Пару вопросов: по неравенству и упрощению выражения.

[Vanche]

1.)Есть такое неравенство.
$$\frac{x^{\frac 2 3}-16}{x^{\frac 1 3}-4}-x^{\frac 1 3} +4x \geqslant 0$$ \Longleftrightarrow \frac{(x^{\frac 1 3}-4)(x^{\frac 1 3}+4)}{(x^{\frac 1 3}-4)}-x^{\frac 1 3} +4x \geqslant 0 \iff \left \{\begin {matrix} x \geqslant 0,\\x^{\frac 1 3}-4\ne0. \end{matrix}\right\}
Я к сожалению не уловил откуда в ответе взялся x \geqslant 0,
Может быть потому-что нельзя возвести отрицательное число в степень с показателем -x^{\frac 1 3} ? Если так, то я этого не пойму, почему нельзя ?

2). А ниже я не понял как было упрощено данное выражение. Сам этот переход.
$$\frac{x+y}{x^{\frac 2 3}-x^{\frac 1 3}y^{\frac 1 3}+y^{\frac 2 3}}-y^{\frac 1 3}=\frac{(x^{\frac 1 3}+y^{\frac 1 3})(x^{\frac 2 3}-x^{\frac13}y^{\frac 1 3}+y^{\frac 1 3})}{x^{\frac 2 3}-x^{\frac1 3}y^{\frac 1 3}+y^{\frac 1 3}}-y^{\frac 1 3}
Наверняка это просто, но я не вижу. Пожалуйста друзья, напишите стадию решения промежуточную между равенствами. Какие формулы тут использовались тоже интересует. Сама логика решающего.

[H14sk]

Второе понятно: (a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3.
А вот первое... скорее, нужно дополнительное условие "для какого класса задача"?

[ewert]

Vanche в сообщении #226095 писал(а):

1.)Может быть потому-что нельзя возвести отрицательное число в степень с показателем ? Если так, то я этого не пойму, почему нельзя ?

Потому, что некоторые пижоны от математики предпочитают так считать, такое уж у них определение, а зачем предпочитают -- никому не известно.

Vanche в сообщении #226095 писал(а):

2). А ниже я не понял как было упрощено данное выражение. Сам этот переход.

Наверняка это просто, но я не вижу. Пожалуйста друзья, напишите стадию решения промежуточную между равенствами.

Просто вверху стоит сумма кубов соотв. кубических корней. А для суммы кубов есть соотв. формула, вот она и выписана.

[AKM]

Vanche в сообщении #226095 писал(а):

2). А ниже я не понял как было упрощено данное выражение. Сам этот переход.
$$\frac{x+y}{x^{\frac 2 3}-x^{\frac 1 3}y^{\frac 1 3}+y^{\frac 2 3}}-y^{\frac 1 3}=\frac{\color{blue}(x^{\frac 1 3}+y^{\frac 1 3})(x^{\frac 2 3}-x^{\frac13}y^{\frac 1 3}+y^{\frac 1 3})}{x^{\frac 2 3}-x^{\frac1 3}y^{\frac 1 3}+y^{\frac 1 3}}-y^{\frac 1 3}
Наверняка это просто, но я не вижу. Пожалуйста друзья, напишите стадию решения промежуточную между равенствами.

Сходите в обратном порядке --- то, что я выделил синеньким, --- перемножьте, и убедитьесь, что оно есть $x+y$. А как кто-то догадался до этого --- ну увидел неполный квадрат в знаменателе и сказал Вау! ну, попроделывал такие штуки (именно в обратном порядке) и на ус намотал. Ремесло по-разному познаётся.
Собственно, было бы там в числителе $x^3+y^3$, глядишь, и троечник сообразил бы. Здесь надо, увидев $x+y$, допереть, что это ведь тоже что-то в кубе + что-то в кубе --- $\left(x^{1/3}\right)^3+\left(y^{1/3}\right)^3$.

[Vanche]

Круто
А я застопорился потому-что там опечатка в книге по ходу. Вот где я пометил.
Ну ничего, так мне и надо.

Степень надо было писать 2/3 а не 1/3.