Найти целочисленные решения уравнения с 2-мя неизвестными

[Nikolaevich]

Здравствуйте, вот уже который день решаю, и все никак не могу решить следующую задачку:

Найти все пары целых чисел (a; b), удовлетворяющих уравнению:

$a^2b^2 + a^2 + b^2 = 2004$

В нотации к задачке сказано, что она предназначена для учащихся 6-10 классов, но, судя по всему, какой-то повышенной сложности.

Методом перебора на компьютере нашел, что пар, удовлетворяющих уравнению две: (2, 20) и (20, 2), но как их вывести аналитически...

Пробовал раскладывать на множители, рассматривать как уравнение сферы (!!), но результатов не добился. Может хотя бы подскажите, куда "копать"? Просто уже даже нет мыслей.

[ИСН]

$(a^2+1)(b^2+1)=2005$ и перебор по всем делителям - задача вполне ручная.

[TOTAL]

Nikolaevich в сообщении #226820 писал(а):

Может хотя бы подскажите, куда "копать"? Просто уже даже нет мыслей.

$2005=?$ -- копайте.

[vvvv]

Копать-то нечего
2005=5*401,(2^2+1)*(20^2+1)=2005, a=2, b=20

[age]

Nikolaevich
Здесь следует воспользоваться тождеством:
$a^2+a^2b^2+b^2=(a^2+1)(b^2+1)-1$.
Тогда $(a^2+1)(b^2+1)-1=2004$ или
$(a^2+1)(b^2+1)=2005$
Т.к. число 2005 факторизуется единственным образом:
$2005=401\cdot5$, то
$a^2+1=401$
$b^2+1=5$
Откуда
$a=20$
$b=2$
Других решений нет.

[meduza]

vvvv, age
Дали бы парню самому порешать. Он же только подсказку просил...

[vvvv]

Да уж больно долго он копал

[H14sk]

"пары целых чисел" +-

[vvvv]

Несомненно, важное уточнение

[Nikolaevich]

Всем большое спасибо, про 2005, что раскладывается только на 401 и 5, никогда бы не задумался... Пора заново учить арифметику