Об умножении форм и "вежливости" Petern1

[grisania]

Об умножении форм и "вежливости" Petern1

В начальном посте темы "Фундаментальные свойства степеней"
http://dxdy.ru/topic18275.html?hilit=Petern1
Petern1 пишет

Petern1 в сообщении #167981 писал(а):

Работая над теоремами П. Ферма, я обнаружил важные свойства степеней целых чисел. Прошу участников форума высказать свои суждения об их актуальности, новизне. Могут ли они представить интерес для теории чисел? Из-за большого объема пришлось излагать очень кратко, в основном результаты . Но я могу дать полные выкладки и пояснения всем, кто проявит интерес к изложенным вопросам.
--------------------------------------------
3). Числа вида $a^2+ab+b^2$ , $a^2-ab+b^2$
Этим числам так же присуще свойство перемножения, так что произведение этих чисел всегда равно числам такого и только такого вида. Полное изложение заняло бы слишком много места, поэтому приведем лишь:
Формулы умножения
$a=a_1a_2+b_1b_2-a_1b_2$ $[16_a]$,
$b=a_2b_1-a_1b_2$ $[16_b]$
$a=a_1a_2-b_1b_2$ $[17_a]$,
$b=a_1a_2-a_1b_2-a_2b_1$ $[17_b]$
----------------------------------------------
Для тех участников форума кто этим заинтересуется, я могу представить полную инфор. о причудливых свойствах этих чисел.
--------------------------------------------
Обращение к участникам форума. Здесь я разместил в основном результаты, без выкладок и пояснений, так как полный материал занимает порядка 40 страниц. Любому кто заинтересуется отдельными вопросами я представлю выводы и пояснения. С уважением Petern1.

Мне не понято, что здесь перемножается - две формы $a^2+ab+b^2$ , $a^2-ab+b^2$ или каждая форма в отдельности. Если перемножается каждая форма в отдельности, то формулы
$a=a_1a_2+b_1b_2-a_1b_2$ $[16_a]$, $b=a_2b_1-a_1b_2$ $[16_b]$
$a=a_1a_2-b_1b_2$ $[17_a]$, $b=a_1a_2-a_1b_2-a_2b_1$ $[17_b]$
Неверны.
Я буду пользоваться обозначениями ${{a}_{1}}=a$, ${{b}_{1}}=b$, ${{a}_{2}}=c$, ${{b}_{2}}=d$, $A=a$,$B=b$. Согласно им верны такие формулы
$A=-ad-bc-bd$,
$B=ac+ad+bc$
или
$A=ad+ac+bd$,
$B=-bc-ac-bd$
Следовательно,
$\left({{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}} \right)\left( {{c}^{2}}+cd+{{d}^{2}} \right)={{\left( -ad-bc-bd \right)}^{2}}+\left( -ad-bc-bd \right)\left( ac+ad+bc \right)+{{\left( ac+ad+bc \right)}^{2}}$
или
$\left( {{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}} \right)\left( {{c}^{2}}+cd+{{d}^{2}} \right)={{\left( ad+ac+bd \right)}^{2}}+\left( ad+ac+bd \right)\left( -bc-ac-bd \right)+{{\left( -bc-ac-bd \right)}^{2}}$
Я написал Petern1 в личку прислать мне вывод его формул, но ответа не получил, хотя он сам пишет, что будет рад прислать каждому их вывод, но мне почему-то не шлет.
Вывод моих формул несложен, если пользоваться фактом, что форма $a^2+ab+b^2$ при помощи преобразований
$a=y+x,\quad b=y-x$
приводится к виду ${{x}^{2}}+3{{y}^{2}}$ и обратно при помощи преобразований
$x={\left( a-b \right)}/{2}\;,\quad y={\left( a+b \right)}/{2}\;$.
Затем используются равенства
$\left( {{x}^{2}}+3{{y}^{2}} \right)\left( {{z}^{2}}+3{{t}^{2}} \right)={{\left( xz\pm 3yt \right)}^{2}}+3{{\left( xt\mp yz \right)}^{2}}$
${{X}^{2}}+3{{Y}^{2}}={{\left( \frac{A-B}{2} \right)}^{2}}+3{{\left( \frac{A+B}{2} \right)}^{2}}={{A}^{2}}+AB+{{B}^{2}}$
Без этого трюка прямой вывод очень затруднителен, путаешься при приведении подобных членов, не знаешь, что добавить или отнять. Было бы интересно нащупать идею прямого вывода.
Аналогично можно выводить формулы для ${{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}}$, используя, что эта форма приводится теми же преобразованиями к виду
$3{{x}^{2}}+{{y}^{2}}$.

Вопрос. Будет ли результат перемножения форм вида
${{a}^{n-1}}+{{a}^{n-2}}b+\cdots +a{{b}^{n-2}}+{{b}^{n-1}}$
или
${{a}^{n-1}}-{{a}^{n-2}}b+\cdots -a{{b}^{n-2}}+{{b}^{n-1}}$
Опять форма такого же вида?
Наверно надо ограничиться, когда $n$ - простое число. Например, для $n=4$ может не выполняться, так как
${{a}^{3}}+{{a}^{2}}b+a{{b}^{2}}+{{b}^{3}}=\left( a+b \right)\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)$
При перемножении квадратичных форм ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}$ все хорошо, но с линейными $\left( a+b \right)$ не очень. Однако строго это не умею доказать.
Вопрос. Я так и не понял у Petern1 доказано, что числа
$a+b$, ${{a}^{n-1}}-{{a}^{n-2}}b+\cdots -a{{b}^{n-2}}+{{b}^{n-1}}$
взаимно простые при взаимно простых $a,b$ и при простом $n$
Аналогичный вопрос можно ставить для чисел
$a-b$, ${{a}^{n-1}}+{{a}^{n-2}}b+\cdots +a{{b}^{n-2}}+{{b}^{n-1}}$.

[Бодигрим]

Я не вижу разницы между числами, представимыми формами $f(a,b)=a^2+ab+b^2$ и $g(a,b)=a^2-ab+b^2$ над $\mathbb{Z}$. Очевидно, что если $n=f(a,b)$, то $n=g(a,-b)=g(-a,b)$. Поэтому ваш вопрос "здесь перемножаются две формы или каждая форма в отдельности?" не существенен и ответ на него влияет лишь на знаки коэффициентов, но не на качественный результат.

Вы выше утверждаете, что $f(a,b)f(c,d)=f(-(a d + b c + b d), a c + a d + b c)$. Это верно.

-- 14:49 21.06.2009 --

И аккуратнее с терминами: обычно форма - это некоторый однородный многочлен с данными коэффициентами. Поэтому говорить "произведение двух форм одного вида есть форма того же вида" нехорошо. Ибо произведение двух форм - это форма вдвое большей степени, которая никоим образом не является "формой того же вида". Лучше говорить: "произведение чисел, представимых некоторой формой, также представимо этой формой" или что-то в этом духе.

Теперь к вашему первому вопросу. А что у вас не получается с линейными формами? Линейной формой вида $f(a,b)=a+b$ представимо вообще любое целое число. Поэтому и их произведение будет представимо этой же формой при некоторых значениях аргументов формы.

-- 15:05 21.06.2009 --

Ответ на ваш первый вопрос отрицателен. Существуют формы предложенного вида такие, что произведение представимых ними чисел уже не представимо этой формой.

Возьмем, например, при простом $n=5$ форму $f(a,b)=a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4$. Ясно, что $f(1,1)=5$. Но $f(1,1)f(1,1)=25$, а это число нельзя представить предложенной формой. В этом легко убедиться перебором малых значений $a$ и $b$. Отсюда сразу следует несуществование полиномиального тождества вида $f(a,b)f(c,d)=f(\ldots,\ldots)$.

[bot]

Зачем множить темы? Вроде бы та тема не закрыта. А при чём здесь вежливость?

[grisania]

Бодигрим в сообщении #223699 писал(а):

Я не вижу разницы между числами, представимыми формами $f(a,b)=a^2+ab+b^2$ и $g(a,b)=a^2-ab+b^2$ над $\mathbb{Z}$. Очевидно, что если $n=f(a,b)$, то $n=g(a,-b)=g(-a,b)$. Поэтому ваш вопрос "здесь перемножаются две формы или каждая форма в отдельности?" не существенен и ответ на него влияет лишь на знаки коэффициентов, но не на качественный результат.

Вы выше утверждаете, что $f(a,b)f(c,d)=f(-(a d + b c + b d), a c + a d + b c)$. Это верно.

Разница между $f(a,b)=a^2+ab+b^2$ и $g(a,b)=a^2-ab+b^2$ будет существенная, если ввести понятие равенства форм. Считать, что ${{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}$ и ${{c}^{2}}+cd+{{d}^{2}}$ равны, если $a=c$ и $b=d$.

Бодигрим в #p223699 писал(а):

И аккуратнее с терминами: обычно форма - это некоторый однородный многочлен с данными коэффициентами. Поэтому говорить "произведение двух форм одного вида есть форма того же вида" нехорошо. Ибо произведение двух форм - это форма вдвое большей степени, которая никоим образом не является "формой того же вида". Лучше говорить: "произведение чисел, представимых некоторой формой, также представимо этой формой" или что-то в этом духе.

Числа и формы вещь разные. Может нарушаться коммутативность. Например, если ввести умножение форм по правилам
$\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\left( {{c}^{2}}+{{d}^{2}} \right)={{\left( ac-bd \right)}^{2}}+{{\left( ad+bc \right)}^{2}}$ (1)
$\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\left( {{c}^{2}}+{{d}^{2}} \right)={{\left( ac+bd \right)}^{2}}+{{\left( ad-bc \right)}^{2}}$ (2)
Тогда умножение форм по правилу (1) коммутативно и ассоциативно, а правилу (2) нет.
Аналогично и для форм вида $f(a,b)=a^2+ab+b^2$. По одному правилу коммутативно и ассоциативно, а по другому нет.
Также при перемножении форм важен порядок следования компонент. Например,
$\left( {{4}^{2}}+{{3}^{2}} \right)\left( {{12}^{2}}+{{5}^{2}} \right)={{\left( 4\cdot 12-3\cdot 5 \right)}^{2}}+{{\left( 4\cdot 5+3\cdot 12 \right)}^{2}}={{33}^{2}}+{{56}^{2}}$
$\left( {{3}^{2}}+{{4}^{2}} \right)\left( {{12}^{2}}+{{5}^{2}} \right)={{\left( 3\cdot 12-4\cdot 5 \right)}^{2}}+{{\left( 3\cdot 5+4\cdot 12 \right)}^{2}}={{16}^{2}}+{{63}^{2}}$

Бодигрим в #p223699 писал(а):

Теперь к вашему первому вопросу. А что у вас не получается с линейными формами? Линейной формой вида $f(a,b)=a+b$ представимо вообще любое целое число. Поэтому и их произведение будет представимо этой же формой при некоторых значениях аргументов формы.

Это понятно. Просто я хотел сказать, что линейные формы и квадратичные удовлетворяют по отдельности свойству, что их произведение опять будет форма такого же вида, а форма равная произведению линейной формы на квадратичную этому не удовлетворяет.

Бодигрим в #p223699 писал(а):

Ответ на ваш первый вопрос отрицателен. Существуют формы предложенного вида такие, что произведение представимых ними чисел уже не представимо этой формой.

Возьмем, например, при простом $n=5$ форму $f(a,b)=a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4$. Ясно, что $f(1,1)=5$. Но $f(1,1)f(1,1)=25$, а это число нельзя представить предложенной формой. В этом легко убедиться перебором малых значений $a$ и $b$. Отсюда сразу следует несуществование полиномиального тождества вида $f(a,b)f(c,d)=f(\ldots,\ldots)$.

Спасибо за ответ. Но мне кажется, что можно как то выкрутится. Пусть $a,b$ - разной четности, положим $2x=a-b$, $2y=a+b$ или $a=x+y$,$b=y-x$. Тогда форма $a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4$ линейным пребразоанием преобразуется в форму ${{x}^{4}}+10{{x}^{2}}{{y}^{2}}+5{{y}^{4}}$, т.е. имеем как бы квадратичную форму.

[Бодигрим]

grisania в сообщении #223787 писал(а):

Разница между $f(a,b)=a^2+ab+b^2$ и $g(a,b)=a^2-ab+b^2$ будет существенная, если ввести понятие равенства форм. Считать, что ${{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}$ и ${{c}^{2}}+cd+{{d}^{2}}$ равны, если $a=c$ и $b=d$.

Хм. "Ввести понятие равенства". Ну так никто и не отрицает того, что как многочлены формы $f$ и $g$ различны.

grisania в сообщении #223787 писал(а):

Например, если ввести умножение форм по правилам
$\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\left( {{c}^{2}}+{{d}^{2}} \right)={{\left( ac-bd \right)}^{2}}+{{\left( ad+bc \right)}^{2}}$ (1)
$\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\left( {{c}^{2}}+{{d}^{2}} \right)={{\left( ac+bd \right)}^{2}}+{{\left( ad-bc \right)}^{2}}$ (2)

Стоп, я не вижу здесь корректного определения умножения форм как алгебраической операции. Я вижу формулы для произведения целого числа, представимого формой $x^2+y^2$ при $x=a$, $y=b$, на число, представимое той же формой при $x=c$, $y=d$. Ну, формулы как формулы - их значения совпадают в любой подстановке.

Где у вас здесь задание операции произведения форм? Я так понимаю, что она должна принимать в качестве аргументов две произвольные квадратичные формы двух переменных и возвращать тоже квадратичную форму тоже двух переменных.

Поэтому все дальнейшие разговоры о коммутативности-некоммутативности - лишь пустые слова.

grisania в сообщении #223787 писал(а):

Это понятно. Просто я хотел сказать, что линейные формы и квадратичные удовлетворяют по отдельности свойству, что их произведение опять будет форма такого же вида, а форма равная произведению линейной формы на квадратичную этому не удовлетворяет.

Простите, а какой именно формой вы хотели научиться представлять произведения чисел, первое из которых представимо линейной, а второе - квадратичной формами? Линейной или квадратичной?

grisania в сообщении #223787 писал(а):

Спасибо за ответ. Но мне кажется, что можно как то выкрутится. Пусть $a,b$ - разной четности, положим $2x=a-b$, $2y=a+b$ или $a=x+y$,$b=y-x$. Тогда форма $a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4$ линейным пребразоанием преобразуется в форму ${{x}^{4}}+10{{x}^{2}}{{y}^{2}}+5{{y}^{4}}$, т.е. имеем как бы квадратичную форму. :D

Получившаяся биквадратичная форма отнюдь не представляет то же множество целых чисел, что и квадратичная форма $x^2+xy+y^2$. Подумайте, почему.

А вообще это нехороший симптом: на конкретный численный контрпример отвечать теоретическими рассуждениями, доказывающими обратное.

[age]

Бодигрим писал(а):

Получившаяся биквадратичная форма отнюдь не представляет то же множество целых чисел, что и квадратичная форма $x^2+xy+y^2$. Подумайте, почему.

Почему?

[Бодигрим]

Попробуйте представить ей, скажем, $3=1^2+1\cdot1+1^2$.

[grisania]

Бодигрим в сообщении #223793 писал(а):

grisania в сообщении #223787 писал(а):

Например, если ввести умножение форм по правилам
$\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\left( {{c}^{2}}+{{d}^{2}} \right)={{\left( ac-bd \right)}^{2}}+{{\left( ad+bc \right)}^{2}}$ (1)
$\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\left( {{c}^{2}}+{{d}^{2}} \right)={{\left( ac+bd \right)}^{2}}+{{\left( ad-bc \right)}^{2}}$ (2)

Стоп, я не вижу здесь корректного определения умножения форм как алгебраической операции. Я вижу формулы для произведения целого числа, представимого формой $x^2+y^2$ при $x=a$, $y=b$, на число, представимое той же формой при $x=c$, $y=d$. Ну, формулы как формулы - их значения совпадают в любой подстановке.

Где у вас здесь задание операции произведения форм? Я так понимаю, что она должна принимать в качестве аргументов две произвольные квадратичные формы двух переменных и возвращать тоже квадратичную форму тоже двух переменных.

Поэтому все дальнейшие разговоры о коммутативности-некоммутативности - лишь пустые слова.

Умножение двух форм можно понимать как умножение двух специфических функций от двух аргументов. Но можно понимать как умножение чисел, определяемых этими формами.
Определим множество чисел $\mathcal{A}$, которые можно представить квадратичной формой $a^2+b^2$. Можно себе помечать такие числа точками на плоскости, например, как это делается для комплексных чисел.
Заметим, что оно не пусто. Теперь определим на множестве $\mathcal{A}$ понятия равенства чисел, введенного выше и умножение чисел по формулам (1) или (2). Операции умножения (1) или (2) корректно определенны на $\mathcal{A}$, т. е. не выводят из $\mathcal{A}$. Относительно (1) первой операции все ОК - умножение коммутативно и ассоциативно, т. е. как у чисел, а относительно операции (2) нет. Напомню дополнительно, что умножаются не числа, а формы представляемые этими числами. Поэтому, говоря о коммутативности надо проверить равенство
$\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\left( {{c}^{2}}+{{d}^{2}} \right)={{\left( ac-bd \right)}^{2}}+{{\left( ad+bc \right)}^{2}}$
не как равенство перемножения чисел, а как равенство перемножения форм.

Бодигрим в сообщении #223793 писал(а):

grisania в сообщении #223787 писал(а):

Спасибо за ответ. Но мне кажется, что можно как то выкрутится. Пусть $a,b$ - разной четности, положим $2x=a-b$, $2y=a+b$ или $a=x+y$,$b=y-x$. Тогда форма $a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4$ линейным пребразоанием преобразуется в форму ${{x}^{4}}+10{{x}^{2}}{{y}^{2}}+5{{y}^{4}}$, т.е. имеем как бы квадратичную форму.

Получившаяся биквадратичная форма отнюдь не представляет то же множество целых чисел, что и квадратичная форма $x^2+xy+y^2$. Подумайте, почему.

А вообще это нехороший симптом: на конкретный численный контрпример отвечать теоретическими рассуждениями, доказывающими обратное.

Учту замечание.

[Бодигрим]

grisania в сообщении #224938 писал(а):

Умножение двух форм можно понимать как умножение двух специфических функций от двух аргументов. Но можно понимать как умножение чисел, определяемых этими формами.
Определим множество чисел $\mathcal{A}$, которые можно представить квадратичной формой $a^2+b^2$. Можно себе помечать такие числа точками на плоскости, например, как это делается для комплексных чисел.
Заметим, что оно не пусто. Теперь определим на множестве $\mathcal{A}$ понятия равенства чисел, введенного выше и умножение чисел по формулам (1) или (2). Операции умножения (1) или (2) корректно определенны на $\mathcal{A}$, т. е. не выводят из $\mathcal{A}$. Относительно (1) первой операции все ОК - умножение коммутативно и ассоциативно, т. е. как у чисел, а относительно операции (2) нет. Напомню дополнительно, что умножаются не числа, а формы представляемые этими числами. Поэтому, говоря о коммутативности надо проверить равенство
$\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\left( {{c}^{2}}+{{d}^{2}} \right)={{\left( ac-bd \right)}^{2}}+{{\left( ad+bc \right)}^{2}}$
не как равенство перемножения чисел, а как равенство перемножения форм.

Я кажется понял, что вы имеете в виду. Вы вводите множество двухкомпонентных целочисленных векторов $(a,b)\in\mathbb{Z}^2$ и затем определяете на них операцию умножения, индуцированную значениями формы $a^2+b^2$ на них? Да, тогда вы правы.

Кстати, ваше "коммутативное" умножение - это на самом деле просто умножение комплексных целых чисел ("гауссовы целые"), записанное покомпонентно:

$$ (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i. $$

А форма $a^2+b^2$ - норма в этом кольце.

[grisania]

Бодигрим в сообщении #225040 писал(а):

grisania в сообщении #224938 писал(а):

Умножение двух форм можно понимать как умножение двух специфических функций от двух аргументов. Но можно понимать как умножение чисел, определяемых этими формами.
Определим множество чисел $\mathcal{A}$, которые можно представить квадратичной формой $a^2+b^2$. Можно себе помечать такие числа точками на плоскости, например, как это делается для комплексных чисел.
Заметим, что оно не пусто. Теперь определим на множестве $\mathcal{A}$ понятия равенства чисел, введенного выше и умножение чисел по формулам (1) или (2). Операции умножения (1) или (2) корректно определенны на $\mathcal{A}$, т. е. не выводят из $\mathcal{A}$. Относительно (1) первой операции все ОК - умножение коммутативно и ассоциативно, т. е. как у чисел, а относительно операции (2) нет. Напомню дополнительно, что умножаются не числа, а формы представляемые этими числами. Поэтому, говоря о коммутативности надо проверить равенство
$\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\left( {{c}^{2}}+{{d}^{2}} \right)={{\left( ac-bd \right)}^{2}}+{{\left( ad+bc \right)}^{2}}$
не как равенство перемножения чисел, а как равенство перемножения форм.

Я кажется понял, что вы имеете в виду. Вы вводите множество двухкомпонентных целочисленных векторов $(a,b)\in\mathbb{Z}^2$ и затем определяете на них операцию умножения, индуцированную значениями формы $a^2+b^2$ на них? Да, тогда вы правы.

Кстати, ваше "коммутативное" умножение - это на самом деле просто умножение комплексных целых чисел ("гауссовы целые"), записанное покомпонентно:

$$ (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i. $$

А форма $a^2+b^2$ - норма в этом кольце.

Все так, но предположим, что вы не знаете комплексных целых чисел ("гауссовых целых"), тем паче вообще комплексных чисел. И вам надо доказать элементарно теорему Ферма для тройки. Вы, например, преподаете математику в лицее, ведете математический кружок или факультативные занятия в средней школе. Открываете [1] или [2] и приходите в ужас от математического аппарата, поскольку ваши подопечные умеют только складывать и умножать. Что делать?
Мачис в [3] доказал, используя коммутативность перемножения форм
$\left( {{a}^{2}}+3{{b}^{2}} \right)\left( {{c}^{2}}+3{{d}^{2}} \right)={{\left( ac-3bd \right)}^{2}}+3{{\left( ad+bc \right)}^{2}}$,
лемму Эйлера, необходимую для доказательства теоремы Ферма для тройки.
Иногда полезно следовать принципу «Бритва Оккама» – «Не следует привлекать новые сущности без самой крайней на то необходимости», т.е. доказать лемму Эйлера элементарно, умножая формы, а не гауссовы целые. Например, Эйлер начал множить сущности, создавая арифметику чисел вида $a+\sqrt{3}b$, где $a,b$ – целые числа.

[1] Постников М. М. Теорема Ферма. Введение в теорию алгебраических чисел. - М.: Наука, 1978.
[2] Эдвардс Г. Теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел. - М.: Мир, 1980
[3] Ю. Ю. Мачис, “О предполагаемом доказательстве Эйлера”, Матем. заметки, 82:3 (2007), 395–400

[Бодигрим]

grisania в сообщении #226441 писал(а):

Все так, но предположим, что вы не знаете комплексных целых чисел ("гауссовых целых"), тем паче вообще комплексных чисел. И вам надо доказать элементарно теорему Ферма для тройки. Вы, например, преподаете математику в лицее, ведете математический кружок или факультативные занятия в средней школе.

Вообще говоря, мне сложно представить преподавателя математики (хоть штатного, хоть факультативного), который не знает, что такое комплексные числа. В школе, где учился я, комплексные числа вообще изучались в общей программе маткласса. Но это так, к слову.

grisania в сообщении #226441 писал(а):

Иногда полезно следовать принципу «Бритва Оккама» – «Не следует привлекать новые сущности без самой крайней на то необходимости», т.е. доказать лемму Эйлера элементарно, умножая формы, а не гауссовы целые. Например, Эйлер начал множить сущности, создавая арифметику чисел вида $a+\sqrt3 b$, где $a$, $b$ – целые числа.

Вот тут я с вами кардинально несогласен. Я не видел, чтобы разного рода "инвалидные" доказательства (т. е. с ограничениями на средства) привносили что-то новое в математику глобально, большее, чем решение исходной проблемы. Вот дописал бы Ферма на полях свое "элементарное" доказательство - ну, была бы еще одна теорема о диофантовом уравнении специального вида, их и так не мало. А так из попыток доказательства теоремы Ферма выросли огромные пласты математики, вскрывшие новые взаимосвязи и имеющие свои жизнеспособные приложения.

Так вот, с моей точки зрения для математики было бы хуже, если бы Эйлер сумел в своем доказательстве обойтись средствами элементарной теории чисел. Тогда бы алгебраическая теория чисел рисковала бы зародиться позже. А так Эйлер показал красивую идею "откуда оно все на самом деле берется". Эйлер вообще много чего делал "не по правилам", не по стандартам математики своего времени: то ряд расходящийся суммировал, то еще что-то...

[ewert]

Бодигрим в сообщении #226455 писал(а):

Вообще говоря, мне сложно представить преподавателя математики (хоть штатного, хоть факультативного), который не знает, что такое комплексные числа. <...> Вот тут я с вами кардинально несогласен. Я не видел, чтобы разного рода "инвалидные" доказательства (т. е. с ограничениями на средства) привносили что-то новое в математику

Но ведь grisania говорил вроде бы совершенно о лругом -- о попытках доказательства в условиях вынужденного ограничения в средствах (да и времени, кстати). Другой вопрос -- есть ли методический смысл в возне с такими доказательствами...

[Бодигрим]

ewert в сообщении #226460 писал(а):

Но ведь grisania говорил вроде бы совершенно о лругом -- о попытках доказательства в условиях вынужденного ограничения в средствах (да и времени, кстати).

1. Меня в первую очередь зацепила фраза "Например, Эйлер начал множить сущности, создавая арифметику чисел вида..." Я здесь увидел безусловное обвинение Эйлера в введении новых понятий и против этого протестовал в своем сообщении.

2. Мое ИМХО: лучше за то же время на пальцах рассказать школьникам нестрогое доказательство Эйлера с кратким введением в комплексные числа, чем строгое Мачиса. Ибо доказательство Эйлера красивее и идейно богаче. Но это ИМХО. Я на своих кружках в школе ничего серьезнее доказательства Ферма для четвертых степеней бы не рискнул рассказывать.

[grisania]

Бодигрим в сообщении #226462 писал(а):

ewert в сообщении #226460 писал(а):

Но ведь grisania говорил вроде бы совершенно о лругом -- о попытках доказательства в условиях вынужденного ограничения в средствах (да и времени, кстати).

1. Меня в первую очередь зацепила фраза "Например, Эйлер начал множить сущности, создавая арифметику чисел вида..." Я здесь увидел безусловное обвинение Эйлера в введении новых понятий и против этого протестовал в своем сообщении.

Я процитировал принцип "Лезвие Оккама", то есть вы что-то имеете против него? Поэтому, заметим ферматисты пытаются доказать Большую Теорему Ферма элементарно, их не удовлетворяет сущности, созданные Уайлсом для её доказательства. Можно сказать, что ферматисты чтут "Лезвие Оккама" . И их можно понять - доказательство Уайлса - вызов человеческому разуму, тем более, если его понимает до конца сотня математиков, если не меньше. Это очень недемократично , плебс в лице ферматистов его не понимает, а понимают только избранные.
Если бы Эйлер довел бы все до конца, то с его новой сущностью все было ОК. Математика кроме красоты иногда и прикладывается, поэтому элементарное решение какой-нибудь проблемы легче запрограммировать.

Коровьев в сообщении #217851 писал(а):

С трудом верится. Что элементарное в смысле применённого мат.аппарата, то да. Что элементарное для школьников - нет. Иначе - ищи ошибку. Ведь, мильёны фермистов в совершенстве владеющие школьным мат.аппаратом так и не смогли найти доказательства для трёшки.

Получается, что мильёны фермистов и профи математиков просмотрели элементарное доказательство для тройки, поэтому Эйлеру пришлось создавать сложный мат. аппарат. Может также когда-нибудь найдется элементарное доказательство общего случая без супер-пупер сущностей Уайлса. Такое доказательство будет величием человеческого разума и что всё в этой жизни следует Оккаме

Бодигрим в сообщении #226462 писал(а):

2. Мое ИМХО: лучше за то же время на пальцах рассказать школьникам нестрогое доказательство Эйлера с кратким введением в комплексные числа, чем строгое Мачиса. Ибо доказательство Эйлера красивее и идейно богаче. Но это ИМХО. Я на своих кружках в школе ничего серьезнее доказательства Ферма для четвертых степеней бы не рискнул рассказывать.

На пальцах можно рассказывать профи математикам, когда нужно донести быстро идею доказательства, лучше не портить неокрепшие души юных математиков нестрогими доказательствами. Но это ИМХО. Было бы интереснее дать им элементарное и строгое доказательство, и объяснить что заставило Эйлера создавать новые сущности, попутно им сказать о принципе "Лезвие Оккама", что очень полезно знать не только математикам

[age]

grisania
Я бы на подобные сообщения не по существу просто не реагировал. Что касается Petern1, то это действительно, один из самых вежливых и приятных собеседников на форуме. Просто в его собственной теме идет целый "мозговой штурм". Понимаю, как ему тяжело ответить всем.
Попытаюсь вам ответить вместо Petern1.
Итак, формы $a^2+ab+b^2$ и $c^2-cb+b^2$ очень просто преобразуются друг в друга простой заменой переменной $c=a+b$. Поэтому все, что справедливо для одних, справедливо и для других, т.к. это одни и те же формы.
Как выводил Petern1 свои формулы - точно не знаю, но догадываюсь, что методом подбора. По аналогии с $(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac\pm bd)^2+(ad\mp bc)^2$
Хотя, может, также как и вы - заменой переменной.
Что касается форм $n$-ых степеней, то я их тщательно изучал. Для любой формы степени выше двух, тождество неверно. Но возможно. Таким образом, для того, чтобы произведение двух данных форм было также формой данного вида, необходимо решать уравнение. Для степеней три и четыре есть решения:
$(10^3+3^3)(3^3+2^3)=33^3+2^3$
$(14^4+3^4)(6^4+5^4)=92^4+39^4$
Также было найдено решение для неполных форм пятых степеней:
$\dfrac{1^5 + 2^5}{1+2}\cdot\dfrac{6^5 + 7^5}{6+7}=\dfrac{5^5 + 13^5}{5+13}$
Для полных форм степеней выше четырех возможно решений нет вообще. Не знаю.
Числа $a\pm b$ и $a^{n-1}\mp...+b^{n-1}$ могут иметь единственный общий множитель $n$, для простых $n$.