрии проекция центра масс катушки с нитью на плоскость опоры не совпадает с точкой касания, как следствие, возникает момент сил, стремящийся "провернуть" катушку, но, т.к. проскальзывания нет, со стороны опоры начинает действовать сила трения покоя, частично компенсирующая этот помент. Я уже приводил в этой теме пример: однородный стержень опираем одним концом на шероховатую поверхность, слегка отклоняем от вертикали и отпускаем без начальной скорости. Стержень начнет падать в сторону, у него возникнет горизонтальная составляющая импульса, - очевидно, за счет силы трения покоя, т.к. это едиственная горизонтально направленная сила, действующая на стержень. Наш случай ничем принципиально от этого примера не отличается.

Munin в сообщении #228677 писал(а):

Антипка в сообщении #228631 писал(а):

Собственно, я решил задачу аналитически для случая невесомой катушки, одного витка нити и неподвижной платформы.

Покажите.

Конечно покажу. Но выложить в тему несколько страниц формул с рисунками - дело не быстрое. Да и пусть местная публика слегка пошевелит собственными мозгами. Наверное, открою отдельную тему, т.к. продолжаю настаивать, что ничего дискуссионного в этом примере нет.
А пока только формула для горизонтальной составляющей импульса:
$\[ \begin{array}{l} p = \frac{m}{{2\pi }}\sqrt {2\pi (gR + v_0^2 )(\varphi - \sin \varphi ) - gR(\varphi - \sin \varphi )^2 } \\ \varphi (0) = 2\pi , \\ v(0) = v_0 \\ \end{array} \] $
По ходу движения $\varphi $ убывает от $2\pi $ до 0.
Отсюда хорошо видно, что
$\[ \mathop {\lim }\limits_{\varphi \to 0} p(\varphi ) = 0 \] $

Munin в сообщении #228677 писал(а):

Антипка в сообщении #228631 писал(а):

Ваша общая ошибка заключается в том, что вы не учли фактор асимметрии, возникающей вследствие "разматывания цепи",

На основании чего вы делаете это заявление? Асимметрия учтена.

Не вижу, что учтена. Если бы была учтена, то на количественном уровне "угол намотки" (угол сегмента окружности, "занятый" цепью - в моих формулах $\varphi $) входил бы в формулы, а на качественном уровне не было бы вывода о постоянстве горизонтальной составляющей импульса.

PS. Ув Munin, не обижайтесь, - очевидно, вы просто потратили недостаточно времени, чтобы аккуратно разобраться в этой задаче. Я тоже далеко не всегда сразу въезжаю в тему. Правда, механики это не касается.

[Munin]

Антипка в сообщении #228711 писал(а):

Конечно. Сила трения покоя - единственная горизонтально направленная сила, действующая на катушку с нитью, и именно она ответственна за изменение импульса катушки.

Вы объясняете изменение импульса изменением импульса.

Антипка в сообщении #228711 писал(а):

В нашем случае при нарушении цилиндрической симметрии проекция центра масс катушки с нитью на плоскость опоры не совпадает с точкой касания, как следствие, возникает момент сил, стремящийся "провернуть" катушку, но, т.к. проскальзывания нет, со стороны опоры начинает действовать сила трения покоя, частично компенсирующая этот помент.

Интересно. Получается, скорость растёт ещё сильнее, чем я думал. Должен признать, я пренебрёг этим влиянием силы тяжести. Можете его оценить?

Антипка в сообщении #228711 писал(а):

Конечно покажу. Но выложить в тему несколько страниц формул с рисунками - дело не быстрое. Да и пусть местная публика слегка пошевелит собственными мозгами.

Да мне, собственно, неинтересно ваше решение целиком, я спросил, чтобы выяснить, как вы формализовали задачу и составили уравнения. Не такой это однозначный этап, как выясняется.

Антипка в сообщении #228711 писал(а):

А пока только формула для горизонтальной составляющей импульса

Спасибо, без вывода она бесполезна.

Антипка в сообщении #228711 писал(а):

Не вижу, что учтена. Если бы была учтена, то... $\varphi $ входил бы в формулы

Неудивительно, что не видите. Я там вообще формул не выписывал.

[ewert]

А что за катушка с ниткой имеется в виду? Это когда мы тянем за нить горизонтально, а она наматывается, да?

[Munin]

Гораздо проще. Катушка катится, нить разматывается. Нить намотана в один оборот, нить тяжёлая, катушка невесомая.

[Антипка]

Munin в сообщении #228725 писал(а):

Вы объясняете изменение импульса изменением импульса.

Нет, я объясняю изменение импульса действием силы - это ясно из дальнейшего изложения.

Munin в сообщении #228725 писал(а):

Интересно. Получается, скорость растёт ещё сильнее, чем я думал. Должен признать, я пренебрёг этим влиянием силы тяжести. Можете его оценить?

Момент силы тяжести и нормальной рекции опоры в этой задаче - действительно постоянно действующий фактор, "разгоняющий" катушку. Но сила трения покоя со временем меняет направление действия на противоположное. Выражаясь предельно вульгарно (с физической точки зрения), - уж извините, - в какой-то момент времени, вероятно, когда от намотки останется менее четверти круга, а катушка разгонится до бешеных скоростей, кто-то должен будет компенсировать центробежную силу, действующую на оставшийся участок намотки. И это будет именно сила трения покоя. Если вам не нравится "центробежная сила" - извольте более научно: какая-то сила должна будет обеспечить очень выросшее к этому моменту центростремительное ускорение оставшейся части намотки и в части горизонтальной проекции это будет делать именно сила трения покоя. Именно она в конечном итоге "погасит" горизонтальную составляющую импульса катушки.

Добавлено. Удивительно, но условие "переключения" оказалось весьма простым - сила трения покоя меняет направление на противоположное, а импульс катушки начинает убывать при $\[ v \ge \sqrt {gR} \] $
Конец добавления.

Munin в сообщении #228725 писал(а):

Да мне, собственно, неинтересно ваше решение целиком, я спросил, чтобы выяснить, как вы формализовали задачу и составили уравнения. Не такой это однозначный этап, как выясняется.

Формализовал очень просто - в лоб, через интегралы, с использованием понятия мгновенного центра вращения, записал выражение для кинетической и потенциальной энергии катушки. А дальше - либо Лагранжиан и уравнения II рода, либо закон сохранения энергии. Результат будет один и тот же. Завтра приведу результаты. Но, ей-богу, вы выведите это гораздо быстрее, чем я наберу в форуме уже готовые формулы.

[Munin]

Антипка в сообщении #228746 писал(а):

записал выражение для кинетической и потенциальной энергии катушки. А дальше - либо Лагранжиан и уравнения II рода

Насколько я знаю, этот метод пригоден только для изолированных систем. А здесь вы сами указываете на обмен импульсом с поверхностью.

[Андрей123]

Метод пригоден и для незамкнутых систем. Прсто в правых частях могут появляться члены, соответствующие непотенциальным силам. В данном случае сила трения работы не совершает, хотя и влияет на изменение импульса. По-моему, здесь проще пользоваться законом сохранения энергии. Выкладки не очень сложные. В итоге получается вот так:$R^2 \dot\varphi^2(\varphi-\sin\varphi)+gR(\varphi-\sin\varphi)=2\pi(v_0^2+gR)$.Формула для импульса получается, как и у Антипки.

[Andrew58]

Да, что-то я тогда зациклился на скорости и упустил простую вещь из виду. Если невесомая катушка уносит с собой импульс p, то она всяко унесет и кинетическую энергию {p^2}/ {2m}. Поскольку решения с бесконечной энергией не могут существовать, p должно стремиться к нулю хотя бы как \sqrt m. Собственно, так и получилось - и никаких парадоксов.

[ABV]

Цитата из другого форума.

Цитата:

Да нет же. Вы применили закон сохранения импульса:
V0x(mx(n-1))=V1x(вся масса)

Так вот почему вы берете n элементов и почему-то считаете, что их средняя скорость V0 сохранится если выкинуть элемент неподвижный относительно платформы? у оставшихся элементов будет большая средняя скорость V'0=(n/(n-1))xV0!

Вы абсолютно правы.

Импульс сохранится с меньшим числом элементов кольца.
$P=const=m\time V=((n-1)\times m)\times (\frac{n}{n-1} \times V_0) =(n\times m)\times V_0$
Остаётся только одно НО. К платформе, которая является системой отсчёта для нас, один элемент кольца имеет нулевую скорость. Т.е. покоится на оной.

Давайте развернём систему и сделаем кольцо системой отсчёта. Тогда платформа с массой М движется со скоростью V и имеет импульс MxV для вертикальной плосткости. Но если считать для горизонтальной плоскости (поверхность платформы) то надо учитывать один элемент кольца, который движется с той же скоростью, что и платформа. Т.Е. для горизонтальной плоскости импульс платформы будет (M+m)xV. Здесь скорость для всех элемнтов движушегося тела одинаковая. Подсчёт средней скорости ничего не даст. В чём тут дело? В системе отсчёта. Так как один элемент кольца движется со скоростью платформы, то средняя скорость кольца меняется( Это очевидно если поменять систему отсчёта.) Т.е получается, что для горизонтальной плоскости система отчёта должна двигаться относительно системы для вертикальной плоскости. С какой же скоростью? Разница между средней скоростью кольца и нуля. Нетрудно догадаться что скорость будет V/n.
СТОП.
Получается что система координат для вертикальной и горизонтальной плоской имеют взаимное движение? Тогда получается, что если оттолкнуть от вертикальной плоскости импульсы считаются по одной системе отсчёта. А если столкнуть с горизонтальной плоскостью, то подсчёт импульса должен перейти в другою систему отчёта, которая движется относительно первой. В таком случае рассталкивая от нулевой скорости в системе отсчёта для вертикальной плоскости, при столкновении в горизонтальной платформа перейдёт в нулевую скорость для горизонтальной системы отсчёта. Но это значит что, для вертикальной системы отсчёта система будет двигаться!!!!!!
Т.Е. для стороннего наблюдателя система придёт в движение.

[Антипка]

Андрей123 в сообщении #228813 писал(а):

В итоге получается вот так:$R^2 \dot\varphi^2(\varphi-\sin\varphi)-gR(\varphi-\sin\varphi)=2\pi(v_0^2-gR)$.Формула для импульса получается, как и у Антипки.

Конечно, через закон сохранения энергии гораздо проще, чем через уравнения Лагранжа II Рода. Ведь результат - тот же самый. Сдается мне, вы ошиблись в знаке. Вы вычли потенциальную энергию из кинетической. Это правильно, когда считаешь Лагранжиан. Но это неверно, если хочешь записать закон сохранения энергии.
Правильно - вот так:
$R^2 \dot\varphi^2(\varphi-\sin\varphi)+gR(\varphi-\sin\varphi)=const$
Коль скоро все пришли к консенсусу, тогда разомнитесь еще вот такими задачами:
1. Найдите условие, при котором импульс катушки начинает убывать.
2. Докажите, что в некоторый момент времени катушка подпрыгнет (если ей, конечно, не помешать это сделать).
А я завтра постараюсь выложить решение полностью. Если кто-то опередит - не обижусь.

-- Вт июл 14, 2009 20:37:09 --

ABV в сообщении #228828 писал(а):

Импульс сохранится с меньшим числом элементов кольца.
$P=const=m\time V=((n-1)\times m)\times (\frac{n}{n-1} \times V_0) =(n\times m)\times V_0$
Остаётся только одно НО. К платформе, которая является системой отсчёта для нас, один элемент кольца имеет нулевую скорость. Т.е. покоится на оной.

ABV, вы зациклились на каких-то элементах. В этой задаче нет никаких дискретных элементов. Масса в этой задаче равномерно распределена по нитке/шнуру/цепи... Здесь надо интегрировать, а вы пишете какие-то суммы. Но даже эти суммы вы пишете неправильно. Вы совершенно не учитываете тот факт, что каждый ваш "элемент" обладает скоростью, отличной от скорости других "элементов". Соответственно, проекции импульсов всех "элементов" на горизонтальную ось - разные. Когда таких "элементов" много и они равномерно распределены по окружности, это худо-бедно работает, давая более-менее правильную картину. Но когда часть элементов "станет опорой", как вы выражаетесь, т.е. осыпется на поверхность, эта формула уже не верна. А ведь в этой задаче все самое интересное происходит именно в этом случае. В общем, не валяйте дурака, а внимательно слушайте правильные доводы - они высказывались здесь. Завтра я приведу полное корректное формальное решение задачи. Готовьтесь.

[Munin]

Антипка в сообщении #228834 писал(а):

2. Докажите, что в некоторый момент времени катушка подпрыгнет

Уже обсуждалось. При достаточно большой силе тяжести подпрыгнуть не должна.

[Андрей123]

Согласен в сообщении со знаком ошибся. Исправил. Условие на убывание импульса:
$\varphi-\sin\varphi<\pi+\frac{\pi v_0^2}{gR}$, или после подстановки в формулу для скорости - $v>\sqrt{gR}$

[Andrew58]

Похоже, по всем существенным пунктам мы пришли к согласию. У меня дополнений к уже изложенному нет.