2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 открытые множества
Сообщение14.07.2009, 00:48 
Рассмотрим топологическое пространство $X$ и непустые множества $D,E\subset X$.
Множество $D$ открыто в $X$. Известно, что множества $D$ и $E$ гомеоморфны как топологические пространства с индуцированной из $X$ топологией.
Верно ли, что множество $E$ открыто в $X$?

 
 
 
 Re: открытые множества
Сообщение14.07.2009, 01:43 
Аватара пользователя
{a, b} – топологическое пространство. {a, b}, {a} и пустое множество – открытая топология. {a} и {b} гомеоморфны как подпространства с индуцированной топологией. {a} открыто в {a, b} и {b} неоткрыто в {a, b}.

 
 
 
 Re: открытые множества
Сообщение14.07.2009, 08:24 
Виктор Викторов предложил самый простой из возможных контрпримеров.
Я могу, разве что, обратить внимание на чуть более «жизненный» случай:
$[0,1]$ открыто в $[0,1]$, но $[0,\tfrac12]$ не открыто в $[0,1]$.

 
 
 
 Re: открытые множества
Сообщение14.07.2009, 09:19 
Аватара пользователя
AGu в сообщении #228616 писал(а):
Виктор Викторов предложил самый простой из возможных контрпримеров.
Я могу, разве что, обратить внимание на чуть более «жизненный» случай:
$[0,1]$ открыто в $[0,1]$, но $[0,\tfrac12]$ не открыто в $[0,1]$.


Ваш пример не годится. У него включение строгое: $D,E \subset X$, а не $D,E \subseteq X$.

 
 
 
 Re: открытые множества
Сообщение14.07.2009, 10:11 
всем спасибо.

 
 
 
 Re: открытые множества
Сообщение14.07.2009, 10:13 
Профессор Снэйп в сообщении #228624 писал(а):
AGu в сообщении #228616 писал(а):
Виктор Викторов предложил самый простой из возможных контрпримеров.
Я могу, разве что, обратить внимание на чуть более «жизненный» случай:
$[0,1]$ открыто в $[0,1]$, но $[0,\tfrac12]$ не открыто в $[0,1]$.
Ваш пример не годится. У него включение строгое: $D,E \subset X$, а не $D,E \subseteq X$.
Ах вона, как? :-) Ну тогда «жизненность» слегка понижается:
$[0,1]$ открыто в $[0,1]\cup[2,3]$, но $[0,\tfrac12]$ не открыто в $[0,1]\cup[2,3]$. :-)

 
 
 
 Re: открытые множества
Сообщение14.07.2009, 10:22 
на самом деле я сильно загрубил ситуацию. мне нужно было $X=\mathbb{R}^m$. в этом случае я уже разобрался, тут образ открытого множества при непрерывном взаимно однозначном отображении открыт.

 
 
 
 Re: открытые множества
Сообщение15.07.2009, 02:27 
Аватара пользователя
AGu в сообщении #228634 писал(а):
Профессор Снэйп в сообщении #228624 писал(а):
AGu в сообщении #228616 писал(а):
Виктор Викторов предложил самый простой из возможных контрпримеров.
Я могу, разве что, обратить внимание на чуть более «жизненный» случай:
$[0,1]$ открыто в $[0,1]$, но $[0,\tfrac12]$ не открыто в $[0,1]$.
Ваш пример не годится. У него включение строгое: $D,E \subset X$, а не $D,E \subseteq X$.
Ах вона, как? :-) Ну тогда «жизненность» слегка понижается:
$[0,1]$ открыто в $[0,1]\cup[2,3]$, но $[0,\tfrac12]$ не открыто в $[0,1]\cup[2,3]$. :-)

Уважаемый AGu!
Ваш контрпример, конечно, более «жизненный». Во-первых, мощность пространства континуум, а во-вторых, топология индуцирована из множества вещественных чисел. Всегда с интересом читаю Ваши комментарии. Спасибо.

 
 
 
 Re: открытые множества
Сообщение15.07.2009, 21:35 
terminator-II
Цитата:
нужно было $X=\mathbb{R}^m$. в этом случае я уже разобрался, тут образ открытого множества при непрерывном взаимно однозначном отображении открыт.

Хм, интересно. А как оно примерно доказывается? Т.е. $X, Y \subset \mathbb{R}^n$, $X$ - открыто, $f: X \to Y$ - непрерывная биекция $\Rightarrow$ $Y$ открыто.
Что-то не приходит в голову быстрое обще-топологическое доказательство. :oops:

 
 
 
 Re: открытые множества
Сообщение16.07.2009, 09:25 
Теорема.
id в сообщении #229207 писал(а):
$X, Y \subset \mathbb{R}^n$, $X$ - открыто, $f: X \to Y$ - непрерывная биекция $\Rightarrow$ $Y$ открыто.


Что такое топологическая степень см. Ниренберг Лекции по нелинейному функциональному анализу.

Лемма. Пусть $D\subset\mathbb{R}^n$ -- ограниченное открытое множество. $g:\overline D\to\mathbb{R}^n$ -- непрерывное отображение взаимно однозначное со своим образом. Тогда $g(D)$ открыто.

Док-во. Предположим противное: найдется точка $y\in g(D)$ и последовательность $\{y_k\},\quad\{y_k\}\cap g(D)=\emptyset$ такие, что $y_k\to y$.

При больших $k$ будет выполнено еще и такое условие: $\{y_k\}\cap g(\partial D)=\emptyset$. Это следует из того, что $y\notin g(\partial D)$ и $g(\partial D)$ -- компактно.
В силу взаимной однозначности $\deg(g,D,y)=\pm 1$. По построению $\deg(g,D,y_k)=0$ при больших $k$. В силу стандартной теоремы при достаточно больших $k$ будет $\deg(g,D,y)=\deg(g,D,y_k)$. Противоречие.

Док-во теоремы. Представим множество $X$ в виде $X=\cup_{k=1}^\infty D_k$, где $\{D_k\}$ - последовательность открытых ограниченных множеств, $\overline D_k\subset X$. (Мне показалось очевидным, что такие множества существуют. Ну или во всяком случае теорема доказана для тех множеств $X$, которые представимы в таком виде)

По лемме множества $f(D_k)$ открыты. Остается заметить, что $Y=\cup_{k=1}^\infty f(D_k)$.

 
 
 
 Re: открытые множества
Сообщение16.07.2009, 16:40 
terminator-II
Цитата:
Мне показалось очевидным, что такие множества существуют. Ну или во всяком случае теорема доказана для тех множеств $X$, которые представимы в таком виде

А если взять $D_n = \{x \in X : \|x\| < n, d(x,\partial X) > \frac 1 n\}$?

Примерно ясно, спасибо.

 
 
 
 Re: открытые множества
Сообщение06.06.2010, 22:34 
А нельзя ли более по подробнее расписать, что-то не могу понять доказательство.
Во-первых, что такое deg(g,F,y), раз
Во-вторых почему yk пересечение с g(Граница(D)) пусто?
И вообще просто более детально.
Please

 
 
 
 Re: открытые множества
Сообщение06.06.2010, 23:25 
Аватара пользователя
 !  artem005,

прошу обратить внимание на наши правила.
Вы без нужды поднимаете старые темы, пишете формулы не по правилам.
Часть (или все? --- пока не знаю) Ваших сообщений будет удалена.

 
 
 [ Сообщений: 13 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group