аддитивные функции

[Руст]

1. Докажите, что существуют бесконечно много функций $f:R\to R $ удовлетворяющие условиям: $f(x+y)=f(x)+f(y),f(z)f(\frac 1z )=1,z\not =0.$
2. Докажите, что существует единственная функция: $f:R_+ \to R_+ $, удовлетворяющая этим условиям.

[evgeny]

Решение 2 ничем не отличается от стандартного
$f(1)=1,\qquad f(nx)=nf(x)$ следовательно $f(x)=x, x \in {\mathbb Q_+}$
Т.к. $f(x_1)<f(x_2)<f(x_3)$ при $x_1<x_2<x_3$, то $f(x)=x, x \in {\mathbb R_+}$

в качестве примеров для 1 можно взять продолжение сопряжения в ${\mathbb Q}[\sqrt{d}]$:
${\mathbb R} \cong D_p\oplus {\mathbb Q}\sqrt{p}$
$x = d + q\sqrt{p},\quad f_p(x)=d - q\sqrt{p}$

[Руст]

Всё верно. Для 2 и без второго условия получается, что функция линейная. Второе условие требуется только для определения коэффициента перед х.
Для 1. осталось проверить, что при таком продолжении через базис Гамеля не нарушается второе условие, что легко проделать.

[er]

еще любопытная задачка:

3. Докажите, что существует единственная измеримая функция: $f:R \to R $, удовлетворяющая этим условиям.

и связанная с задачей 2

4. доказать, что биективное отображение плоскости на себя, которое переводит прямые в прямые, является афинным изоморфизмом.

[Руст]

3.Я предложил задачи без условия непрерывности. А измеримость, почти содержит условие непрерывности (можно проинтегрировать и записать условие для этой непрерывной функции). Что касается 2 это уже частный случай, так как там нет даже измеримости.
4. Из этих условий легко получается линейность отображения.

[er]

Руст писал(а):

3.Я предложил задачи без условия непрерывности.

это понятно

Руст писал(а):

А измеримость, почти содержит условие непрерывности

для непрерывных совсем просто. Немного посложнее

5. Докажите, что существует единственная функция: $f:R \to R $, удовлетворяющая этим условиям, ограниченная на любом ограниченном множестве.

Руст писал(а):

(можно проинтегрировать и записать условие для этой непрерывной функции).

Проинтегрировать нельзя. Функция не обязательно ограниченна. Можно проинтегрировать $\sin(f)$ и таким образом получить решение, но это не самое простое решение.

Кстати как решать

6. Докажите, что существует единственная функция: $f:R \to R $, удовлетворяющая этим условиям, ограниченная на некотором множестве положительной меры.

я так и не посмотрел

на эту тему в этом форуме было уже обсуждение Гомоморфизмы группы вещественных чисел в себя

[er]

На эту же тему

7. Доказать, что существует единственный изоморфизм поля $R$ на себя.

Главная сложность, додуматся, что эта задача сводится к 2.

[Руст]

Оказывается я ошибся. На самом деле решением первой задачи является всего два решения f(x)=x и f(x)=-x. Приведу это доказательство. Из z=1 и второго условия получаем f(1)=a=+-1. Соответственно из аддитивности для любого r f(r)=ar. Рассмотрим произвольное число х и тождество: $\frac{2}{1-x^2}=\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1+x}$
Из второго свойства получаем:

$$\frac{2}{a-f(x^2)}=\frac{1}{a-f(x)}+\frac{1}{a+f(x)}=\frac{2}{a-af^2(x)}.$$

Если знаменатель случайно равен 0, то вместо х можно поставить 2x. Это даёт
$f(x^2)=af^2(x).$
Так как любое положительное число квадрат некоторого числа, то f принимает положительные значения при положительном ааргументе (а=1) или отрицательное значение при положительном аргументе (a=-1). Из доказанного 2 отсюда следует, что имеется только два варианта. Для изоморфизма R легко опровергается а=-1. Поэтому доказанное утверждение гораздо сильнее всех предложенных er.