2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 открытые множества
Сообщение14.07.2009, 00:48 


20/04/09
1067
Рассмотрим топологическое пространство $X$ и непустые множества $D,E\subset X$.
Множество $D$ открыто в $X$. Известно, что множества $D$ и $E$ гомеоморфны как топологические пространства с индуцированной из $X$ топологией.
Верно ли, что множество $E$ открыто в $X$?

 Профиль  
                  
 
 Re: открытые множества
Сообщение14.07.2009, 01:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/04/09
1351
{a, b} – топологическое пространство. {a, b}, {a} и пустое множество – открытая топология. {a} и {b} гомеоморфны как подпространства с индуцированной топологией. {a} открыто в {a, b} и {b} неоткрыто в {a, b}.

 Профиль  
                  
 
 Re: открытые множества
Сообщение14.07.2009, 08:24 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
Виктор Викторов предложил самый простой из возможных контрпримеров.
Я могу, разве что, обратить внимание на чуть более «жизненный» случай:
$[0,1]$ открыто в $[0,1]$, но $[0,\tfrac12]$ не открыто в $[0,1]$.

 Профиль  
                  
 
 Re: открытые множества
Сообщение14.07.2009, 09:19 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
AGu в сообщении #228616 писал(а):
Виктор Викторов предложил самый простой из возможных контрпримеров.
Я могу, разве что, обратить внимание на чуть более «жизненный» случай:
$[0,1]$ открыто в $[0,1]$, но $[0,\tfrac12]$ не открыто в $[0,1]$.


Ваш пример не годится. У него включение строгое: $D,E \subset X$, а не $D,E \subseteq X$.

 Профиль  
                  
 
 Re: открытые множества
Сообщение14.07.2009, 10:11 


20/04/09
1067
всем спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: открытые множества
Сообщение14.07.2009, 10:13 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
Профессор Снэйп в сообщении #228624 писал(а):
AGu в сообщении #228616 писал(а):
Виктор Викторов предложил самый простой из возможных контрпримеров.
Я могу, разве что, обратить внимание на чуть более «жизненный» случай:
$[0,1]$ открыто в $[0,1]$, но $[0,\tfrac12]$ не открыто в $[0,1]$.
Ваш пример не годится. У него включение строгое: $D,E \subset X$, а не $D,E \subseteq X$.
Ах вона, как? :-) Ну тогда «жизненность» слегка понижается:
$[0,1]$ открыто в $[0,1]\cup[2,3]$, но $[0,\tfrac12]$ не открыто в $[0,1]\cup[2,3]$. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: открытые множества
Сообщение14.07.2009, 10:22 


20/04/09
1067
на самом деле я сильно загрубил ситуацию. мне нужно было $X=\mathbb{R}^m$. в этом случае я уже разобрался, тут образ открытого множества при непрерывном взаимно однозначном отображении открыт.

 Профиль  
                  
 
 Re: открытые множества
Сообщение15.07.2009, 02:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/04/09
1351
AGu в сообщении #228634 писал(а):
Профессор Снэйп в сообщении #228624 писал(а):
AGu в сообщении #228616 писал(а):
Виктор Викторов предложил самый простой из возможных контрпримеров.
Я могу, разве что, обратить внимание на чуть более «жизненный» случай:
$[0,1]$ открыто в $[0,1]$, но $[0,\tfrac12]$ не открыто в $[0,1]$.
Ваш пример не годится. У него включение строгое: $D,E \subset X$, а не $D,E \subseteq X$.
Ах вона, как? :-) Ну тогда «жизненность» слегка понижается:
$[0,1]$ открыто в $[0,1]\cup[2,3]$, но $[0,\tfrac12]$ не открыто в $[0,1]\cup[2,3]$. :-)

Уважаемый AGu!
Ваш контрпример, конечно, более «жизненный». Во-первых, мощность пространства континуум, а во-вторых, топология индуцирована из множества вещественных чисел. Всегда с интересом читаю Ваши комментарии. Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: открытые множества
Сообщение15.07.2009, 21:35 
Заслуженный участник


05/06/08
1097
terminator-II
Цитата:
нужно было $X=\mathbb{R}^m$. в этом случае я уже разобрался, тут образ открытого множества при непрерывном взаимно однозначном отображении открыт.

Хм, интересно. А как оно примерно доказывается? Т.е. $X, Y \subset \mathbb{R}^n$, $X$ - открыто, $f: X \to Y$ - непрерывная биекция $\Rightarrow$ $Y$ открыто.
Что-то не приходит в голову быстрое обще-топологическое доказательство. :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: открытые множества
Сообщение16.07.2009, 09:25 


20/04/09
1067
Теорема.
id в сообщении #229207 писал(а):
$X, Y \subset \mathbb{R}^n$, $X$ - открыто, $f: X \to Y$ - непрерывная биекция $\Rightarrow$ $Y$ открыто.


Что такое топологическая степень см. Ниренберг Лекции по нелинейному функциональному анализу.

Лемма. Пусть $D\subset\mathbb{R}^n$ -- ограниченное открытое множество. $g:\overline D\to\mathbb{R}^n$ -- непрерывное отображение взаимно однозначное со своим образом. Тогда $g(D)$ открыто.

Док-во. Предположим противное: найдется точка $y\in g(D)$ и последовательность $\{y_k\},\quad\{y_k\}\cap g(D)=\emptyset$ такие, что $y_k\to y$.

При больших $k$ будет выполнено еще и такое условие: $\{y_k\}\cap g(\partial D)=\emptyset$. Это следует из того, что $y\notin g(\partial D)$ и $g(\partial D)$ -- компактно.
В силу взаимной однозначности $\deg(g,D,y)=\pm 1$. По построению $\deg(g,D,y_k)=0$ при больших $k$. В силу стандартной теоремы при достаточно больших $k$ будет $\deg(g,D,y)=\deg(g,D,y_k)$. Противоречие.

Док-во теоремы. Представим множество $X$ в виде $X=\cup_{k=1}^\infty D_k$, где $\{D_k\}$ - последовательность открытых ограниченных множеств, $\overline D_k\subset X$. (Мне показалось очевидным, что такие множества существуют. Ну или во всяком случае теорема доказана для тех множеств $X$, которые представимы в таком виде)

По лемме множества $f(D_k)$ открыты. Остается заметить, что $Y=\cup_{k=1}^\infty f(D_k)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: открытые множества
Сообщение16.07.2009, 16:40 
Заслуженный участник


05/06/08
1097
terminator-II
Цитата:
Мне показалось очевидным, что такие множества существуют. Ну или во всяком случае теорема доказана для тех множеств $X$, которые представимы в таком виде

А если взять $D_n = \{x \in X : \|x\| < n, d(x,\partial X) > \frac 1 n\}$?

Примерно ясно, спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: открытые множества
Сообщение06.06.2010, 22:34 


05/06/10
1
А нельзя ли более по подробнее расписать, что-то не могу понять доказательство.
Во-первых, что такое deg(g,F,y), раз
Во-вторых почему yk пересечение с g(Граница(D)) пусто?
И вообще просто более детально.
Please

 Профиль  
                  
 
 Re: открытые множества
Сообщение06.06.2010, 23:25 
Заблокирован по собственному желанию
Аватара пользователя


18/05/09
3612
 !  artem005,

прошу обратить внимание на наши правила.
Вы без нужды поднимаете старые темы, пишете формулы не по правилам.
Часть (или все? --- пока не знаю) Ваших сообщений будет удалена.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group