доказать

[Апис]

$\[ \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \tfrac{{\sum\limits_1^k {\left[ {\left( {p_k^2 } \right)\left( {\prod\limits_1^k {\frac{{\left( {p_k - 1} \right)}} {{p_k }}} } \right) - \left( {p_{k - 1}^2 } \right)\left( {\prod\limits_1^{k - 1} {\frac{{\left( {p_{k - 1} - 1} \right)}} {{p_{k - 1} }}} } \right)} \right]} + \left( {x - p_k^2 } \right)\left( {\prod\limits_1^k {\frac{{\left( {p_k - 1} \right)}} {{p_k }}} } \right)}} {x} \ne 0 \] $

[ShMaxG]

Что такое $p_k$? Зависит ли оно от $x$? Неравенство нулю понимается в смысле "для любых $k$?"

[Апис]

$\[ p_k^2 \leqslant x < p_{k+1}^2 \] $
p – простые числа k – номер простого числа

[ShMaxG]

Удалил, у меня нет идей.

[Sonic86]

(чушь удалена)

[ShMaxG]

Апис
А суммирование по какому индексу проходит? Если по $k$ - то верхним индексом $k$ точно быть не может.

[ИСН]

По обыкновению, до конца не читал, но осуждаю. $\prod\limits_1^k \left(1-{1\over p_k} \right)$ очевидным образом стремится к нулю. Так что не сводится.

[ShMaxG]

ИСН
Да, вы правы. Решение удалил.

[Апис]

ShMaxG в сообщении #227652 писал(а):

Апис
А суммирование по какому индексу проходит? Если по $k$ - то верхним индексом $k$ точно быть не может.

Суммирование проходит по всем индексам от еденицы до к

[PAV]

Ко всем заинтересованным лицам: я пытался в личной переписке объяснить автору вопроса, что в этом случае для корректной записи выражение под суммой должно содержать индекс суммирования, но, как видно, безуспешно.

[TOTAL]

Апис в сообщении #227692 писал(а):

Суммирование проходит по всем индексам от еденицы до к

Для каждого знака суммирования и произведения укажите, какой индекс и в каких пределах меняется.
Можете это сделать?

[fiktor]

Наверное, имелось в виду
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \tfrac{{\sum\limits_{l=1}^k {\left[ {\left( {p_l^2 } \right)\left( {\prod\limits_{m=1}^l {\frac{{\left( {p_m - 1} \right)}} {{p_m }}} } \right) - \left( {p_{l - 1}^2 } \right)\left( {\prod\limits_{m=1}^{l - 1} {\frac{{\left( {p_{m - 1} - 1} \right)}} {{p_{m - 1} }}} } \right)} \right]} + \left( {x - p_k^2 } \right)\left( {\prod\limits_{m=1}^k {\frac{{\left( {p_m - 1} \right)}} {{p_m }}} } \right)}} {x} \ne 0$,
где $p_l$ --- l-ое простое число, а $k=k(x)$ --- такое число, что $p_k^2\leq x < p_{k+1}^2$

[RIP]

fiktor в сообщении #227715 писал(а):

Наверное, имелось в виду
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \tfrac{{\sum\limits_{l=1}^k {\left[ {\left( {p_l^2 } \right)\left( {\prod\limits_{m=1}^l {\frac{{\left( {p_m - 1} \right)}} {{p_m }}} } \right) - \left( {p_{l - 1}^2 } \right)\left( {\prod\limits_{m=1}^{l - 1} {\frac{{\left( {p_{m - 1} - 1} \right)}} {{p_{m - 1} }}} } \right)} \right]} + \left( {x - p_k^2 } \right)\left( {\prod\limits_{m=1}^k {\frac{{\left( {p_m - 1} \right)}} {{p_m }}} } \right)}} {x} \ne 0$,
где $p_l$ --- l-ое простое число, а $k=k(x)$ --- такое число, что $p_k^2\leq x < p_{k+1}^2$

Тогда непонятно, что такое $p_0$. Скорее, тогда уж
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \tfrac{{\sum\limits_{l=1}^k {\left[ {\left( {p_l^2 } \right)\left( {\prod\limits_{m=1}^l {\frac{{\left( {p_m - 1} \right)}} {{p_m }}} } \right) - \left( {p_{l - 1}^2 } \right)\left( {\prod\limits_{m=1}^{l - 1} {\frac{{\left( {p_{m} - 1} \right)}} {{p_{m} }}} } \right)} \right]} + \left( {x - p_k^2 } \right)\left( {\prod\limits_{m=1}^k {\frac{{\left( {p_m - 1} \right)}} {{p_m }}} } \right)}} {x}$
(правда, здесь тоже появляется $p_0$, но тут оно не входит в произведение и предел от него не зависит), но тогда всё сокращается и предел равен 0.

[offtop]Кстати, по поводу некорректной записи. В одной статье Ф. Бейкерса (этой (это только препринт, но в опубликованной версии это место без изменений), SpringerLink) встречал такое

F. Beukers писал(а):

$$\int_0^zf(\log z)^2dz=(\log z)^2\int_0^zf\,dz-2\log z\int_0^z\frac1z\int_0^zf\,dz+2\int_0^z\frac1z\int_0^z\frac1z\int_0^zf\,dz.$$

($f$ --- формальный степенной ряд от $z$.) [/offtop]

[Sonic86]

Слушайте, так ведь $k=const$, остается просто коэффициент-произведение, который нулю не равен, хотя к нему может быть сколь угодно близок.
Или уже рассматривается $k \to \infty$?

каюсь, это я чушь написал.

[RIP]

Sonic86 в сообщении #227776 писал(а):

Слушайте, так ведь $k=const$, остается просто коэффициент-произведение, который нулю не равен, хотя к нему может быть сколь угодно близок.
Или уже рассматривается $k \to \infty$?

Судя по $p_k^2\le x\le p_{k+1}^2$, $k$ таки растёт. В любом случае, сначала стоит понять, предел чего мы рассматриваем. В первую очередь топикстартеру.

-- Пт 10.7.2009 18:12:46 --

Апис
Не могли бы Вы подробно расписать выражение, стоящее под знаком предела, при $x=10$ (без вычислений и упрощений).