Правильная дробь вида 1/n

[Виктор Ширшов]

1.Сумма первых пяти членов правильной дроби 1/1+1/2+1/3+1/4+1/5 = 2,283333...
2. Сумма первых десяти членов дроби 1/1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/10=2.928957.

Совершенно очевидно, что сумма всех членов правильной дроби вида 1/n выражается малым целым или иррациональным числом, которое можно записать в виде $(1+m)^n$, где m - некоторый промежуточный член правильной дроби.

[ShMaxG]

Виктор Ширшов
Если вы о ряде $\[ \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{1} {n}} \] $, то он расходится, частичные суммы стремятся к бесконечности.
Даже доказать не трудно...

[CowboyHugges]

ShMaxG, так у автора тоже частичные суммы $(1+m)^n$ стремятся к бесконечности. Посмотреть на вывод было бы любопытно. Хотя существует оценка поинтереснее:

$$H_n=\ln n+C+\gamma_n$$

где $H_n$ - частичная сумма гармонического ряда, $\gamma_n$ бесконечно малая, а $C$ - сумма ряда $\sum_{k=1}^{\infty}(\frac{1}{k}-\ln{\frac{k+1}{k}})$

[ShMaxG]

Не понятно, что значит "сумма всех членов (...) дроби". Какие еще "члены дроби"?
Если смотреть по аналогии с вышенаписанным: сумма первых пяти: 1/1+1/2+1/3+1/4+1/5, первых десяти: 1/1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/10. А сумма всех - это ряд...

-- Вс июл 12, 2009 22:52:12 --

Или имеется ввиду, что $\[ \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1} {i}} = \left( {1 + \frac{1} {k}} \right)^n \]$ где $\[ 1 \leqslant k \leqslant n \]$?

[Виктор Ширшов]

ShMaxG в сообщении #228142 писал(а):

Или имеется ввиду, что где ?

Да, именно это имеется в виду. Только $1<k<n$ и $i=n$, а под суммой не $i=1$, а только 1

[ShMaxG]

Виктор Ширшов
И по какому индексу идет суммирование тогда?

[Виктор Ширшов]

ShMaxG в сообщении #228154 писал(а):

Виктор Ширшов
И по какому индексу идет суммирование тогда?

Мне представляется в Вашей формуле надо убрать $1/i$

[ShMaxG]

Виктор Ширшов
Ну напишите сами формулу суммы. Типа исправьте у меня, как надо.

[Виктор Ширшов]

ShMaxG в сообщении #228168 писал(а):

Виктор Ширшов
Ну напишите сами формулу суммы. Типа исправьте у меня, как надо.

У меня трудности с тегами, боюсь я это буду делать долго. Вы это сделаете быстрее, учтя мои поправки.

[ShMaxG]

Виктор Ширшов
Ок.
Что должно быть под знаками вопросов?

$\[ \sum\limits_1^? {\frac{1} {n}} = \left( {1 + \frac{1} {k}} \right)^? \]$

[Виктор Ширшов]

ShMaxG в сообщении #228175 писал(а):

Виктор Ширшов
Ок.
Что должно быть под знаками вопросов?

В правой части на месте ? поставьте n, а как записать сумму всего ряда правильной дроби вида 1/n, где в знаменателе охватывались бы все числа от 1 до n Вам лучше знать.

[ShMaxG]

Извините, но я подозреваю, что вы не знаете, что такое символ суммы и как его записывать.

$\[ 1 + \frac{1} {2} + ... + \frac{1} {n} = \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1} {i}} \]$

Получается, что вы имеете ввиду это:

$\[ \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1} {i}} = \left( {1 + \frac{1} {k}} \right)^n \]$ при $1<k<n$.

Пусть $n=3$, тогда $k=2$. Подставляем в формулу:
$ \[ 1 + \frac{1} {2} + \frac{1} {3} = \left( {1 + \frac{1} {2}} \right)^3 \]$, что неверно.

-- Пн июл 13, 2009 00:22:39 --

А еще вы пишете, что эта сумма "малое целое или иррациональное число". Что значит малое? При $\[ 10^{100} \] $ получаем 461.67. А иррациональными частичные суммы рациональных чисел быть точно не могут.

[Виктор Ширшов]

ShMaxG в сообщении #228182 писал(а):

Извините, но я подозреваю, что вы не знаете, что такое символ суммы и как его записывать.



Получается, что вы имеете ввиду это:

при .

Пусть , тогда . Подставляем в формулу:
, что неверно.

Вы правильно подозреваете.
Что-то мы по-разному считаем. Если п=3, то сумма 1/1+1/2+1/3 =1,833333... Корень кубический из этого числа 1,224..., а $k=0,224$

[jetyb]

То есть $k$ действительное? Тогда не вижу в вашем утверждении ничего дельного.
Или вы опять перешли к приближенным вычислениям?

[ShMaxG]

Ну тогда уж не $k$, а $m=0.224$.
А я думал $k$ обязательно натуральное, от единицы до $n$. Сами же в первом посте сказали,

Цитата:

где m - некоторая промежуточный член правильной дроби.