Решение системы ЛАУ

[vasiliy.]

Добрый день.
Будьте добры помогите решить следующую проблему:
Имеется система уравнений следующего вида-

$G1=A1.1*a+A2.1*b+A3.1*c+A4.1*d $
$G2=A1.2*a+A2.2*b+A3.2*c+A4.2*d $
...
$G400=A1.400*a+A2.400*b+A3.400*c+A4.400*d$

Требуется найти такие $a,b,c,d$, чтобы для любого из 400-ста уравнений
можно было с некоторой погрешностью вычислить $G$

В Mathcad`е реализовал простой перебор, где последовательно перебираются
$a,b,c,d$, но работает очень медленно.
Скажите как можно оптимизировать вычисления, может попробовать другой пакет, знаком с Matlab,Mathematica или самому написать програмку?
Есть ли другие методы решения кроме перебора?

Возможно, что такие $a,b,c,d$ так и не будут найдены, тогда хочу попробовать заменить линейную зависимость на нелинейную такого вида:

$G1=F1(A1.1)+F2(A2.1)+F3(A3.1)+F4(A4.1) $

но незнаю как подбирать эти функции...
Подскажите в каком направлении двигаться, что почитать или посмотреть.

Спасибо.

[bubu gaga]

Посмотрите метод наименьших квадратов.

[vasiliy.]

Спасибо.
С методом разобрался, сейчас буду пробовать.

Скажите может есть в маткаде готовые функции для решения методом наименьших квадратов?

-- Вс июл 12, 2009 19:28:31 --

Попробовал МНК...максимальная погрешность 46%... слишком много.
Видимо надо не коэффициенты подбирать а функции, но с чего начать не знаю.

[bubu gaga]

Добавьте функции от слолбцов в Вашу матрицу.

$A_1, A_2, A_3, A_4, A_1^2, A_2^2, A_3^2, A_4^2, A_1A_2, A_1A_3, A_1A_4, A_2A_3, A_2A_4, A_3A_4$

[vasiliy.]

Добавил ...попробовал решить пишет что решение не найдено...
добавил только $ A1 ^2, A2 ^2, A3 ^2, A4 ^2 $ решило но максимальная относительная погрешность возросла до 50% а в среднем около 20%, что уже лучше.
Вот только надо чтобы погрешность была ну хотя бы в районе 5%.

Мне продолжать экспериментировать в том же духе, добавлять $A ^3$?

[ewert]

а чего Вы, собственно, добиваетесь-то?...

Судя по Вашему начальному посту, у Вас там система из жутко многих уравнений для совсем чуть-чуть неизвестных. Которая, естественно, не решается. Всё, что можно сделать -- это попытаться минимизировать невязку, в том или ином смысле; проще всего -- в квадратичном, т.е. использовать МНК, как Вам с самого начала и рекомендовали. Никакое добавление никаких столбцов ни к какому улучшению не приведёт -- надо просто действовать по шаблону, составляя систему с матрицей $A'\cdot A$. И тут уж что получится -- то и получится. Не нравится Вам получившаяся невязка -- что ж, ничего не попишешь. Значит, линейная модель нехороша, сочиняйте другую.

[vasiliy.]

Да действительно 4 неизвестных и куча уравнений. Собственно у меня есть экспериментальные данные и образцовые и мне их надо связать.
То что это не линейная зависимость было видно сначала, просто как по другому сделать я не знаю.
Подскажите какие можно нелинейные модели использовать, где может почитать или может примеры есть.
Не знаю просто в каком направлении двигаться...

[bubu gaga]

Решения в обычном смысле и не будет, до тех пор, пока у Вас меньше четырёхсот независимых столбцов. Добавьте к регрессорам "перекрёстные" произведения: $A_iA_j$ Может и не понадобится третья степень.

В матлабе есть функция regress которая не только делает то, что надо, но ещё и выдаёт $p$-value по отдельным регрессорам

[Vanuan]

vasiliy. в сообщении #228491 писал(а):

экспериментальные данные и образцовые и мне их надо связать.

Что значит "связать"? Вычислить погрешность?

[Vanuan]

Может, нужно построить математическую модель? http://ru.wikipedia.org/wiki/Идентификация_систем

[vasiliy.]

Да. Именно, надо найти мат модель.
Попробовал уже множество линейных можелей, но не одна меня не устраивает.
Теперь потихоньку пробую нелинейные, результаты уже гораздо лучше.