Шары в коробке

[igor2103]

Привет!
Решаю следующую задачу из международной олимпиады школьников по математике.

Цитата:

Какое максимальное количество шаров диаметра 1 можно уложить в коробку размерами 10х10х1?

Сначала подумал, что в ответе 100. Но это неправильный ответ.
Потом, подумал, что, если крышка коробки не закрыта, а, вернее, ее просто
нет?И смысл задачи сводится к построению "горки" из шариков до последнего.

Порядок действий таков:
первый уровень - 10 на 10 шариков.
второй уровень - 9 на 9 шариков.
и так далее до...
9 уровень - 2 на 2 шарика.
10 уровень - 1 шарик.

Ответ получается -385 шариков.
Но он тоже неправильный.
В чем я ошибаюсь? Как решить эту задачу?

[anja]

а какой ответ считается правильным?

[igor2103]

http://www.diofant.ru/problem/548/

Это ссылка на задачу.
Ответ не известен))

Еще пробовал ставить 11 на 11 шаров на второй уровень, но тоже не так((

[anja]

гм... но если размеры корочки заданы 3-х мерные, то все-таки наверное она типа с крышкой, т.е. помещать надо в эти размеры, иначе зачем указывать это 1?! с толку сбить? вряд ли, я думаю.
Если плотно класть шары по диагонали, получается 61, но это меньше 100.

-- Пн июл 06, 2009 02:49:35 --

да, а их можно на кусочки резать? или ногами утаптывать?

-- Пн июл 06, 2009 03:30:21 --

А, дошло! 105, верно?
Кладутся первые 10 шаров, следующие 9 в точности касаются с шарами из 1-го ряда, всего - 11 рядов, 6 - по 10, 5 - по 9, итого - 105, но я не знаю, как доказать, что нельзя больше.

[igor2103]

Да вот, походу, неправильно.
Я указал ссылку... на сайте проверяют ответ...
Уже кучу вариантов перебробовал, но все равно не то.
Не знаю, может ошибка в проверочной системе???

Мой ответ пока что - 385. Делаем пирамиду до последнего шарика...
Буду благодарен человеку, который сможет решить и доказать ,что его ответ единственно правилен))

[EtCetera]

Как минимум 105 (если укладывать шары шестиугольной мозаикой; получится 11 рядов по 9-10 шаров в каждом). Но за последним рядом остается еще достаточно места, чтобы, перетасовав шары последнего ряда, "втиснуть" туда еще несколько шаров (сколько - не знаю).

[venco]

Высота не зря задана.
В прямоугольник 8х10 вмещаются 5 рядов по 10 и между ними 4 ряда по 9 в гексагональной упаковке. Плюс ещё 2 ряда по 10.
Всего - 106.

[ewert]

EtCetera в сообщении #226763 писал(а):

Как минимум 105 (если укладывать шары шестиугольной мозаикой; получится 11 рядов по 9-10 шаров в каждом). Но за последним рядом остается еще достаточно места, чтобы, перетасовав шары последнего ряда, "втиснуть" туда еще несколько шаров (сколько - не знаю).

Как минимум 106: запаса хватит, чтобы один ряд по 9 превратить в по 10, а вот дальше ресурсов вроде не видать.

[vlad239]

Пара мыслей.

Рассмотрим сечение коробки на высоте $0.5$. Каждый шар там дает круг диаметра 1. Поэтому из соображений площади получим $\frac{n\pi}{4}<100, n\le 127$.

Это слишком грубая оценка.
Рассмотрим для каждого шара те шары, которые его "окружают". в срединной плоскости рассмотрим радикальную ось шара и каждого его соседа. Эти радикальные оси образуют выпуклый многоугольник, содержащий наш круг. и не пересекающийся с другими кругами. Интуитивно очевидно (но доказывать мерзко наверняка), что оптимальный вариант - шесть шаров касаются нашего. Получаем правильный шестиугольник с радиусом вписанной окружности $\frac{1}{2}$, его площадь $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это дает оценку 115.

Наконец, следует проделать аналог этой операции с краями - у краев много пустого места.

Влад.

[igor2103]

Да, все понял. В высоту я пробовал но ошибся, посчитал , как 105)
Спасибо))

[anja]

правильный ответ - 106, без доказательства

[Профессор Снэйп]

Интересно, имеет ли эта задача экспериментальное решение?

Что будет, если накидать шары в большую коробку и долго её трясти. Сложатся ли шары сами в оптимальную конфигурацию?

[EtCetera]

ewert

ewert в сообщении #226773 писал(а):

Как минимум 106: запаса хватит, чтобы один ряд по 9 превратить в по 10, а вот дальше ресурсов вроде не видать.

Спасибо, ewert, большое! Сомневался, "влезет" ли еще... Вы развеяли мои сомнения. Благодаря Вам я 23-й в рейтинге.
to all
Кстати, этот сайт очень неплохой. Хотя большинство задач вполне себе школьного уровня, среди них довольно высокий процент "свеженьких" (правда, попадаются и "давно забытые старые"), т.е. тех, которые не кочуют долгие годы из одного сборника "Занимательных задач" в другой. Может быть нам открыть тему по обсуждению некоторых из них?