Теорема.
,
- открыто,
- непрерывная биекция
открыто.
Что такое топологическая степень см. Ниренберг Лекции по нелинейному функциональному анализу.
Лемма. Пусть
-- ограниченное открытое множество.
-- непрерывное отображение взаимно однозначное со своим образом. Тогда
открыто.
Док-во. Предположим противное: найдется точка
и последовательность
такие, что
.
При больших
будет выполнено еще и такое условие:
. Это следует из того, что
и
-- компактно.
В силу взаимной однозначности
. По построению
при больших
. В силу стандартной теоремы при достаточно больших
будет
. Противоречие.
Док-во теоремы. Представим множество
в виде
, где
- последовательность открытых ограниченных множеств,
. (Мне показалось очевидным, что такие множества существуют. Ну или во всяком случае теорема доказана для тех множеств
, которые представимы в таком виде)
По лемме множества
открыты. Остается заметить, что
.