очевидность понятия "равно".

[epros]

conviso в сообщении #228479 писал(а):

Наблюдающееся расслоение на "понимающих" и "непонимающих" - это свойство языка или свойство человека, который этим языком пользуется?

Это отношение между человеком и понятием.
Есть понятия, которые понятны "почти всем", а есть понятия, которые понимают немногие, прошедшие специфическое обучение.

[6675636b]

>Кстати, споры о том является ли приведённое утверждение аксиомой или определением, выявляют некоторую "формальную неочевидность"...
Все "споры" уже давно закончились придя к обоюдному согласию , и никакой "формальной неочевидности" нет, есть свобода выбора.
Каждая аксиома она по определению очевидна.

[conviso]

Я таки непонятное чего-то изобразил..., наверно
Я спрашиваю о Критерии, по которому можно было бы строить достоверные суждения.
"Народное голосование" мы проходили
Или аристотелевский язык обрекает нас на парадигму "из чего...", или это свойство человека - ходить на ощупь, ожидая появления "козьих морд из кустов"?
Понятие "равно" для меня, может показаться странным, теснейшим образом связывается с понятием "время", которое в Математике занимает совершенно своеобразное место. С одной стороны - это залетная кикимора, неизвестно что делающая среди чисел, операторов и иного матнаселения, с другой - без него ни шагу, а то еще и попрыгать можно, а можно по растягивать - посжимать и прочие "процессы"!
Не думаю, что это меня единого посетило это откровение... . Хотелось бы услышать мнение людей профессионально и ответственно "перед народом" пользующихся этими понятиями.
epros сводит к камушкам и палочка - здорово! И конечно, за применителя не поручишься , но, что важно,

Цитата:

это математическая модель реальной операции счёта. Мы не имеем абсолютных гарантий того, что модель в реальности всегда и всяким пользователем будет применена правильно. Однако мы считаем модель "применимой" и "имеющей смысл", если у нас есть уверенность в том, что достаточно квалифицированные пользователи смогут применить её правильно

.Может быть вся эта болезненная ситуация с "неочевидностями" есть, все-таки, свойство математического языка со всей его избыточной точностью.
Ведь едва ли кто серьезно из математиков согласится на "абсолютные гарантии". Не миф ли это, не дань ли это аристотелевским наследиям. Ведь та же, по сути ситуация у Фомы Аквинского была, когда на кончике булавки искали свойства бога...

То, что "вертеть как хочешь" нельзя - понятно. Отказываться от слова неприлично , но иногда это весьма полезно для иного контекста..., что бы мы делали без кватернионов...?
Уважаемый epros, за учебу чего и говорить, как говорят..., но если процесс обучения понятию подается человеку с качаниями "по македонски"- есть такой прием в боевой стрельбе, отличающегося от того нормированного процесса, на котором строиться все наше воспитание..., то на конце получим наше незабываемое Сегодня во всех вузах.

Уважаемый Инт, то, что есть "некоторое... нечто...", мне очевидно. Но Что это такое? Можно ли в разряд достоверных (для кого) явлений поместить некий Критерий, по которому можно не оглядываясь на тени в кустах заниматься делом? Ведь даже в вашем столь трудном диалоге с оппонентами у меня, простите за невежество, куча вопросов..., а как Вы определите..., что Ваши линии действительно, именно они, перемещаются. Дело не в законах "здравого смысла", говорящих о непрерывных функциях - линиях. Простой пример: не может ли линия, вами дефоримируемая, "взбухнуть" в точке..., как-нибудь - перескочить из одного класса в другой? и кто об этом узнает?Опять, куда не ткни - "равно" или нет.Похоже мы ходим вокруг некоего закона сохранения "Чего-то".

[Инт]

conviso в сообщении #228517 писал(а):

что есть "некоторое... нечто...", мне очевидно. Но Что это такое? Можно ли в разряд достоверных (для кого) явлений поместить некий Критерий, по которому можно не оглядываясь на тени в кустах заниматься делом? ...

Да критерий то есть. Есть в первую очередь некоторые конкретные математические объекты, различающиеся и устанавливаемые в уме с той же степенью очевидности, что и, например, знаки на бумаге. Конкретное считаем очевидным (тут можно спросить, что есть конкретное, и т.п.). Далее есть достаточно сложная, но так же конкретная рефлексия ума, позволяющая достаточно надёжно делать выводы. Т.е. некие дисциплинированные ассоциации в уме, которые не позволяют делать ошибки. Ошибки, конечно делаются, например, из-за слабости мысли перед физиологией, но всё же, могут быть исправлены той же мыслью, если она честная перед собой.

Что касается моих линий, то иногда, когда математики говорят друг другу "очевидно" это подразумевает, что они настолько хорошо, одновременно для них, видят правильность некоторой сложной операции, что просто с полуслова понимают друг друга. В частности, непрерывное движение линий по тонкой плёнке "очевидно реализуемо как функция от параметра t". Сборке такого сложного рефлекса предшествовали более простые очевидности, признанные в математике.

[luitzen]

Всё-таки выскажусь вдогонку одному из участников темы.

Он, по-видимому, как-то путает метатеорию и метаязык. Язык теории в самом деле формулируется в некотором метаязыке, и последний в каком-то смысле действительно предшествует первому. Но метатеория делает некоторые утверждения о теории, и как она их может делать в её отсутствие, совершенно непонятно.

Что касается собственно равенства… Я в последних нескольких сообщениях говорил скорее о тождестве, и скорее оно, а не собственно равенство, имеется в виду под равенством в ряде словосочетаний. Например, в словосочетании «исчисление предикатов с равенством». Ну, быть может, не совсем так, но в любом случае фигура тождества предшествует фигуре равенства: при установлении последнего требуется определить принадлежность к одному и тому же классу эквивалентности.

Возможно, именно тождество, а не равенство, имел в виду топикстартер. Или, быть может, прав epros: сначала я не понял, при чём тут экстенсионал и интенсионал, но потом вспомнил первое предложение «Смысла и денотата». Наверное, всё-таки при чём-то .

[6675636b_new]

Цитата:

Он, по-видимому, как-то путает метатеорию и метаязык. Язык теории в самом деле формулируется в некотором метаязыке, и последний в каком-то смысле действительно предшествует первому. Но метатеория делает некоторые утверждения о теории, и как она их может делать в её отсутствие, совершенно непонятно.

Я ничего не путаю и все совершенно понятно. Еще раз, все понятия определены и аксиомы доказаны в метатеории.

Цитата:

Я спрашиваю о Критерии, по которому можно было бы строить достоверные суждения.

А критерии критериев и т.д. вам тоже подавай?
Да поймите вы наконец, что теорий несколько (аксиомы у них РАЗНЫЕ), и ни одна из них достоверно не отражает действительность.
Чего вы хотите? Создать теорию, которая достоверно отражает действительность? Так вот, такой не существует. То что нам людям кажется - это на самом деле не действительность, а лишь наши глюки. Вот у некоторых людей глюки совпадают и они придумывают аксиомы, но к действительности, это не имеет никакого отношения - нам просто КАЖЕТСЯ и не более.

[conviso]

"Мороз крепчал..."
Я, если позволите, попробую последовать совету "...о половине решения...".
Коль скоро пошли в ход "смысл и денотат" с ближайшими сородичами, то замечу, в том же Языкознании мы с вами нигде не найдем определение понятия "смысла"(слова, предложения и пр...). Везде будут предлагаться перетолковывания на те или иные "абсолютные" свойства "элементов" языка. Причем эти "элементы" сами, как оказывается, вполне годны для следующего этапа "измельчения". (Сопоставительный метод не в счет - язык описания тот же самый).
Что значит для меня "нет определения"? Это значит, что "разложение" "сложного" понятия на "простые" происходит через определение достоверной связи слова = знака с тем общинным достоверным делом, которое в этой именно общине называют "результатом".
Уважаемый Инт, Ваш пример с пленкой являет именно эту траекторию развития речи. Некогда "сложное" после достоверного употребления приводит в Вашей деятельной общине к устойчивым и достоверным делам. Это может быть счет на камушках, может на тригерах..., у кого что под руками будет. И "сложное" приобретает статус в общинном языке "простого"..., "очевидного"...
Но, вот оказывается какая ситуация. С изменением жизни некогда "абсолютные гарантии" превращаются в знак именно недостоверного суждения. Одно упоминание "железных гарантий" вызывает мгновенную оценку ситуации как заведомо "провальной" ...и прочие слова.
Возникает очевидный для меня вопрос: если норма предыдущего использования языка приводит к подобным изменениям оценки связи "слово - дело", то что делать?
1) Либо связь эту надо менять на новую (тогда происходит просто изменение нормы употребления языка),
2) либо менять ту норму оценки, по которой с такой ситуацией не хочется "иметь дело".
Если присмотримся к тому, что сегодня творится с нашими детьми..., то легко заметить присутствие обоих типов изменения обеих норм.
Изменение нормы употребления языка и изменение нормы оценки связи слова с делом (смысла) слова-речи, для меня очевидно, осуществляется по вполне наблюдаемым и формулируемым критериям.
На этом можно было бы и остановиться, пожав плечами...: исторический процесс...!
Не очевидна для меня такая обреченность. Скорее я склонен считать, что это сумеречное состояние изменения указанных норм есть свойство языка, построенного на категориях "без связи", о чем Аристотель в свое время без обиняков и объявил.
Но, тогда альтернативой может быть заведомая именно "связь слово-дело".
На Форуме здесь прозрачна работа по выяснению "связей" во всех мыслимых видах "чего-то с чем-то". Когда-то эти выяснения доходят до личностей...
Что это такое: человеческая заведомая неспособность построить язык достоверного общения или "принципиальная" невозможность такого типа языка обеспечить такое общение?
Ведь есть еще музыка и пр...
Мне показалось, что понятия "изменение", "неизменность" суть именно те "элементарные" аксиматические восприятия, которые дальше сводить не к чему. Далее пойдут "равенство" и пр.
Ведь собственно проблема "однозначности", "железной" бинарности и есть проблемы непонимания. Что можно было бы ввести достоверного: "да - нет"? Для этого необходимо обнаружить действительно некое Единственное Свойство, которое сохранялось бы Критерием различения.
Не знаю..., дошел ли до половины ответа...?

[6675636b_new]

conviso, Вы просто по кругу ходите, Вам приходится объяснять одно и тоже по несколько раз. Так с чем вы еще не согласны?

[epros]

conviso в сообщении #228517 писал(а):

Я спрашиваю о Критерии, по которому можно было бы строить достоверные суждения.

Нет и быть не может. К тому же, это не предмет математики. В математике можно судить только о том, доказано ли высказывание, но это полностью определяется аксиоматикой теории.

[AGu]

Инт в сообщении #228494 писал(а):

существует логическая схема аксиом равенства, и вообще говоря, эта схема не присоединена официально к ZF.

Ой! Всю сознательную жизнь я был уверен, что ZF является расширением теории предикатов с равенством, и авторы всех прочитанных мной книг и статей по логике, казалось бы, меня в этом заверяли. Неужели я так круто накололся?

6675636b_new в сообщении #228563 писал(а):

Еще раз, все понятия определены и аксиомы доказаны в метатеории.

Решительно не понимаю, как аксиомы теории могут быть доказаны в метатеории.
Возьмем, к примеру, теорию групп (с операцией сложения), определенную в метатеории множеств. Как можно доказать, скажем, ассоциативность сложения в метатеории множеств (учитывая, что в сигнатуре последней нет сложения)? Если же тут подразумевается какое-то определение сложения в терминах равенства и принадлежности, то какое?
Или вот пример покруче. Рассмотрим теорию ZFC+CH, определенную в метатеории ZFC. Неужели в ZFC можно доказать CH?

Возвращаясь к топику (и ставя дефиски после «мета» исключительно ради читабельности)...

Я наверняка далек от понимания всей глубины обсуждаемого здесь вопроса и едва ли могу сказать что-то новое, но, на мой взгляд,

(1a) понятие равенства в теории не определяется, является первичным и подчиняется аксиомам теории;
(1b) истинность равенства (в модели) определяется в мета-теории и так или иначе задействует понятие равенства в мета-теории;
(2a) понятие равенства в мета-теории не определяется, является первичным и подчиняется аксиомам мета-теории;
(2') вариант: вместо мета-теории рассматривается некоторая (гипотетическая) мета-модель мета-теории и используется имеющееся в этой мета-модели отношение равенства.

Обычно на этом все заканчивается и возникает апелляция к туманной «интуитивности» и призрачной «очевидности» равенства в мета-теории или мета-модели, но следуя призыву 6675636b_new (и рискуя рассудком ), можно продолжать начатый выше список дальше:

(2b) истинность равенства (в мета-модели) определяется в мета-мета-теории и так или иначе задействует понятие равенства в мета-мета-теории;
(3a) понятие равенства в мета-мета-теории не определяется, является первичным и подчиняется аксиомам мета-мета-теории;
(3b) истинность равенства (в мета-мета-модели) определяется в мета-мета-мета-теории и так или иначе задействует понятие равенства в мета-мета-мета-теории;
(4a) ...

Предела здесь я не вижу. (Если он и есть, то я не могу вписать его в известные мне логические и модельные парадигмы.)

[epros]

AGu в сообщении #228632 писал(а):

(1a) понятие равенства в теории не определяется, является первичным и подчиняется аксиомам теории;

Интересно вообще понять, что означает словосочетание "определяется в теории". Например, определяется ли операция сложения в арифметике (если в ней предусмотрен символ "+" и соответствующие аксиомы)? По-моему, можно сказать, что операция сложения определяется в арифметике. Хотя, конечно, и символ "+", и соответствующие аксиомы указаны как относящиеся к "арифметике" именно метатеорией.

Аналогично и с равенством: метатеория указывает, что в теории может употребляться символ "=" и что в теории имеются соответствующие аксиомы (или теоремы), но при этом можно говорить, что отношение равенства между объектами теории "определено в теории". Например, в ZFC определено отношение равенства между множествами.

AGu в сообщении #228632 писал(а):

(1b) истинность равенства (в модели) определяется в мета-теории и так или иначе задействует понятие равенства в мета-теории;
(2a) понятие равенства в мета-теории не определяется, является первичным и подчиняется аксиомам мета-теории;

Следует иметь в виду, что равенство в метатеории - это не то же самое, что равенство в теории. Например, если ZFC говорит о равенстве между множествами, то метатеория, определяющая ZFC, говорит о равенстве между строками. Высказывание $a = b$ в ZFC может означать тождественность двух множеств, имеющих разные обозначения, но если здесь интерпретировать значок равенства с точки зрения метатеории (что неправильно, поскольку речь идёт о формуле теории), то это было бы ложным высказыванием, ибо строки слева и справа от значка равенства разные.

[ewert]

Допустим, мы утверждаем, что 2/3=4/6. Принадлежит ли это утверждение теории или метатеории?

[luitzen]

AGu в сообщении #228632 писал(а):

Возьмем, к примеру, теорию групп (с операцией сложения), определенную в метатеории множеств.

Ох, не кажется мне эта фраза достаточно аккуратной…
AGu, Вы можете привести пример из литературы, в котором говорилось бы, что теория множеств является метатеорией по отношению к теории групп?

[epros]

ewert в сообщении #228642 писал(а):

Допустим, мы утверждаем, что 2/3=4/6. Принадлежит ли это утверждение теории или метатеории?

Судя по синтаксису это утверждение теории под названием "арифметика рациональных чисел".
Ибо строки "2/3" и "4/6" явным образом не равны.

[MGM]

luitzen в сообщении #228284 писал(а):

Интересно, а чем один электрон отличается от другого электрона ?

Порядком неисчерпаемости.
Электрон неисчерпаем, как и атом.
Следовательно, его принадлежность некоему атому и определяет его отличие от электрона, принадлежащего другому атому.
Поэтому все электроны одного и того же атома (неделимый), равны друг другу.
И если атом теряет один из своих электронов, то последовательность ухода в мир иной определяется демократической процедурой.
Следовательно, предикат равенства не идентичен предикату идентичности,
так как разные электроны атома, хоть и равны, но не идентичны друг другу.
Так как занимают в иерархии оболочек атомарного сообщества разные энергетические ниши.