Хочу сообщить о том, что наш "подготовительный семинар" уже функционирует, так как желающий заниматься математикой вместе со мной откликнулся на это моё объявление практически сразу.
А для потенциальных новичков приведу список разобранных на нашем семинаре задач, дабы все заинтересовавшиеся могли представить себе, чем конкретно мы занимаемся.
Задача первая.
Дана очень длинная труба. С обоих концов в неё одновременно заталкивают по 100 шариков, чей радиус чуть меньше радиуса поперечного сечения трубы. Все соударения этих шариков внутри трубы можно считать абсолютно упругими. Требуется определить, сколько произойдёт соударений до того момента, пока все шарики не выскочат из трубы.
Задача вторая.
На клетчатой бумаге отмечен прямоугольник m на n клеток, причём числа m и n взаимно просты и m<n. Диагональ этого прямоугольника не пересекает ровно 116 его клеток. Найти все возможные значения m и n.
Задача третья.
Пусть 2n точек расположены по кругу. Первые n из которых - синего цвета, а n последних - красного. Нужно доказать, что всегда найдётся целое m (зависящее от n), такое, что если, двигаясь по кругу, мы вычёркиваем каждую m-тую точку, то первыми будут вычеркнуты все красные точки.
Задача четвёртая.
Отрезок CD - общая хорда двух окружностей. Хорда BD первой окружности лежит на касательной ко второй окружности, а хорда AC второй окружности - на касательной к первой окружности. Найти длину хорды DC, если BC=4, AD=9.
Задача пятая.
Решить уравнение:
.
Задача шестая.
Угол обзора Таниного фотоаппарата равен девяноста градусам, т. е. Таня фотографирует произвольный прямой угол (граница угла тоже попадает на снимок). В городе несколько небоскрёбов. Таня заметила, что с каждого из них она может сфотографировать не более пяти других небоскрёбов. Какое наибольшее число небоскрёбов может быть в городе, если никакие три из них не лежат на одной прямой? (Небоскрёбы можно считать точками на плоскости).
Задача седьмая.
Дана система уравнений:
,
,
.
Известно, что a, b и c попарно различны.
Пусть
- одно из решений системы.
Найти, чему будет равна сумма
.
Задача восьмая.
Первоклассник Петя не знает никаких других цифр, кроме единицы. Доказать, что он сможет написать число, делящееся на 1989.
Задача девятая.
Найти сумму всех семизначных чисел, в которых все цифры от единицы до семёрки встречаются ровно по одному разу.
Задача десятая.
В двух одинаковых сосудах, объёмом по 30 литров каждый, содержится всего 34 литра спирта. Первый сосуд доливают доверху водой и полученной смесью дополняют второй сосуд, затем из второго сосуда отливают в первый 12 литров новой смеси. Сколько спирта было первоначально в каждом сосуде, если полученная смесь во втором сосуде содержит на 2 литра спирта меньше, чем в первом?
Задача одиннадцатая.
Доказать, что
является многочленом степени m от
.
Задача двенадцатая.
Простым графом G называется пара (V(G), E(G)), где V(G) - непустое конечное множество элементов, именуемых вершинами, а E(G) - конечное множество рёбер - неупорядоченных пар различных элементов из V(G), причём разным рёбрам соответствуют разные неупорядоченные пары вершин.
Распределением меток в простом графе G с n вершинами называется взаимно однозначное соответствие между множествами V(G) и {1, ... , n}.
Помеченным простым графом называется пара (G, f), где G - простой граф, а f - распределение меток в G.
Сколько существует помеченных простых графов с n вершинами?
Просьба к искушённым математикам: не пишите в этой теме решения предложенных задач, так как они здесь приведены не для обсуждения, а только лишь в ознакомительных целях. Спасибо за понимание.
