перемещение и соответствующий ему дифференциал перемещения

[AKM]

А Вы бы себя малость перефразировали. Вместо

errnough в сообщении #226071 писал(а):

В) Если "изменение длины" это разность двух длин, то это снова длина. А длина, учитывая (А), отрицательной быть не может.

Например, так:

Цитата:

В) Если "изменение длины" это разность двух длин, то это уже НЕ длина: ибо длина, учитывая (А), отрицательной быть не может.

Здесь голословное "если ... то" заменено на аргументированное "если ... то". И голосовать не надо.

[errnough]

errnough в сообщении #226476 писал(а):

у авторов из МФТИ, что они отождествили вектор с числовой величиной. Это их вторая катастрофическая ошибка.

errnough писал(а):

Я в полном замешательстве... Вектор это числовая величина?

AKM в сообщении #226490 писал(а):

А Вы точно не прикалываетесь?

Нет, многоуважаемый AKM, выказывать неуважение к отвечающим запрещено правилами. Я просто задаю вопросы. И формулирую их так, чтобы нельзя было в качестве ответа упомянуть "сферического коня". Достаточно "ложно-истинно", "да-нет". Я привык так отлаживать системки всякие...

AKM в сообщении #226490 писал(а):

Одномерный вектор если и не числовая величина, то может быть отождествлён с таковой (с точностью до болтологических различий). Именно так и написано.

Многоуважаемый AKM.
Мое замешательство происходит вот из чего. Согласно определению из БСЭ,
«ВЕКТОР, в геометрическом смысле — направленный отрезок, то есть отрезок, у которого указаны начало (называемое также точкой приложения В.) и конец.»
[http://slovari.yandex.ru/dict/bse/article/00012/46300.htm]

В Физ.Энциклопедии: «Направленный отрезок а, наз. вектором, характеризуется длиной (модулем) и направлением.»
[http://www.femto.com.ua/articles/part_1/0439.html]

Ваше разъяснение лишь усугубляет мое непонимание. Одномерная величина -- это точка. Отрезок -- двумерная величина, задаваемая двумя точками. У Вас получился нулевой вектор. Но нулевой вектор имеет модуль, очевидно (простите, что не доказываю), равный нулю. Поэтому отождествить с числовой величиной нулевую величину, это очень неосмотрительно. Поскольку очевидно, по моему скромному мнению, числовая величина всегда окажется равной нулю.

В какой-то степени вероятно, что Ваше разъяснение немного противоречит определению из БСЭ и Физ.Энциклопедии. Да, и еще, с физической точки зрения, что может характеризовать нулевой вектор с нулевой длиной и неопределенным направлением?

Не могли бы Вы разъяснить, что имели ввиду авторы, когда отождествили вектор с числовой величиной. Поверьте я тщательно вчитался в текст авторов из МФТИ.

-- с уважением,

[ewert]

errnough в сообщении #226499 писал(а):

Мое замешательство происходит вот из чего. Согласно определению из БСЭ, «ВЕКТОР, в геометрическом смысле — направленный отрезок, то есть отрезок, у которого указаны начало (называемое также точкой приложения В.) и конец.»[http://slovari.yandex.ru/dict/bse/article/00012/46300.htm] <...> Одномерная величина -- это точка. Отрезок -- двумерная величина, задаваемая двумя точками.

У Вас постоянно какое-то совершенно ненужное якобы замешательство. БСЭ -- хотя и советская и большая, но всё же достаточно грамотная. И говорит достаточно недвусмысленно (пусть и не очень удачно):

Цитата:

Вектор называется свободным, если его значение не меняется при произвольном параллельном переносе. <...> В. называется связанным, если фиксировано его начало. <...> Свойства свободных В. изучаются средствами векторной алгебры (см. Векторное исчисление).

[errnough]

ewert в сообщении #226527 писал(а):

БСЭ -- хотя и советская и большая, но всё же достаточно грамотная. И говорит достаточно недвусмысленно (пусть и не очень удачно):

Цитата:

Вектор называется свободным, если его значение не меняется при произвольном параллельном переносе. <...> В. называется связанным, если фиксировано его начало. <...> Свойства свободных В. изучаются средствами векторной алгебры (см. Векторное исчисление).

Пожалуй, ясности свободные/связанные вектора не добавят.

http://www.exponenta.ru/educat/class/courses/an/theme1/theory.asp :
Определение 3: Свободный вектор (или просто вектор) – множество равных между собой (в смысле определения 2) закрепленных векторов. [...]
Определение 2: Равенство закрепленных векторов [не интересно...]
Определение 1: Закрепленный вектор –- отрезок с упорядоченными концами: AB, A – начало вектора, В – конец вектора, $AB\neq BA$.
Конец и начало вектора могут совпадать: АА – нулевой вектор.

То есть, это всё равно отрезок с упорядоченными концами, либо нулевой вектор.

[ewert]

errnough в сообщении #226551 писал(а):

Пожалуй, ясности свободные/связанные вектора не добавят.

Нет, не добавят:

errnough в сообщении #226551 писал(а):

[quote="ewert в [url=http://dxdy.ru/post226527.html#p226527]Определение 3: Свободный вектор (или просто вектор) – множество равных между собой (в смысле определения 2) закрепленных векторов. [...]
Определение 2: Равенство закрепленных векторов [не интересно...]
Определение 1: Закрепленный вектор –- отрезок с упорядоченными концами: AB, A – начало вектора, В – конец вектора, $AB\neq BA$.
Конец и начало вектора могут совпадать: АА – нулевой вектор.

То есть, это всё равно отрезок с упорядоченными концами, либо нулевой вектор.

Это -- по-прежнему бессмысленный набор слов, который Вы даже и не попытались хоть как-то осознать.

[errnough]

ewert в сообщении #226556 писал(а):

errnough в сообщении #226551 писал(а):

... цитата с exponenta.ru ...

Это -- по-прежнему бессмысленный набор слов, который Вы даже и не попытались хоть как-то осознать.

Но "бессмысленный набор слов" не мой, а с exponenta.ru... Мда. :(

Глубокоуважаемый ewert, прояснения у меня так и наступило. Но причина этому -- не могу все Ваши доводы, определения и пояснения собрать в стройную логическую цепь. Вы сделали указание на свободные/связанные вектора. Но Вы же помните, с чего начался разговор? Я позволю себе напомнить:

Авторы из МФТИ написали: "перемещение и скорость при прямолинейном движении можно спроектировать на ось OX и рассматривать их проекции как алгебраические величины." Вы подтверждаете это: "авторы с самого начала аккуратно оговорили, что они отождествляют вектор перемещения с числовой величиной ..." Я недоверчиво переспросил, так ли это, но Вы подтвердили, что "это не ошибка." И наконец, Вы сделали указание на свободные/связанные вектора.

То есть Вы считаете, что связь между "свободными/связанными векторами" и возможностью отождествления вектора с числовой величиной есть? Я ее не вижу. Поможете?

[ewert]

errnough в сообщении #226562 писал(а):

И наконец, Вы сделали указание на свободные/связанные вектора.

Исключительно реагируя на Ваше "замешательство". Вы сослались на БСЭ, согласно которой вектор определяется своими началом и концом. Я обратил Ваше внимание на то, что Вы зачем-то не дочитали статью до конца, а там, между прочим, это определение потом уточняется. Но теперь-то, надеюсь, дочитали? Понятна ли Вам разница между свободными и связанными векторами?

[errnough]

ewert в сообщении #226591 писал(а):

errnough в сообщении #226562 писал(а):

И наконец, Вы сделали указание на свободные/связанные вектора.

Исключительно реагируя на Ваше "замешательство". Вы сослались на БСЭ, согласно которой вектор определяется своими началом и концом. Я обратил Ваше внимание на то, что Вы зачем-то не дочитали статью до конца, а там, между прочим, это определение потом уточняется. Но теперь-то, надеюсь, дочитали? Понятна ли Вам разница между свободными и связанными векторами?

С Вашей помощью, разница понятна, большое спасибо. Не только разница, но и то общее, что каждая реализация свободного вектора -- это обычный вектор. Который либо нулевой, либо двумерная фигура -- отрезок. Видите, я уже делаю успехи в современной физике, с Вашей помощью :)

Однако мое замешательство после Ваших и AKM объяснений не снято. Вы же просто не ответили, на каком основании дельта-координаты заменилось дельтой-перемещением; и какие основания считать вектор тождественным алгебраической величине. Но раз нет объяснений, (а их и не может быть, такие подмены незаконны математически и физически), то почему в учебнике авторов из МФТИ только на одной странице столько, по моему скромному мнению, ошибок? :( А я думал, что быстренько выясним, что перемещение, цитирую этих же авторов:
http://physics.ru/courses/op25part1/content/chapter1/section/paragraph1/theory.html
"Перемещением тела $\overrightarrow{s}=\Delta \overrightarrow{r}=\overrightarrow{r}-\overrightarrow{r_0}$ называют направленный отрезок прямой, соединяющий начальное положение тела с его последующим положением. Перемещение есть векторная величина." (форматирование авторское)

-- положительно всегда, просто по определению вектора, расстояние тоже не бывает отрицательным, ну, а определение длины в БСЭ не дается, поскольку получится порочный круг "Сепульки -- см. Сепулькарии", относительно определения "расстояние".

И хотел уже открыть еще одну тему, с просьбой помочь разобраться, как эти же авторы от перемещения переходят к скорости... там тоже фокусы еще те...

[PapaKarlo]

errnough в сообщении #226494 писал(а):

Поскольку... данные мне ответы противоречат друг другу, я заключаю, что ответа нет.

Возможно, противоречат друг другу ответы, данные разными участниками форума. Надеюсь, Вы не ставили другим участникам форума задачу (просьбу) "дайте согласованные, не противоречащие друг другу ответы". Желание получить таковые (не противоречащие друг другу) вполне понятно, но было бы странно требовать от участника А дать ответ, не противоречащий ответу участника Б, независимо от сути ответа участника Б, не правда ли?

errnough в сообщении #226494 писал(а):

Ваши утверждения голословны

Это - странное мнение, поскольку я ответил на Вашу просьбу

errnough в сообщении #226071 писал(а):

Я хотел бы услышать от участников, нет ли среди высказываний А,Б,В,Г и заключения ложных утверждений?

Я процитировал Ваши высказывания А,Б,В,Г и заключение и дал по каждому свою оценку: ложно ли каждое из них. По-моему, это ответ на Вашу просьбу. Если Вы хотите знать, почему я высказал ту или иную оценку, задавайте конкректные вопросы.

Например:

errnough в сообщении #226071 писал(а):

В) Если "изменение длины" это разность двух длин, то это снова длина.

Почему я считаю, что данное утверждение ложно (насчет слова "если" - см. ниже)?
1) Во-первых, Ваше утверждение ничем не обосновано (голословно ). Разность двух величин не обязана иметь тот же смысл, что и слагаемые. Например, возраст - ведь вряд ли имеет смысл утверждать, что разность возрастов двух людей или изменение возраста человека за время его обучения в школе - тоже возраст, не так ли? Можно предположить, что существует некий третий человек, чей возраст равен разности возрастов двух первых людей (изменению возраста школьника); но это никак не делает разность возрастов также возрастом.
2) Конечно, можно рассматривать два отрезка разной длины, совмещенные одним из концов, а расстояние между двумя другими концами определить как разность длин. Если в этом случае мы хотим сохранить неотрицательность расстояния, то тем самым мы задаем не только правило, требующее вычитать одну длину из другой, но еще и определяем, что вычитать следует всегда из большего меньшее. Против такого правила нет возражений, но надо осознавать, что это правило мы явно или неявно задаем.
3) Понятие "изменение" некоторой величины требует также определения. Наиболее часто используется следующее определение (опять же, необязательно явным образом): есть начальное значение $x_0$, есть конечное значение $x_1$, а изменение $\Delta x$ определяется как

$\Delta x=x_1-x_0$

Обратите внимание на иной критерий выбора уменьшаемого и вычитаемого по сравнению с разностью длин: здесь вычитается начальное из конечного, безотносительно того, какое из этих двух значний больше. Отсюда очевидно, что при таком определении
а) смысл "изменение длины" и "разность длин" различен - уже по определению
б) изменение длины вполне может быть отрицательным
в) в приписывании "разности длин" понятия "длина" нет никакого смысла
г) при таком определении понятия "изменение длины" появляются два варианта ненулевого изменения: уменьшение длины и увеличение длины.

Конечно, можно понятие "изменение длины" определить иначе - например, так же, как "разность длин", но это будет вовсе не то понятие, которое обычно используют. Напротив, "разность длин" можно вполне определить так, чтобы разность могла быть отрицательной, но в этом случае, очевидно, нельзя уже будет утверждать, что "разность длин" всегда есть длина.

Ваше утверждение (В) содержит слово "если", выражающее условность утверждения; однако в дальнейшем Вы делает вывод, опирающийся на (В), как если бы там условность отсутствовала, иными словами, вместо "если" подразумевается утвердительный смысл (В). Именно в такой интерпретации (В) содержит ошибку, поэтому из принятия истинности (В) получаются ложные выводы.

В любом случае, попробуйте хотя бы для себя дать формальное определение понятия "длина" и "изменение длины".

Что касается Вашего тезиса

errnough в сообщении #226071 писал(а):

• либо верно мое допущение, «изменение длины, оно же перемещение, оно же расстояние -- может быть отрицательным»,
• либо авторы ошибаются

то оценка однозначна: оба предложенных варианта ошибочны - ведь Вы написали нечто вроде "либо я прав, либо у меня нет ошибки" , но при этом ошибаетесь.

Обратите внимание, что в параграфе 1.3 по указанной Вами ссылке
а) проекция перемещения определяется как разность, но разность вовсе не длин, а координат; надеюсь, Вы не предполагаете, что координата точки на прямой определяется просто как длина отрезка, соединющего начало координат с данной точкой;
б) порядок уменьшаемого и вычитаемого определяется вовсе не по правилу "из большего вычитаем меньшее", а с использование понятий "начальное значение" и "конечное значение"; поэтому неудивительно, что перемещение может быть как положительным, так и отрицательным.

-- Вс июл 05, 2009 21:23:39 --

errnough в сообщении #226599 писал(а):

И хотел уже открыть еще одну тему, с просьбой помочь разобраться, как эти же авторы от перемещения переходят к скорости... там тоже фокусы еще те...

Никаких фокусов, честно говоря, не заметил. А что именно Вам непонятно?

Цитата:

Если в некоторый момент времени $t_1$ тело находилось в точке с координатой $x_1$, а в более поздний момент $t_2$ – в точке с координатой $x_2$, то проекция перемещения $\Delta s$ на ось $OX$ за время $\Delta t$ = t_2-t_1 равна $\Delta s = x_2-x_1$.

Эта величина может быть и положительной и отрицательной в зависимости от направления, в котором двигалось тело. При равномерном движении вдоль прямой модуль перемещения совпадает с пройденным путем. Скоростью равномерного прямолинейного движения называют отношение

$v=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}$

Если $v > 0$, то тело движется в сторону положительного направления оси $OX$; при $v < 0$ тело движется в противоположном направлении.

Конечно, изложение не очень строгое, но для школьного учебника - вполне сойдет. Вводится понятие перемещения, затем - понятие скорости.

-- Пн июл 06, 2009 00:06:53 --

errnough в сообщении #226476 писал(а):

Я в полном замешательстве... Вектор это числовая величина?

Цитата:

Для кинематического описания равномерного прямолинейного движения координатную ось $OX$ удобно расположить по линии движения. Положение тела при равномерном движении определяется заданием одной координаты x. Вектор перемещения и вектор скорости всегда направлены параллельно координатной оси $OX$. Поэтому перемещение и скорость при прямолинейном движении можно спроектировать на ось $OX$ и рассматривать их проекции как алгебраические величины.

Если Вы внимательно прочитаете процитированное из учебника место, то Вы заметите, что нигде не утверждается, что вектор - это числовая величина. Сказано следующее:
1) при прямолинейном движении и определенном выборе координатной оси вместо вектора можно рассматривать его проекцию;
2) проекция вектора есть алгебраическая величина.

Никаких ошибок - ни катастрофических, ни еще каких-либо, в процитированной части учебника нет. Если у Вас создалось противоположное впечатление, то это можно объяснить и иным предположением.

errnough в сообщении #226499 писал(а):

Не могли бы Вы разъяснить, что имели ввиду авторы, когда отождествили вектор с числовой величиной. Поверьте я тщательно вчитался в текст авторов из МФТИ.

Позвольте Вам не поверить. Еще раз: авторы не отождествляли вектор с числовой величиной. Они говорили о проекции вектора как о числовой величине - открытым текстом.

errnough в сообщении #226499 писал(а):

Одномерная величина -- это точка. Отрезок -- двумерная величина, задаваемая двумя точками.

А треугольник (или двухзвенная ломаная) по этой логике - трехмерная величина, задаваемая тремя точками.

errnough в сообщении #226499 писал(а):

Мое замешательство происходит вот из чего.

Согласно определению из БСЭ, «ВЕКТОР, в геометрическом смысле — направленный отрезок, то есть отрезок, у которого указаны начало (называемое также точкой приложения В.) и конец.»
[http://slovari.yandex.ru/dict/bse/article/00012/46300.htm]

В Физ.Энциклопедии: «Направленный отрезок а, наз. вектором, характеризуется длиной (модулем) и направлением.»
[http://www.femto.com.ua/articles/part_1/0439.html]

В обоих процитированных Вами определениях вообще ничего не говорится о количестве измерений - обратите на это внимание. И это естественно. Использование координат для идентификации точек означает как минимум, что каждой точке в пространстве сопоставляется набор чисел. Количество чисел в этом наборе и есть размерность пространства.

Ненулевой вектор можно определить двумя точками и указанием, какая из них является "начальной" точкой - именно это указание приводит к направленности вектора. Размерность пространства не имеет значения.

Расстояние между точками и есть модуль вектора. Вообще говоря, это можно рассматривать как определение расстояния между точками. Но модуль вектора не определяет вектор полностью в случае, если модуль не равен нулю.

Нулевой вектор "одинаков" в пространстве с любым числом измерений - одинаков в том смысле, что его модуль равен нулю, а направление не определено, т.к. нельзя различить начальную и конечную точку - они совпадают.

errnough в сообщении #226499 писал(а):

Да, и еще, с физической точки зрения, что может характеризовать нулевой вектор с нулевой длиной и неопределенным направлением?

В случае вектора с нулевым модулем понятие направление вектора теряет смысл. Нулевой вектор может охарактеризовать частный случай некоторой векторной величины. Смысл при этом сохраняет лишь модуль этого вектора - он равен нулю. Пример: если равнодействующая всех сил (вектор), приложенных к материальной точке, равна нулю (строго - является нулевым вектором), то ускорение мт равно нулю (следствие из второго закона Ньютона). Если в некоторой инерциальной системе отсчета в некоторый момент времени эта мт находилась в покое, то она будет находиться в состоянии покоя до тех пор, пока равнодействующая будет оставаться нулевым вектором.

Проблема восприятия нулевого вектора заключается в том, что Вы рассматриваете лишь одно из возможных определений вектора - как направленного отрезка. Однако это - не единственная возможность определить вектор. Иная возможность заключается в том, что вектор в $n$-мерном пространстве определяется как совокупность $n$ чисел. Этого, строго говоря, недостаточно: необходимо также определить еще кое-что, в частности - способ вычисления модуля вектора, а также единичные векторы в количестве $n$ штук. Последнее, кстати, и помогает определить направление с помощью вектора (а не наоборот - вектор с помощью направления). Это - не строгое изложение начала аналитической геометрии, но для строгого изложения есть учебники.

При таком подходе оказывается, что нулевой вектор - это "просто" набор из $n$ нулей. Вопрос о физическом смысле такого вектора (как и любого другого, ненулевого) проистекает из того, какой физический смысл придается каждой из $n$ компонент вектора.

[errnough]

PapaKarlo
Ого. На такое количество мыслей я отвечу не раньше конца дня, а то и завтра :)

Может, структуру договоримся вводить? Например, по правилу: Каждый абзац может быть выражен фразой (тезисом) в 4-8 слов, остальное в абзаце -- в подтверждение тезиса. Каждая нумерованное высказывание -- автоматически отдельный тезис.

Я ведь сейчас именно так и буду дизассемблировать Ваше сообщение ;)

[PapaKarlo]

errnough, ну Вы даете. То компактный ответ на вопрос "ложно или истинно" голословен, то развернутый ответ на языке высокого уровня дизассемблировать нужда появляется.

Но Вы проанализируйте мое сообщение еще раз внимательно с применением описанного Вами подхода - Вы обнаружите, что оно почти по всем пунктам соответствует Вашей схеме.

А с ответом не торопитесь, подумайте. При написании ответа попробуйте себе повозражать - полезно.

[errnough]

Исправьте, пожалуйста, собственное противоречие (1) vs (2):

1)

PapaKarlo в сообщении #226485 писал(а):

errnough в сообщении #226071 писал(а):

Из (В) и (Г) заключаем, что "изменение длины" не может быть отрицательным коэффициентом, и не может быть отрицательной разностью длин. Значит, допущение ложное.

Вывод правильный: исходное допущение, содержащее слова "оно же", ложно. Однако этот вывод получен некорректным путем: с привлечением неверного тезиса (В).

2)

PapaKarlo в сообщении #226485 писал(а):

errnough в сообщении #226071 писал(а):

И может ли перемещение и соответствующий ему дифференциал перемещения быть отрицательным?

Да. Это следует из определения понятий "перемещение" и "дифференциал".

Вывод идет после слов "заключаем". Это что, необщепринято? ;)

[venco]

Вывод идёт после слова "Значит".

[PapaKarlo]

errnough в сообщении #226989 писал(а):

Исправьте, пожалуйста, собственное противоречие (1) vs (2)

Я не понял, в чем заключается противоречие в моих рассуждениях. Возможно, я неправильно интерпретировал Ваши рассуждения.

Итак, как я понял Вас (дизассемблирование ).

1) Исходное допущение:

errnough в сообщении #226071 писал(а):

Допустим, изменение длины, оно же перемещение, оно же расстояние -- может быть отрицательным.

Мой комментарий: это допущение ложное, поскольку жирным шрифтом выделены три совершенно разных понятия, которые по причине их различия не могут быть связаны отношением тождества ("оно же").

Рассмотрите, например, движение шатуна в цилиндре двигателя в течение полного цикла. Перемещение любой точки шатуна равно нулю (он вернулся в исходное положение), пройденный путь (пройденное расстояние) нулю не равно. Изменение длины шатуна вообще не имеет места как в течение полного цикла, так и на любой его фазе.

2) Один из Ваших тезисов (первая половина):

errnough в сообщении #226071 писал(а):

В) Если "изменение длины" это разность двух длин, то это снова длина.

Мой комментарий: эта часть тезиса неверна: изменение длины не обязано быть длиной (об этом Вам писали раньше и другие участники форума; я приводил Вам пример возраста: разность однородных величин вовсе не обязательно является величиной того же типа). Дальнейшую часть тезиса по причине ошибочности первой части рассматривать нет смысла.

3) Ваш вывод об исходном допущении разбивается на три части:

errnough в сообщении #226071 писал(а):

3.1. Из (В) и (Г) заключаем,

3.2. что "изменение длины" не может быть отрицательным коэффициентом, и не может быть отрицательной разностью длин.

3.3. Значит, допущение ложное.

(нумерация частей, выделеленная в цитате курсивом, моя - PK)
Мой комментарий:
- собственно вывод (часть 3.3) верен: исходное допущение ложное;
- часть 3.2 (ранее я не комментировал) может быть как верной, так и неверной - это зависит от определения понятия "изменение длины"; ИМХО более логичное определение этого понятия допускает отрицательность изменения длины. Однако в контексте рассматриваемого вопроса (якобы имеющее место противоречие в моем тексте) это не имеет значения;
- часть 3.1 содержит в качестве "опорного" ложный тезис. Поэтому я и написал, что верный вывод (о ложности исходного допущения - см. п.1) сделан на основании ложного тезиса - т.е. вывод и рассуждение, "приведшее" к этому выводу, на самом деле логически не связаны.

errnough в сообщении #226989 писал(а):

Вывод идет после слов "заключаем". Это что, необщепринято?

Совершенно не имеет значения, какое слово стоит перед выводом. Важна лишь верность вывода и корректность его получения. Как можно быть уверенным в выводе, полученном некорректным путем? Я уверен в выводе, поскольку обосновал его ИМХО корректно - однако не тем способом, которым попытались сделать это Вы.

Но Вы под выводом понимаете часть 3.2, я же говорил о выводе, содержащемся в части 3.3. Ваше заглавное сообщение в первой части было построено так:
- тезис (допущение);
- рассуждения: (А)-(Г) и части 3.1 и 3.2;
- вывод, говорящий о ложности допущения (тезиса).

Обнаружить логическую связь между вопросом об отрицательности перемещения (дифференциала перемещения) и частью 3.2 и на основании такой связи воспринять 3.2 как вывод, тяжело, поскольку в вопросе речь идет о перемещении, тогда как в части 3.2 - о совершенно другом понятии: "изменении длины". Обратите внимание на реплику venco - он рассуждает, видимо, так же, как и я.

4) Наконец, заглавный вопрос темы:

errnough в сообщении #226071 писал(а):

Может ли перемещение и соответствующий ему дифференциал перемещения быть отрицательным?

Я ответил

PapaKarlo в сообщении #226485 писал(а):

Да. Это следует из определения понятий "перемещение" и "дифференциал".

Строго говоря, ответ не совсем верный, поскольку перемещение - вектор, а, как уже правильно заметили в ветке, к вектору неприменимо понятие "отрицательный" (в выражении $\vec a+(-\vec a)=\vec 0$ имеется в виду нечто другое). Правильно сказать, что отрицательной может быть проекция вектора; поскольку при рассмотрении движения по прямой (одномерного движения) при соответствующем выборе СО достатчно рассматривать лишь одну проекцию, можно в ущерб строгости говорить о векторе вместо проекции, хотя это и не лучшая идея. Тоже самое относится и к дифференциалу перемещения.

Однако в этом смысле точно так же нельзя говорить о положительном векторе. Так что перемещение и дифференциал не могут быть отрицательными совсем не по той причине, которую Вы пытались обосновать тезисами (А)-(Г).

Имеются ли по-прежнему противоречия?

--------------
О излишней сложности. К примеру, Вы назвали тему "перемещение и соответствующий ему дифференциал перемещения". К чему в названии слова "соответствующий ему"? А что, могут быть и неверные ленинцы - дифференциал перемещения, не соответствующий перемещению?

--------------
О двух уже услышанных мнениях:

errnough в сообщении #226071 писал(а):

Два мнения я уже увидел...

Обратите внимание, что речь в обоих этих мнениях шла о (тождественном) равенстве двух скаляров: дифференциале пройденного пути (пройденного расстояния) и модуле дифференциала перемещения.
Комментарии:
1) Тождественное равенство $|d\mathbf r|\equiv ds$ выражает другими словами то, что дифференциал пройденного пути $ds$ определяется как модуль дифференциала перемещения. Это, однако, вовсе не означает:
1.1. ни определения пути как модуля перемещения; переход от бесконечно малых к конечным величинам производится путем интегрирования;
1.2. ни тождества пройденного из точки А в точку В пути и расстояния между этими точками; в этом смысле термин "пройденное расстояние" несет определенную опасность для неокрепших умов, поскольку использование этого термина может привести к путанице;
1.3. ни, тем более, тождественного совпадения перемещения и пройденного пути; перемещение есть вектор, а пройденный путь - скаляр. Например, при повороте системы координат вектор перемещения изменится (хотя его модуль не изменится), а величина пройденного пути - нет.

Понятия "длина" и "изменение длины" Вы впутали в этот вопрос совсем уж зря, поскольку
2.1. длина (синоним расстояния) характеризует определенное взаимное отношение двух точек в пространстве; может быть как чисто геометрическим, так и физическим понятием; однако длина вовсе необязательно связана с каким-либо перемещением, движением;
2.2. изменение длины характеризует скорее результат некоторого физического процесса (например, движения).

-----------
Ну вот, Вы еще видимо не дизассемблировали до конца мое предыдущее сообщение, а я Вам новое (маленькое ) подкинул. А говорят "ломать не строить".

[errnough]

2 PapaKarlo
Спасибо. Во-первых, я всегда с благодарностью читаю чужие рассуждения. Пока их было исчезающе мало в ответ на мои вопросы.

Требовать не противоречить друг другу -- действительно странно, я просто просил, кто может, помочь разобраться. Но факт, что получил ответы, противоречащие друг другу, тоже забавен.

Мой собственное мнение на противоречивые разъяснения очень короткое: в физике пропущен закон, который записывается очень элегантно на языке математики: $\[\Delta s_x = \left | \Delta x \right |.$

PapaKarlo в сообщении #226712 писал(а):

Разность двух величин не обязана иметь тот же смысл, что и слагаемые.

ошибкой в логическом рассуждении является расширение тезиса собеседника.

Вы пишите "Разность двух величин..." и начинаете рассуждение. Но Вы расширили тезис и тем подменили мое высказывание, я говорю не просто о широком тезисе "про величины и их разности", а в более узком смысле: "изменение длины". Если бы я поставил тезис "люди эгоисты", то софист попробовал бы его подменить на "все люди эгоисты", так как в таком виде тезис легче опровергнуть. Со мной такие уловки не проходят :)

Сужение тезиса -- тоже ошибка в логическом рассуждении. Длина девять метров минус длина три метра дает длину шесть метров. Однако, сузив тезис, получим: "длина войлока девять метров минус длина шелка три метра", -- уже бессмыслица.

PapaKarlo в сообщении #226712 писал(а):

Например, возраст ... существует некий третий человек, чей возраст равен...

не подменяйте тезис, мы говорим о длине. Не войлока, или шерсти, а о длине в метрах. И всё :)

PapaKarlo в сообщении #226712 писал(а):

... мы задаем не только правило, требующее вычитать одну длину из другой, но еще и определяем, что вычитать следует всегда из большего меньшее. Против такого правила нет возражений, но надо осознавать, что это правило мы явно или неявно задаем.

Почему же "неявно" задаем? Это что, нигде не написано? У Ландсберга всё совершенно явно, с модулями. Пожалуйста, парочка выдранных страниц из Ландсберга, "Элементарный учебник физики", т.1, глава I, параграф 6, стр. 26,27:
para006landsberg026.gif
para006landsberg027.gif
цитирую: модуль результирующего премещения равен:

$$\strut\mbox{модуль AC}\strut=\left|\strut\mbox{модуль AB — модуль BC}_\strut\right| .$$

Сравните, что я написал в сообщении : "переход от $\[\Delta x\]$ к $\[\Delta s\]$ должен идти через модуль. $\[\Delta s\ = \left | \Delta x \right |$"

PapaKarlo в сообщении #226712 писал(а):

3) Понятие "изменение" некоторой величины требует также определения.

...тезис... :))

PapaKarlo в сообщении #226712 писал(а):

б) изменение длины вполне может быть отрицательным

Противоречите Ландсбергу.

PapaKarlo в сообщении #226712 писал(а):

в) в приписывании "разности длин" понятия "длина" нет никакого смысла

Противоречите Ландсбергу, у него смысл есть, см. формулу с модулями.

PapaKarlo в сообщении #226712 писал(а):

появляются два варианта ненулевого изменения: уменьшение длины и увеличение длины.

Изменение у Ландсберга -- это модуль модуля. Такая величина всегда неотрицательна. Да и сам русский язык подсказывает, сравните:

"изменение длины составило минус шесть метров."
"укорочение длины составило шесть метров."

PapaKarlo в сообщении #226712 писал(а):

"разность длин" можно вполне определить так, чтобы разность могла быть отрицательной, ...

Попробуйте это сделать, не противореча Ландсбергу. У него в учебнике есть двусмысленности и ошибки, но не сплошным текстом, конечно. Без объяснений верится с трудом...

PapaKarlo в сообщении #226712 писал(а):

... но в этом случае, очевидно, нельзя уже будет утверждать, что "разность длин" всегда есть длина.

То есть, придете не только к противоречию с Ландсбергом, но и к противоречию с общепринятым определением длины.

PapaKarlo в сообщении #226712 писал(а):

а) проекция перемещения определяется как разность, но разность вовсе не длин, а координат;

Запишем это: $\Delta x=x_1-x_0$

PapaKarlo в сообщении #226712 писал(а):

надеюсь, Вы не предполагаете, что координата точки на прямой определяется просто как длина отрезка, соединющего начало координат с данной точкой;

А в чем проблема? Ландсберг предполагает. Цитирую Ландсберга:
"... положение точки на траектории будет определяться отрезком, отложенным от точки О до данной точки (см. отрезки ОА и ОВ на рис. 10). Чтобы различать точки, находящиеся по разные стороны от О, положение точек, для которых отрезок откладывается в направлении оси х, определяется длиной отрезка, взятой со знаком плюс (точка А на рис. 10), а положение точек, для которых отрезок откладывается в направлении, противоположном оси х,— длиной отрезка, взятой со знаком минус (точка В на рис. 10)."

Я пожалуй, оставляю Вас сражаться с Ландсбергом :))
Пока Вы не покажите, что он ошибается, непротиворечивого ответа так и нет. Здесь я должен заметить, что авторитет Ландсберга я признаю. Если человек получил поддержку академиков, получил доверие к тому, что он делает, и издал учебник, то он ручается за качество изложенного своим именем. В этом смысл подписи. Против этого можно выставить только чистое, без противоречий, новое рассуждение, устраняющее существующие проблемы.

PapaKarlo в сообщении #226712 писал(а):

Поэтому перемещение и скорость при прямолинейном движении можно спроектировать на ось $OX$ и рассматривать их проекции как алгебраические величины.
...
Они говорили о проекции вектора как о числовой величине - открытым текстом.

Вы не заметили просто, почему на этом месте все участники данного разъясния остановились в своих возражениях. Этот вариант трактовки авторов из МФТИ уже рассматривался. Простой вопрос: покажите вектор перемещения на рисунке 1.3.1 и его проекцию на ось $OX$.

PapaKarlo в сообщении #226712 писал(а):

нулевой вектор - это "просто" набор из $n$ нулей. Вопрос о физическом смысле такого вектора (как и любого другого, ненулевого) проистекает из того, какой физический смысл придается каждой из $n$ компонент вектора.

Ну и какой же физический смысл компоненты вектора, которая ""просто" набор из $n$ нулей."? И каков физический смысл каждого из нулей в наборе?

--------------------------------------------

Так что там с нашим главным тезисом обсуждения, перемещение может быть отрицательным? ;)
Продолжать отвечать на Ваше последнее сообщение, или Вы его будете сначала его редактировать, учитывая Ландсберга?