Геометрический вывод ПЛ.

[Munin]

AlexNew в сообщении #226378 писал(а):

мне тоже кажется что разработка аксиоматики теории является важной,
важно знать что можно положить в качестве аксиом (постулатов) а что будет следствием.

Вы математики не знаете? Не в курсе, что можно выбрать теоремы в качестве аксиом, тогда прежние аксиомы будут следствием новых?

AlexNew в сообщении #226378 писал(а):

Если проверяются следствия необходимо выделить круг теорий которые проходят подобную проверку.

Это делается.

[nestoklon]

igorelki в сообщении #226398 писал(а):

Хорошо, тогда куда (к какой метрике) Вы разместите инвариант трех произвольно расположеных точек? Этот инвариант описывает площадь и образует унимодулярную группу. Вот Вам конкретный вопрос, жду конкретного ответа.

Перефразируйте вопрос, пожалуйста. На мой взгляд он не имеет смысла. Я-то имел в виду простую вещь. Что для того чтобы быть расстоянием, функции координат двух точек надо удовлетворять нескольким условиям. Что опять же несколько ограничивает нашу фантазию.

igorelki в сообщении #226398 писал(а):

Как Вы определите прямую? Вы даже не поймете, какой геометрией она описывается, а выражения типа: "точки" это и есть четвёрки чисел в некой изначально выбранной ИСО" - даже больше не вспоминайте.

Для того, чтобы определить прямую, вообще говоря, достаточно операции "сдвиг". Берём точку и сдвигаем её до потери пульса. Получается прямая.

[igorelki]

nestoklon в сообщении #226084 писал(а):

Вам вместо "инвариант" надо было писать "расстояние" (или "метрика"). Под инвариантом понимается то, что не меняется при каких-либо преобразованиях (которые не обязаны образовывать группу, кстати).

Это Ваша цитата. Я Вам и пишу, что есть пространства без метрики. Если рассмотреть пространство описываемое геометрией на базе инварианта трех точек, то там метрики нет. Этот инвариант задает унимодулярную группу у которой только сохранение площади.
Инвариантов много и, действительно, не все образуют группу. Образует группу только основной инвариант, т.е. такой из которго можно получить для данного пространства все остальные.
Например, из инварианта трех точек (если он основной для данного пространства) Вы не получите инварианта двух точек.
По-поводу сдвига: а если Вы получите кривую, а не прямую - как Вы узнаете?

[nestoklon]

igorelki в сообщении #226516 писал(а):

Инвариантов много и, действительно, не все образуют группу. Образует группу только основной инвариант, т.е. такой из которго можно получить для данного пространства все остальные.

Инвариант не может образовывать группу. Инвариант -- это функция. Группа -- это группа. Как правило, группу образуют преобразования.

Пространства без метрики -- это очень плохие пространства. Такими физики не занимаются.

igorelki в сообщении #226516 писал(а):

а если Вы получите кривую, а не прямую - как Вы узнаете?

Я найду такие "прямые", которые пересекутся два раза. Или каким-нибудь другим способом покажу невыполнение пятого постулата Евклида.

[Munin]

nestoklon в сообщении #226540 писал(а):

Пространства без метрики -- это очень плохие пространства. Такими физики не занимаются.

Занимаются, но не в смысле моделей нашего пространства-времени. Например, пространство координат давление-температура, и даже фазовое пространство - оно тоже не метрическое. К сожалению, и пространство состояний квантовой системы в общем случае неметрическое...

igorelki в сообщении #226516 писал(а):

По-поводу сдвига: а если Вы получите кривую, а не прямую - как Вы узнаете?

Это будет нормально: в такой геометрии такие линии будут называться прямыми. Задание конкретной операции сдвига (точнее, аффинной связности) будет эквивалентно определению того, что в данной геометрии является прямыми.

[ИгорЪ]

Munin в сообщении #226552 писал(а):

Занимаются, но не в смысле моделей нашего пространства-времени.

А как же пространство-время Галилея, вы меня упорно убеждали что тма метрики нет!

[Munin]

ИгорЪ в сообщении #226554 писал(а):

А как же пространство-время Галилея, вы меня упорно убеждали что тма метрики нет!

Уговорили. И оно тоже. Но в пространстве при этом метрика есть, то есть это конструкция, включающая в себя метрические пространства.

[nestoklon]

Munin в сообщении #226552 писал(а):

даже фазовое пространство - оно тоже не метрическое. К сожалению, и пространство состояний квантовой системы в общем случае неметрическое...

Это как? Что, я уже в фазовом пространстве расстояние определить не могу? Могу конечно. Другое дело, что оно непосредственного физического смысла иметь не будет. Но оно будет задавать топологию (интересно ведь бывает, с одной дыркой фазовый портрет или с двумя) и прочее и прочее.

[Munin]

nestoklon в сообщении #226571 писал(а):

Это как? Что, я уже в фазовом пространстве расстояние определить не могу? Могу конечно.

Вдоль некоторых линий :-)

nestoklon в сообщении #226571 писал(а):

Но оно будет задавать топологию

Топологию там задаёт не метрика, а симплектическая структура, вроде бы.

[nestoklon]

Munin в сообщении #226594 писал(а):

Топологию там задаёт не метрика, а симплектическая структура, вроде бы.

Вы усложняете без необходимости. Разница несущественна. Так же как несущественна разница между $\mathbb{C}$ и $\mathbb{R}^2$ до тех пор пока мы не решим задаться вопросом, что такое производная функции. Хотя вопрос хороший.
Да, про пространство состояний я не ответил -- оно не только метрическое. Там даже скалярное произведение есть. Скалярное произведение порождает норму, норма порождает метрику.

А вот что интервал -- это строго говоря не метрика, а псевдометрика, могли бы и поправить.

[igorelki]

nestoklon в сообщении #226540 писал(а):

Я найду такие "прямые", которые пересекутся два раза. Или каким-нибудь другим способом покажу невыполнение пятого постулата Евклида

Во-первых, он уже давно не пятый, а двадцатый.
Во-вторых, почему Вы счимаете, что кривые должны пересечься два раза?
Например, с точки зрения Евклидовой геометрии прямые геометрии Лобачевского - кривые. Эта геметрия ни чем не хуже (это доказано). Интересно как Вы будете различать "кривые" геомерии Лобачевсого от "прямых" Евклида?

nestoklon в сообщении #226540 писал(а):

Инвариант не может образовывать группу. Инвариант -- это функция. Группа -- это группа. Как правило, группу образуют преобразования

Хорошо, если вам не нравится слово "образовывать", то будем употреблять слово определяет.
А по поводу преобразований Вы бы хоть что-то почитали: все преобразования получают из инвариантов (даже в том же СТО).
Неужели Вы не помните, что в СТО идет проверка правилиности преобразований путем подстановки в инвариант.
Заметим, что сами, то Вы используете слово "образуют", а что преобразования это не функции?
Почитайтайте терию групп, начало:
http://lib.e-science.ru/book/143/page/429.html

nestoklon в сообщении #226540 писал(а):

Пространства без метрики -- это очень плохие пространства. Такими физики не занимаются

А я и не говорю, что ими надо заниматься, говорю, что они есть. А чтобы получить хорошее пространство его соответсвующим образом необходимо определить.

-- Вс июл 05, 2009 15:33:42 --

nestoklon в сообщении #226605 писал(а):

А вот что интервал -- это строго говоря не метрика, а псевдометрика, могли бы и поправить.

Евклидовы пространства отличаются индексом. Индекс это число отрицательных членов у интервала. Принято назавать пространство с индексом=0 - собственным Евклидовым, с индексом больше 0 - псевдоевклидовым. На самом деле они все Евклидовы, с нормальной метрикой.

[Mark1]

Вклад психологии в математику:
.

igorelki в сообщении #226638 писал(а):

[quote="nestoklon в [url=http://dxdy.ru/post226605.html#p226605] Евклидовы пространства отличаются индексом. .....На самом деле они все Евклидовы, с нормальной метрикой.

Так, конечно, говорят. Но исторически евклидово пространство (индекс=0 ) было до того, как были открыты псевдоевклидовы пространства, метрику которых назвать «нормальной» - это означает общему присвоить имя частного. Это примерно тоже, что сказать «среди людей различают кроманьонцев и снежных людей, и те и другие нормальные люди, похожие по форме своего тела, но с качественными различиями». При этом про этих снежных людей, следуя Минковскому, надо сделать оговорку, что «у них голова и тело сами по себе являются фикцией, а только некоторое их сочетание сохраняет самостоятельность».

[Munin]

nestoklon в сообщении #226605 писал(а):

Вы усложняете без необходимости. Разница несущественна.

Ну, если вы требуете от igorelki строгого выполнения аксиом метрики, не годятся поблажки на других фронтах. Хотя, может быть, я ваш диалог неправильно понял.

nestoklon в сообщении #226605 писал(а):

Да, про пространство состояний я не ответил -- оно не только метрическое. Там даже скалярное произведение есть. Скалярное произведение порождает норму, норма порождает метрику.

Только вот, как я слышал, скалярное произведение там не задано на всём множестве пар. Физики это обходят - им проблемные области "не интересны" - а математики морщатся.

igorelki в сообщении #226638 писал(а):

А по поводу преобразований Вы бы хоть что-то почитали: все преобразования получают из инвариантов (даже в том же СТО).

Будьте слегка повежливей. Из инвариантов можно получать преобразования, когда инвариантов известен полный набор. Иначе можно двигаться только в другую сторону. И перестаньте молиться на один учебник (Ефимова), лучше сами познакомьтесь с другой литературой.

[ewert]

Munin в сообщении #226660 писал(а):

скалярное произведение там не задано на всём множестве пар. Физики это обходят - им проблемные области "не интересны" - а математики морщатся.

На всём множестве пар. Это просто квантовомеханическая аксиома. Там иногда проблема другая возникает: является ли полным само пространство состояний в данной модели. И тогда скорее физики на математиков морщатся: ну что вы привязались, мол -- надо вам, вы и доказывайте, а мы и безо всяких доказательств верим, что полнота есть. Тоже выход, но -- чреватый возможной потерей каких-то каналов взаимодействия.

[igorelki]

Munin в сообщении #226660 писал(а):

Из инвариантов можно получать преобразования, когда инвариантов известен полный набор.

Что-то не совсем понял - разве не достаточно одного - основного инварианта, ведь из него можно получить полный набор всех остальных?