Красивая задачка!

[Хет Зиф]

Пусть ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a^2_{n} $ сходится. Что можно сказать о ряде :$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{a_{n}}{n} $ ??
Эта задача была у нас на письменном экзамене по мат анализу. Решение приведу потом.

[bot]

Демидович № 2569.

[Руст]

Это очевидно. Второй ряд сходится абсолютно. Достаточно применить неравенство:

$$\sum_{k=1}^n |\frac{a_k}{k}|\le (\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} )^{1/2}(\sum_{k=1}^n a_k^2)^{1/2}<(\frac{\pi ^2}{6}\sum_{k=1}^n a_k^2 )^{1/2}.$$

[Хет Зиф]

Именно так!

[bot]

Соббсно нет необходимости знать сумму ряда $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}$
Следуем № 2569 - там написано:
Доказать, что если ряды $\sum_{k=1}^\infty a_k^2$ и $\sum_{k=1}^\infty b_k^2$ сходятся, то сходятся также ряды

$(1) \sum_{k=1}^\infty |a_kb_k|,
(2) (лень набирать)
(3)$ \sum_{k=1}^\infty \frac{|a_k|}{k}$

(1) ясно из неравенства $2|ab|\le a^2 + b^2$ и признака сравнения, а (3) - это лишь спецификация (1) для $b_k=\frac{1}{k}$

Хотя если убрать из предыдущего поста конкретность суммы $ \frac{\pi^2}{6}$, то это практически одно и то же.

[Capella]

bot писал(а):

Соббсно нет необходимости знать сумму ряда $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}$

Тем более что это связано с рядами Фурье и тождеством Бесселя.