доказать

[Апис]

TOTAL в сообщении #227706 писал(а):

Апис в сообщении #227692 писал(а):

Суммирование проходит по всем индексам от еденицы до к

Для каждого знака суммирования и произведения укажите, какой индекс и в каких пределах меняется.
Можете это сделать?

$\[ \sum\limits_{i = 1}^k {\left[ {(p_i^2 )\left( {\prod\limits_{i = 1}^k {\frac{{\left( {p_i - 1} \right)}}{{p_i }}} } \right) - \left( {p_{i - 1}^2 } \right)\left( {\prod\limits_{i = 1}^k {\frac{{\left( {p_{i - 1} - 1} \right)}}{{p_{i - 1} }}} } \right)} \right]} + \left( {x - p_k^2 } \right)\left( {\prod\limits_{i = 1}^k {\frac{{\left( {p_i - 1} \right)}}{{p_i }}} } \right) \] $

[TOTAL]

Апис в сообщении #227788 писал(а):

$\[ \sum\limits_{i = 1}^k {\left[ {(p_i^2 )\left( {\prod\limits_{i = 1}^k {\frac{{\left( {p_i - 1} \right)}}{{p_i }}} } \right) - \left( {p_{i - 1}^2 } \right)\left( {\prod\limits_{i = 1}^k {\frac{{\left( {p_{i - 1} - 1} \right)}}{{p_{i - 1} }}} } \right)} \right]} + \left( {x - p_k^2 } \right)\left( {\prod\limits_{i = 1}^k {\frac{{\left( {p_i - 1} \right)}}{{p_i }}} } \right) \] $

Поскольку используете один и тот же индекс операции (зачем, ведь это вносит путаницу?) в общей области действия знаков суммирования и произведения, то верно ли, что подразумевается

$$\sum\limits_{i = 1}^k {\left[ {(p_i^2 )\left( {\prod\limits_{i = 1}^k {\frac{{\left( {p_i - 1} \right)}}{{p_i }}} } \right)\right] = \left( \sum\limits_{i = 1}^k (p_i^2 )\right) \left( {\prod\limits_{i = 1}^k {\frac{{\left( {p_i - 1} \right)}}{{p_i }}} } \right)?$$

Ведь выражение

$$ \left( {\prod\limits_{i = 1}^k {\frac{{\left( {p_i - 1} \right)}}{{p_i }}} } \right)$$

не зависит от $i$ и может быть вынесено за знак суммирования.
Кроме того, ничего не сказано про $k.$

Так что формулируте задачу заново, полностью и аккуратно.

[Апис]

TOTAL в сообщении #227891 писал(а):

Апис в сообщении #227788 писал(а):

$\[ \sum\limits_{i = 1}^k {\left[ {(p_i^2 )\left( {\prod\limits_{i = 1}^k {\frac{{\left( {p_i - 1} \right)}}{{p_i }}} } \right) - \left( {p_{i - 1}^2 } \right)\left( {\prod\limits_{i = 1}^k {\frac{{\left( {p_{i - 1} - 1} \right)}}{{p_{i - 1} }}} } \right)} \right]} + \left( {x - p_k^2 } \right)\left( {\prod\limits_{i = 1}^k {\frac{{\left( {p_i - 1} \right)}}{{p_i }}} } \right) \] $

Поскольку используете один и тот же индекс операции (зачем, ведь это вносит путаницу?) в общей области действия знаков суммирования и произведения, то верно ли, что подразумевается

$$\sum\limits_{i = 1}^k {\left[ {(p_i^2 )\left( {\prod\limits_{i = 1}^k {\frac{{\left( {p_i - 1} \right)}}{{p_i }}} } \right)\right] = \left( \sum\limits_{i = 1}^k (p_i^2 )\right) \left( {\prod\limits_{i = 1}^k {\frac{{\left( {p_i - 1} \right)}}{{p_i }}} } \right)?$$

Ведь выражение

$$ \left( {\prod\limits_{i = 1}^k {\frac{{\left( {p_i - 1} \right)}}{{p_i }}} } \right)$$

не зависит от $i$ и может быть вынесено за знак суммирования.
Кроме того, ничего не сказано про $k.$

Так что формулируте задачу заново, полностью и аккуратно.

Один индекс (i) не только не вносит путаницу, он необходим.
Произведение нельзя выносить за скобки, так как каждому шагу (i) суммирования соответствует шаг (i) произведения. k - номер простого числа. Например:
$\[ \begin{array}{l} p^2 - 4 \\ \prod {\frac{1}{2}} \\ k - 1 \\ \end{array} \] $ $\[ \begin{array}{l} p^2 - 9 \\ \prod {\frac{1}{2}\frac{2}{3}} \\ k - 2 \\ \end{array} \] $ $\[ \begin{array}{l} p^2 - 25 \\ \prod {\frac{1}{2}\frac{2}{3}\frac{4}{5}} \\ k - 3 \\ \end{array} \] $

Пока шлифуем формулировку
Поставлю вопрос несколько иначе, так мне потом будет легче объснить цель работы.
Доказать что: Нельзя доказать и нельзя опровергнуть данное выражение
$\[ \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\textstyle{{\sum\limits_{i = 1}^k {\left[ {(p_i^2 )\left( {\prod\limits_{i = 1}^k {\frac{{\left( {p_i - 1} \right)}}{{p_i }}} } \right) - \left( {p_{i - 1}^2 } \right)\left( {\prod\limits_{i = 1}^k {\frac{{\left( {p_{i - 1} - 1} \right)}}{{p_{i - 1} }}} } \right)} \right]} + \left( {x - p_k^2 } \right)\left( {\prod\limits_{i = 1}^k {\frac{{\left( {p_k - 1} \right)}}{{p_k }}} } \right)} \over x}} = 0 \] $

[TOTAL]

Апис в сообщении #227962 писал(а):

Один индекс (i) не только не вносит путаницу, он необходим.
Произведение нельзя выносить за скобки, так как каждому шагу (i) суммирования соответствует шаг (i) произведения. k - номер простого числа.

Сожалею, но я не понимаю Ваших обозначений, попробуйте найти того, кто понимает, удачи.

[Апис]

Уважаемые форумчане, исправление формулировки зашло в тупик. Я выложу всю работу, благо она небольшая. TOTAL, или кто желает, посмотрите по всей цепочке и скажите где ошибка в обозначениях.
Количество простых чисел на интервале (0,x)
$\[ \left( {\frac{1}{2}} \right)\left( {\frac{2}{3}} \right)\left( {\frac{4}{5}} \right)....\frac{{p_k - 1}}{{p_k }} = \left( {\prod\limits_{i = 1}^k {\frac{{\left( {p_k - 1} \right)}}{{p_k }}} } \right) \] $
Используя формулу, $\[ \left( {\prod\limits_{i = 1}^k {\frac{{\left( {p_k - 1} \right)}}{{p_k }}} } \right) \] $ - вычисляем количество простых чисел на интервале $\[ \left( {p_k ,p_k^2 } \right) \] $ - и далее по интервалам $\[ \left( {p_{k - 1}^2 ,p_k^2 } \right) \] $$\[ \left( {0,p_k^2 } \right) \] $ (0,x)
$\[ (p_k^2 )\left( {\prod\limits_{i = 1}^k {\frac{{\left( {p_k - 1} \right)}}{{p_k }}} } \right) \] $ на интервале $\[ \left( {p_k ,p_k^2 } \right) \] $
$\[ \left[ {(p_k^2 )\left( {\prod\limits_{i = 1}^k {\frac{{\left( {p_k - 1} \right)}}{{p_k }}} } \right) - \left( {p_{k - 1}^2 } \right)\left( {\prod\limits_{i = 1}^k {\frac{{\left( {p_{k - 1} - 1} \right)}}{{p_{k - 1} }}} } \right)} \right] \] $на интервале $\[ \left( {p_{k - 1}^2 ,p_k^2 } \right) \] $
$\[ \sum\limits_{i = 1}^k {\left[ {(p_i^2 )\left( {\prod\limits_{i = 1}^k {\frac{{\left( {p_i - 1} \right)}}{{p_i }}} } \right) - \left( {p_{i - 1}^2 } \right)\left( {\prod\limits_{i = 1}^k {\frac{{\left( {p_{i - 1} - 1} \right)}}{{p_{i - 1} }}} } \right)} \right]} \] $на интервале$\[ \left( {0,p_k^2 } \right) \] $
$\[ \pi \left( x \right) = \sum\limits_{i = 1}^k {\left[ {(p_i^2 )\left( {\prod\limits_{i = 1}^k {\frac{{\left( {p_i - 1} \right)}}{{p_i }}} } \right) - \left( {p_{i - 1}^2 } \right)\left( {\prod\limits_{i = 1}^k {\frac{{\left( {p_{i - 1} - 1} \right)}}{{p_{i - 1} }}} } \right)} \right]} + \left( {x - p_k^2 } \right)\left( {\prod\limits_{i = 1}^k {\frac{{\left( {p_k - 1} \right)}}{{p_k }}} } \right) \] $
$\[ p_k^2 \le x < p_{k + 1}^2 \] $
p - простые числа
k - номер простого числа

[jetyb]

Так требуется разобраться с пределом $\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\pi (x)}{x}$ ?
Он равен нулю, т.к. по Теореме Чебышева существуют такие положительные постоянные $a$ и $b $:
$a\frac{x}{\ln x}<\pi(x)<b\frac{x}{\ln x}\qquad \forall x \geq 2$.

[Апис]

jetyb в сообщении #228256 писал(а):

Так требуется разобраться с пределом $\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\pi (x)}{x}$ ?
Он равен нулю, т.к. по Теореме Чебышева существуют такие положительные постоянные $a$ и $b $:
$a\frac{x}{\ln x}<\pi(x)<b\frac{x}{\ln x}\qquad \forall x \geq 2$.

Может сначала обозначения, иначе нет предмета для обсуждения

[age]

Апис
Рассуждаем так. Пусть
$\[ \pi \left( x \right) = \sum\limits_{i = 1}^k {\left[ {(p_i^2 )\left( {\prod\limits_{i = 1}^k {\frac{{\left( {p_i - 1} \right)}}{{p_i }}} } \right) - \left( {p_{i - 1}^2 } \right)\left( {\prod\limits_{i = 1}^k {\frac{{\left( {p_{i - 1} - 1} \right)}}{{p_{i - 1} }}} } \right)} \right]} + \left( {x - p_k^2 } \right)\left( {\prod\limits_{i = 1}^k {\frac{{\left( {p_k - 1} \right)}}{{p_k }}} } \right) \] $
Тогда сумму можно преобразовать:
$\[ \sum\limits_{i = 1}^k {\left[{(p_i^2 )\left({\prod\limits_{i = 1}^k {\frac{\left( {p_i - 1}\right)}{p_i } } \right) - \left( {p_{i - 1}^2 } \right)\left( {\prod\limits_{i = 1}^k {\frac{{\left( {p_{i - 1} - 1} \right)}}{{p_{i - 1} }}} } \right)} \right]}=\] $
$\[ \sum\limits_{i = 1}^{k-1}{\left[(p_i^2 )\cdot\left({\prod\limits_{i = 1}^k {\frac{\left( {p_{i-1} - 1} \right)}{p_{i-1}}} } \right)\frac{(p_k - 1)}{p_k} \right] - \sum\limits_{i = 1}^{k-1}{\left({p_i^2 }\right)\left({\prod\limits_{i = 1}^k {\frac{(p_{i - 1} - 1)}{p_{i - 1}}} \right)}}=\] $
$\[ \left[{\frac{(p_k - 1)}{p_k}-1}\right]\sum\limits_{i = 1}^{k-1}{\left[(p_i^2 )\cdot\left({\prod\limits_{i = 1}^k {\frac{\left( {p_{i-1} - 1} \right)}{p_{i-1}}} } \right)\right] + p_k^2\left[\frac{(p_k - 1)}{p_k}-1\right]\prod\limits_{i = 1}^k {\frac{\left( {p_{i-1} - 1} \right)}{p_{i-1}}} } \right)\] $
Тогда
$\[ \pi \left( x \right) = x\prod\limits_{i = 1}^k {\frac{\left( {p_i - 1} \right)}{p_i}} }+\left(\left[{\frac{(p_k - 1)}{p_k}-1}\right]\sum\limits_{i = 1}^{k-1}{\left[(p_i^2 )\cdot\left({\prod\limits_{i = 1}^k {\frac{\left( {p_{i-1} - 1} \right)}{p_{i-1}}} } \right)\right] + p_k^2\prod\limits_{i = 1}^k {\frac{\left( {p_{i-1} - 1} \right)}{p_{i-1}}} } \right)=\] $
$\[ = x\prod\limits_{i = 1}^k {\frac{\left( {p_i - 1} \right)}{p_i}} }+\left[{\frac{(p_k - 1)}{p_k}-1}\right]\sum\limits_{i = 1}^k{\left[(p_i^2 )\cdot\left({\prod\limits_{i = 1}^k {\frac{\left( {p_{i-1} - 1} \right)}{p_{i-1}}} } \right)\right]\] $

Осталось лишь доказать, что $\left[{\frac{(p_k - 1)}{p_k}-1}\right]\sum\limits_{i = 1}^k{\left[(p_i^2 )\cdot\left({\prod\limits_{i = 1}^k {\frac{\left( {p_{i-1} - 1} \right)}{p_{i-1}}} } \right)\right]$ мало в сравнении с $x$.

[jetyb]

Апис в сообщении #228260 писал(а):

Может сначала обозначения, иначе нет предмета для обсуждения

В теории чисел функцией $\pi (x)$ традиционно обозначают число простых чисел не превосходящих $x$:
$\pi (x)=\sum\limits_{p\leq x}1$.
Кстати: то, что $\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\pi (x)}{x}=0$ , сформулировал Эйлер, а строго доказал Лежандр.

[Апис]

jetyb в сообщении #228267 писал(а):

Апис в сообщении #228260 писал(а):

Может сначала обозначения, иначе нет предмета для обсуждения

В теории чисел функцией $\pi (x)$ традиционно обозначают число простых чисел не превосходящих $x$
$\pi (x)=\sum\limits_{p\leq x}1$
Кстати: то, что $\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\pi (x)}{x}=0$ сформулировал Эйлер, а строго доказал Лежандр.

Я знаю что обозначает$\[ \pi (x) \] $
В моём случае примерно равно$\[ \pi (x) \approx \sum\limits_{i = 1}^k {\left[ {(p_i^2 )\left( {\prod\limits_{i = 1}^k {\frac{{\left( {p_i - 1} \right)}}{{p_i }}} } \right) - \left( {p_{i - 1}^2 } \right)\left( {\prod\limits_{i = 1}^k {\frac{{\left( {p_{i - 1} - 1} \right)}}{{p_{i - 1} }}} } \right)} \right]} + \left( {x - p_k^2 } \right)\left( {\prod\limits_{i = 1}^k {\frac{{\left( {p_k - 1} \right)}}{{p_k }}} } \right) \] $
Ещё раз прошу может сначала обозначения иначе о чём мы говорим

[TOTAL]

Апис в сообщении #228273 писал(а):

В моём случае примерно равно$\[ \pi (x) \approx \sum\limits_{i = 1}^k {\left[ {(p_i^2 )\left( {\prod\limits_{i = 1}^k {\frac{{\left( {p_i - 1} \right)}}{{p_i }}} } \right) - \left( {p_{i - 1}^2 } \right)\left( {\prod\limits_{i = 1}^k {\frac{{\left( {p_{i - 1} - 1} \right)}}{{p_{i - 1} }}} } \right)} \right]} + \left( {x - p_k^2 } \right)\left( {\prod\limits_{i = 1}^k {\frac{{\left( {p_k - 1} \right)}}{{p_k }}} } \right) \] $
Ещё раз прошу может сначала обозначения иначе о чём мы говорим

$\left( {\prod\limits_{i = 1}^k {\frac{{\left( {p_i - 1} \right)}}{{p_i }}} } \right)$ - зависит эта величина от $i$ или нет?

[jetyb]

Какие обозначения мне надо дать? Скажите, напишу.

Цитата:

$\[ \pi (x) \approx \sum\limits_{i = 1}^k {\left[ {(p_i^2 )\left( {\prod\limits_{i = 1}^k {\frac{{\left( {p_i - 1} \right)}}{{p_i }}} } \right) - \left( {p_{i - 1}^2 } \right)\left( {\prod\limits_{i = 1}^k {\frac{{\left( {p_{i - 1} - 1} \right)}}{{p_{i - 1} }}} } \right)} \right]} + \left( {x - p_k^2 } \right)\left( {\prod\limits_{i = 1}^k {\frac{{\left( {p_k - 1} \right)}}{{p_k }}} } \right) \] $

Если(доверяю в этом вопросе вам) $\pi (x)$ примерно равно выражению, то к выражению деленному на $x$ можно применить вышеописанную оценку Чебышева. Кстати, выражение у меня вызывает недоумение: идет суммирование по $i$, значит в квадратных скобочках $i$ фиксировано, почему же в квадратных скобках есть суммирование по постоянному $i$? Попробуйте записать выражение так, как вы бы объясняли его компьютеру(пусть даже программой), а то непонятно что имеется ввиду.

[Апис]

$\[ \left[ {\sum\limits_{i = 1}^k {(p_i^2 ) \cdot \sum\limits_{i = 1}^k {\left( {\prod\limits_{i = 1}^k {\frac{{(p_i - 1)}}{{p_i }}} } \right)} } - \sum\limits_{i = 1}^k {(p_{i = 1}^2 )} \cdot \sum\limits_{i = 1}^k {\left( {\prod\limits_{i = 1}^k {\frac{{(p_{i = 1} - 1)}}{{p_{i = 1} }}} } \right)} } \right] + (x - p_k^2 )\left( {\prod\limits_{i = 1}^k {\frac{{(p_k - 1)}}{{p_k }}} } \right) \] $
По моему это ещё хуже, я с програмами не очень
Может кто нибудь свой вариант предложит
Можно ли так записать $\[ \mathop {p^2 }\limits_{i = 1}^k \] $

[ИСН]

Ещё вариант: простым русским языком расскажите, о чём речь. Скажем, "Предел, где сверху стоит число простых чисел, не превосходящ..."

[jetyb]

Опять непонятно. Эта запись
$\sum\limits_{i = 1}^k {\left( {\prod\limits_{i = 1}^k {\frac{{(p_i - 1)}}{{p_i }}} } \right)} }=?$
неправильна. Попробуйте написать $\sum\limits_{i = 1}^k {\left( {\prod\limits_{i = 1}^k {\frac{{(p_i - 1)}}{{p_i }}} } \right)} } $ в случае $k=2,3$, возможно тогда что-то прояснится.