Сумма прикольных косинусов...

[Виктор Викторов]

ewert в сообщении #228146 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #228132 писал(а):

По какой формуле вычислять общий член суммы?

По стандартной и вполне школьной. Для суммы $(n+1)$-го слагаемого (начиная с $0$-го и кончая $n$-ным) имеем $\displaystyle b_1\cdot{1-q^{n+1}\over1-q}.$

Итак, это геометрическая прогрессия.

ewert в сообщении #228103 писал(а):

Alhimik в сообщении #228064 писал(а):

В общем известно точно, что
$e^{- \frac {2 \pi i} N} + e^{- \frac {4 \pi i } N}+ e^{- \frac {6 \pi i } N}+...+e^{- \frac {2 (N-1) \pi i } N }=0$

Вообще-то всех нас в детстве учили, что e^{- \frac {2 \pi i} N} + e^{- \frac {4 \pi i } N}+ e^{- \frac {6 \pi i } N}+...+e^{- \frac {2 \pi i } N \cdot (N-1)}=e^{- \frac {2 \pi i} N}\cdot{1-e^{- \frac {2\pi i}N\cdot(N-1)}\over1-e^{- \frac {2 \pi i} N}}$ (это независимо от того, что есть "и" и что есть "эН" или даже "пи"). Что, конечно, нулю не равняется. Вот если добавить единичку слева или хотя бы справа -- тогда дело другое.

У Вас $\displaystyle b_1 = e^{- \frac {2 \pi i} N}$ зависит от N. У Вас $q = e^{- \frac {2 \pi i} N}$ зависит от N. Продолжать?

jetyb в сообщении #228122 писал(а):

А в чем состоит проблема? Все эти $e^{\frac{2i\pi j}{N}}$ являются корнями уравнения $x^n-1=0$. Их сумму(ничего что без одного) можно легко посчитать через теорему Виета.

Но тогда это выглядит вот так: $e^{- \frac {2 \pi i} N} + e^{- \frac {4 \pi i } N}+ e^{- \frac {6 \pi i } N}+... +e^{- \frac {2 (j -1) \pi i } N }+… +e^{- \frac {2 (N -1) \pi i } N }$ и тут всё срабатывает. Но индекс суммирования тогда j, а не N. Это, действительно, геометрическая прогрессия, но не был указан индекс суммирования!

[ewert]

Виктор Викторов в сообщении #228174 писал(а):

Это, действительно, геометрическая прогрессия, но не был указан индекс суммирования!

А зачем его указывать -- в развёрнутом-то выражении?

[EtCetera]

Виктор Викторов, разве Вы считаете индексом суммирования $N$, когда видите сумму типа $1+3+5+...+(2N-1)$? Или в таких суммах стало обязательным явно указывать индекс суммирования? По-моему, это все равно, что для рассчитанного значения определенного интеграла указывать переменную интегрирования...
А вообще, на эту тему есть красивая школьная задачка:
Через центр правильного многоугольника проведена прямая. Зависит ли сумма квадратов расстояний от вершин многоугольника до прямой от положения этой прямой? (Примечание: задачка - планиметрическая, прямая проведена в той же плоскости, в какой расположен многоугольник).

[ewert]

EtCetera в сообщении #228248 писал(а):

Через центр правильного многоугольника проведена прямая. Зависит ли сумма квадратов расстояний от вершин многоугольника до прямой от положения этой прямой?

Очевидно, что не зависит. Любопытно, однако: каким способом предполагается доказывать это в школе -- просто тупо складывая квадраты синусов?

[EtCetera]

ewert

ewert в сообщении #228251 писал(а):

...каким способом предполагается доказывать это в школе -- просто тупо складывая квадраты синусов?

Ну, в некоторых школах дают хотя бы приблизительное представление о комплексных числах - вплоть до формул Эйлера и Муавра (а большего в данной задаче и не требуется). Кроме того, для учеников, обделенных такими школами, существуют различные "Кванты" (задачка, кстати, именно из него, если не ошибаюсь).
В принципе, можно и без комплексных обойтись. Сумма квадратов синусов преобразуется к сумме косинусов, а последняя имеет общую формулку, доказательство которой может быть проведено в рамках элементарной математики (точнее, тригонометрии).
Так или иначе, задачку я привел просто как наглядную иллюстрацию к значению суммы экспонент...

[ewert]

Под словом "очевидно" подразумевалось, что это часть более общей задачки -- о минимизации суммы квадратов расстояний до прямой на плоскости. Известно, что направляющие векторы решения такой задачи в любом случае образуют некоторое подпространство. Т.е. после нормировки такой вектор или единственен (с точностью до знака) -- или может быть любым. Поскольку для правильного многоугольника в силу симметрии вектор заведомо не единственен -- направление оптимальной прямой произвольно.

(Пардон за откровенный оффтопик.)

[мат-ламер]

Есть в тему ещё одна задача, ответ к которой у меня не сходится с книжным (Фаддев и Соминский. Задача 89). Требуется найти сумму сумму $k$-х степеней корней $n$ -й степени из единицы. Как уже было показано, сумма корней из единицы равна нулю, если единицу тоже считать за корень. Если эти корни возвести в некоторую степень, то получатся тоже корни из единицы. Причём, даже если они будут идти с пропусками и повторяться, то, по-любому, у меня в результате ответ - нуль. В книге ответ другой.

[ewert]

мат-ламер в сообщении #228337 писал(а):

Причём, даже если они будут идти с пропусками и повторяться, то, по-любому, у меня в результате ответ - нуль.

А чему равна (как частный случай) сумма энных степеней корней энной же степени из единицы?...

[мат-ламер]

Я почему-то думал, что предполагается, что $k $ строго меньше $n$. Спасибо за подсказку.

[Виктор Викторов]

ewert в сообщении #228221 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #228174 писал(а):

Это, действительно, геометрическая прогрессия, но не был указан индекс суммирования!

А зачем его указывать -- в развёрнутом-то выражении?

Я разобрался в этом вопросе. Спасибо за помощь.

EtCetera в сообщении #228248 писал(а):

Виктор Викторов, разве Вы считаете индексом суммирования $N$, когда видите сумму типа $1+3+5+...+(2N-1)$?

В Вашем примере общий член последовательности вычисляется по формуле $(2N-1)$. В обсуждаемом примере моя ошибка именно в том, что я пытался проделать тоже самое. Но формулы вычисления общего члена последовательности указано не было.