Пятёрки и восьмёрки на плоскости (счетность и континуальност

[Бабай]

Задача: Докажите, что на плоскости можно расположить континуум непересекающихся пятёрок, но лишь не более чем счётное множество восьмёрок.

Вопрос: Можно ли, не прибегая пока к техническим средствам, предположить, что решение может быть основано на том факте, что пятёрки можно выстроить в ряд и каждую отобразить на точку в полуинтервале [0,1), а восьмёрку нельзя отобразить в окружность?

Если бы восьмёрки можно было преобразовать в окружность, то плоскость можно было бы заполнить континуумом концентрических окружностей. А так как этого сделать нельзя, то множество всех восьмёрок должно по идее не иметь мощности любого из несчётных подмножеств плоскости.

Тогда осталось бы показать явно, что упомянутый полуинтервал действительно можно отобразить в плоскость.

[мат-ламер]

Восьмёрка дожна содержать внутри себя точку с рациональными координатами. (Предполагается, что вложения восьмёрок не допускается.)

[ИСН]

Вложение, естественно, допускается. Нельзя, чтобы пересечение. Там с рациональными точками нужен чуть более тонкий ход.

[мат-ламер]

В кажду восьмёрку можно вложить не более чем счётное множество "максимальных" восьмёрок. Под "максимальной" понимается восьмёрка, которая вложена в данную, но не вложена в какую-либо другую (за исключением восьмёрок, охватывающих данную). В каждую из восьмёрок одного уровня вкладывается не более чем счётное множество восьмёрок следующего уровня.

[ИСН]

Всё так. Но без волшебных слов это не более чем перефразировка первоначального утверждения. Почему в каждую восьмёрку можно вложить континуум пятёрок, но только счётное множество восьмёрок?

[мат-ламер]

Пятёрки могут тесно прижаться друг к другу. Т.е. их можно параметризовать действительным числом. Восьмёрок верхнего уровня только счётное число, ибо каждая содержит рациональную координату.

[ИСН]

Ну, можно и так. Мне больше нравилось в варианте: две рациональные точки, одна в верхней половинке, другая в нижней - определяют одну 8-ку. И всё, и вообще ни слова про вложенность.

[мат-ламер]

Последнюю мысль не понял. Одна рациональная точка вверху, а вторая внизу могут быть накрыты своими внутренними восьмёрками. Также не понял мысль из первого поста

Цитата:

то плоскость можно было бы заполнить континуумом концентрических окружностей. А так как этого сделать нельзя...

. А что, разве не можно? Другое дело, что есть недоработки в приведённом доказательстве. Допустим, вложения восьмёрок допускаются. Кто сказал, что внутри данной восьмёрки должны обязательно существовать "максимальные" восьмёрки верхнего уровня? Это не так.

[ИСН]

Пара рациональных точек из разных половинок - вот что определяет одну восьмёрку. Каждая точка может быть накрыта внутренними сколько угодно. Но только по отдельности. Или обе могут быть накрыты внешней восьмёркой - но у неё они будут обе в одной половинке.

[мат-ламер]

Теперь всё понятно.

-- Ср июл 08, 2009 15:10:56 --

А если рассмотреть другие символы? Букву Т в каком количестве можно расположить на плоскости?

[AGu]

мат-ламер в сообщении #227384 писал(а):

Букву Т в каком количестве можно расположить на плоскости?

В не очень большом. И примерно по той же причине, кстати.
[Я ограничиваюсь намеками, так как знаю решение. Отличная задачка, кстати.]

[мат-ламер]

Думаю для буквы Т к решению приводят такие же соображения, что и для восьмёрки. Т.е. для каждой такой буквы рассмотреть две рациональные точки вблизи вершин прямых углов. Главное, что другая буква, как-бы её не располагали, не может затронуть сразу обе эти точки.

[AGu]

мат-ламер в сообщении #227401 писал(а):

Думаю для буквы Т к решению приводят такие же соображения, что и для восьмёрки. Т.е. для каждой такой буквы рассмотреть две рациональные точки вблизи вершин прямых углов. Главное, что другая буква, как-бы её не располагали, не может затронуть сразу обе эти точки.

Типа того. Но это решение проходит лишь в том случае, если буквы рисуются пряменько: $\top$. А что если мы позволим искривлять любой из трех усов буквы T -- типа так: $\tau$ и даже круче -- так что ус одной буквы $T_1$ может, например, начавшись возле вершины другой буквы $T_2$, вылезти наружу, обогнуть ус $T_2$ и снова залезть внутрь $T_2$ с другой стороны? [Я, понятное дело, неформально изъясняюсь, но мысль, надеюсь, понятна.]