Преобразование матриц

[The74er]

Пожалуйста, помогите доказать, что

$$S(v)*A+A*S(v)=S([Tr(A)*I-A]v),$$

где $S(v)$ - оператор векторного произведения в форме кососимметричной матрицы

$$S(v)=v\times=\left(\begin{array}{ccc}0&-v_3&v_2\\v_3&0&-v_1\\-v_2&v_1&0\end{array}\right),$$

$I$ - единичная матрица;
$A$ - симметричная положительно определенная матрица.
Размерность всех матриц 3х3. По вычислениям все сходится, но не могу догадаться, откуда появляется след матрицы.

[iig]

Для практики можно в маткале или лабе.
Теоретические вопросы в дискуссию.

[The74er]

задачка возникла в процессе приведения матрицы 6х6 к простой форме координатным преобразованием...
в маткаде в цифрах все сходится. мне бы подсказочку, как получается такое преобразование, в каком направлении копать. полагаю, оно не очень сложное, но я упускаю какое-то свойство или правило, на основе которого это сделано

[H14sk]

The74er писал(а):

$SA+AS=S([Tr(A)I-A]v),$
$I$ - единичная матрица;
$A$ - симметричная положительно определенная матрица.

Не очень понятно. Слева обычное произведение кососимметрической и симметрической матриц?
Кососимметрическая матрица: $\[{S^T} = - S\]$
Транспонирование: $\[AS = - {A^T}{S^T} = - {\left( {SA} \right)^T}\] $
То есть, слева, если правильно понял обозначения: $SA-{(SA)^T}$
А вот, что справа?

[The74er]

Левую часть поняли совершенно верно. Сформулирую немного по-другому...
Известны матрица $A$ и вектор $b$, необходимо найти вектор $v$ такой, при котором выполняется условие

$$S(v)*A+A*S(v)=S(b).$$

Ответ известен - это выражение преобразовывается к виду

$$S([Tr(A)*I-A]v)=S(b),$$

откуда можно легко найти вектор $v$

$$v=[Tr(A)*I-A]^{-1}*b$$

Здесь $Tr(A)$ - след матрицы.
Но я что-то упускаю и не могу понять, как из $S(v)*A+A*S(v)$ получили $S([Tr(A)*I-A]v)$

[H14sk]

$S(v)A-{(S(v)A)^T}+S(Av)=Tr(A)S(v)$ вообще-то, если тупо перемножать и складывать матрицы, то считается. Тем более, что видно - главная диагональ нулевая - считать не нужно. В тензорах должно выглядеть как-то так: $\[{e_{isk}}{v_i}{a_{js}} + {e_{isk}}{a_{ji}}{v_s} + {e_{ijk}}{a_{is}}{v_s} = {a_{ss}}{e_{ijk}}{v_i}\]$, но что дальше?