Исчезновение несжимаемой жидкости из закрытого сосуда

[shwedka]

Инт в сообщении #225388 писал(а):

Считаем, что элементы (подвижные точки) жидкости движутся вдоль линий тока $\in L$. Несжимаемость жидкости означает, что если в ней выделить произвольный объём (пусть с хорошей границей), то величина объёма не изменится тогда, когда он переместится вдоль линий тока в определённом направлении.

И при этом,
при движении, все точки, находящиеся на одной из поверхностей $A(R)$ , всегда, за заданное время, передвигаются на другую поверхность, этого семейства, скажем,-$A(R')$??
T.e., каждая поверхность семейства переходит в другую??
ответьте, пжлста, !!

да, так и не сказали, что такое $dy$ при фиксированном $dx$ ?

[Инт]

shwedka в сообщении #225396 писал(а):

Инт в сообщении #225388 писал(а):

Считаем, что элементы (подвижные точки) жидкости движутся вдоль линий тока $\in L$. Несжимаемость жидкости означает, что если в ней выделить произвольный объём (пусть с хорошей границей), то величина объёма не изменится тогда, когда он переместится вдоль линий тока в определённом направлении.

И при этом, при движении, все точки, находящиеся на одной из поверхностей $A(R)$ , всегда, за заданное время, передвигаются на другую поверхность, этого семейства, скажем,-$A(R')$??T.e., каждая поверхность семейства переходит в другую??ответьте, пжлста, !!да, так и не сказали, что такое $dy$ при фиксированном $dx$ ?

Не обязательно, чтобы точки, первоначально находящиеся на поверхности $A(R)$ перебежали на другую поверхность такого семейства поверхностей. Скорости могут быть разными. $dy$ это смещение каждой такой точки, расположенной на торце трубки, т.е. на сечении одной из поверхностью $A(R)$, смещение измеряемое вдоль линии тока. Я готовлю детализацию этих расуждений, так что подождите.

[shwedka]

Инт в сообщении #225419 писал(а):

$dy$ это смещение каждой такой точки

А с чего Вы взяли, что для всех таких точек на фиксированной поверхности это смещение одинаково??

Инт в сообщении #225419 писал(а):

Не обязательно, чтобы точки, первоначально находящиеся на поверхности $A(R)$ перебежали на другую поверхность такого семейства поверхностей.

Очень крепко зафиксировано. Интересно, как Вы потом это все с объемами свяжете.

[Инт]

А смещение $dy$ и не одинаково для разных точек. Но не превышает определённой, единой для всех (находящихся в некотором сечении) величины. Остальное, да, крепко зафиксировано.

-- Пн июн 29, 2009 17:39:37 --

CowboyHugges в сообщении #225389 писал(а):

Ну так, а в чём тогда парадокс, какое тогда "просачивание", если у Вас и стенки-то как таковой нет. Естественно если подействовать на жидкость у поверхности силой ("сдвинуть элемент жидкости у основания трубки"), то она с другого конца вероятно вытечет без граничных условий. Правда и тут как замечает Вам г-жа shwedka, Вы почему-то рассматриваете движение жидкости как Вам заблагорассудится, вводя свои функции и линии тока по которым жидкость от чего-то должна двигаться

Как заблагорассудится я движение жидкости не рассматриваю. Что же касается того, что "жидкость вытечет с другого конца" или "просачится" это неверно, так как она сжимается внешним воздействием и вся течёт (по крайне мере так я утверждаю) во внутрь сосуда. Ей нет необходимости просачиваться через стенки сосуда. В этом и эффект. Детальные выводы для упомянутой госпожи готовлю. Почти готов. Ваше сообщение заметил не сразу, поэтому отвечаю с опозданием.

[shwedka]

Инт в сообщении #225457 писал(а):

А смещение $dy$ и не одинаково для разных точек. Но не превышает определённой, единой для всех (находящихся в некотором сечении) величины. Остальное, да, крепко зафиксировано.

Мое 'зафиксировано' означает, что от автора получено четкое выражение позиции,
которое без серьезных оснований поменять не удастся.

Итак, $dy$ теперь это функция (прекрасное обозначениен!!!), зависящая от $R$-и при каждом фиксированном $R$, $dy$-функция на поверхности $A(R)$.

Верю я в то,
что для тех $R$, для которых $dy$ определено на ВСЕЙ поверхности $A(R)$, эта функция ограничена сверху на этой поверхности, но ничего сказать нельзя относительно зависимости этой границы от $R$. По крайней мере, автор ничего на сей предмет не доказал.

Кроме того, не наблюдается доказательства того факта, что функция $dy$ определена для всех положительных $R$. Иначе говоря, не доказано, что поток несжимаемой жидкости, получающийся в результате сдвига начального сечения на $dx$ сможет поместиться в объем, ограниченный поверхностью $A(R)$ и границами выбранной трубки линий тока. Еще, по-другому, отсутствует доказательство неравенства
$dy<R$ на поверхности $A(R)$.

[Инт]

shwedka в сообщении #225634 писал(а):

Мое 'зафиксировано' означает, что от автора получено четкое выражение позиции,
которое без серьезных оснований поменять не удастся.

Дак это же хорошо, что не удастся. Я и не буду менять "зафиксированное", которое понимаю так же.

shwedka в сообщении #225634 писал(а):

но ничего сказать нельзя относительно зависимости этой границы от $R$. По крайней мере, автор ничего на сей предмет не доказал.

Можно сказать. См. теоремы 1 и 2.

shwedka в сообщении #225634 писал(а):

Кроме того, не наблюдается доказательства того факта, что функция $dy$ определена для всех положительных $R$. Иначе говоря, не доказано, что поток несжимаемой жидкости, получающийся в результате сдвига начального сечения на $dx$ сможет поместиться в объем, ограниченный поверхностью $A(R)$ и границами выбранной трубки линий тока.

Ну на самом деле, доказательства без детализации приведены. И это, что Вы сейчас запрашиваете, я и готовлю в более подпробных и, надеюсь ясных доказательствах. Можно в грубом приближении так обозначить мои аргументы по этому поводу (которые, на самом деле изложены, как я считаю, в первом посте): сечение каждой трубки растёт неограниченно, поэтому, из-за сохранения объёма жидкости на достаточно большом сечении смещение $dy$ будет достаточно малым.

shwedka в сообщении #225634 писал(а):

отсутствует доказательство неравенства$dy<R$ на поверхности $A(R)$.

Аналогично, по крайней мере некоторые уже точные аргументы по этому поводу приводились: $dy < r(R) < R$.

-- Вт июн 30, 2009 17:47:43 --

Определения

Пусть $A(s’)$ и $A(s)$ - различные поверхности $\in M$, $s’ < s$. Объём, заключённый между этими поверхностями обозначим как $E(s’, s)$.

Пусть $l$ – произвольная линия, концы которой расположены на поверхностях $A(s’)$ и $A(s)$. Пусть, $a$ - радиус шара Ш($P, a$), центром которого является точка $P \in l$. Этот радиус, считаем, не меняется при переходе от точки к точке линии $l$. Объединение таких шаров, закреплённых за точками линии, в пересечении с $E(s’, s)$, пусть образует некую фигуру, которую обозначим Ф($a, l$). Ф($a, l$) = $\bigcup\limits_{P \in l}$Ш($P, a$)$\cap E(s’, s)$.

Берём конкретную трубку $u \in U$, $T = u \cap E(R, 1)$, $R$ - фиксированный радиус. Рассмотрим произвольную линию тока $q \in L$, $q \subset u$, которая проходит от стенки сосуда до точки $O$. Пусть $p = q \cap E(R, 1)$.

Трубка $T’$ пусть такова, что является продолжением трубки $T$ во внутрь сосуда, т.е. $T’ = u \cap E(R', 1)$, где $R > R’$, $R'$ – фиксируем. Таким образом, $T \subset T’$. Пусть $p’ = q \cap E(R', 1)$.

Предложение 1.

Какова бы ни была величина $a > 0$, существуют трубки $u’ \in U$ и $w’ = u’ \cap T’$ такие, что внутренность трубки $w’$, т.е. множество int($w’$) включает в себя линию $p’$ без концов, а сама трубка $w’$ включена в фигуру Ф($a, p'$). Т.е. Ф($a, p’$)$\supset$int($w’$)$\supset p’$.

Предложение считаем очевидным.

Предложение 2.

Каково бы ни было число $\epsilon > 0$, существует такое число $\delta > 0$, что для всех $a < \delta$, для любой линии $l \subseteq p’$, для каждой точки $P' \in l$ и для каждой плоскости $\Pi$, ортогональной к линии $l$ в точке $P'$, выполнены следующие условия:

(А) Объём фигуры Ф($a, l$), т.е. Объём(Ф($a, l$)) равен Длина($l$)$\cdot$($\pi \cdot a^{2}$)$\cdot$($1 + \alpha$), где $\alpha < \epsilon$.

(Б) Площадь(Ф($a, l$)$\cap \Pi$) = ($\pi \cdot a^{2}$)$\cdot$($1 + \beta$), где $\beta < \epsilon$. И эта же площадь равна Площадь(Ф($a, l$)$\cap A(s)$)$\cdot (1 + \gamma)$, где $\gamma < \epsilon$, $s$ – расстояние $OP'$.

Условия предложения 2 выполнимы, так как все линии и поверхности берутся только бесконечно гладкими. Если выразить утверждение 2 грубее, то оно может звучать так: Объём фигуры Ф($a, p’$) есть произведение длины линии $p'$ на сечение фигуры, которое постоянно, что выполнено с достаточной точностью при достаточно малом $a$.

Доказательство требуемого неравенства.

Сдвигаем жидкость, расположенную около стенки сосуда вдоль трубки $w'$ на расстояние $dx$. Это означает, что в точности на такое расстояние вдоль линий тока в трубке сдвинутся те элементы жидкости (точки жидкости), которые находились на стенке сосуда. Остальные элементы жидкости пусть сдвигаются так, чтобы каждый объём жидкости сохранил свою величину. В результате, в сосуде освободится объём $dV$, не превышающий величину $dx \cdot \sigma(dx)$ с точностью до исчезающих по отношению к этой величине членов (если $a$ уменьшать неограниченно), где $\sigma(s)$ – сечение трубки $w'$ плоскостью $\Pi$, проходящей перпендикулярно линии $p'$ через точку $\in p'$, расположенную на расстоянии $s$ от стенки сосуда, если это расстояние измерять вдоль линии $p’$. Следовательно, $dV$ не превышает величину $dx \cdot F(Q(u', 1 - dx))$, где $Q(u' , 1 - dx) = u' \cap A(1 - dx)$, с точностью до исчезающих (с уменьшением $a$) членов.

Смотрим после этого, как сдвинутся элементы жидкости в трубке $v$, которая есть теоретико-множественная разность трубок $w’$ и $w$. Если бы трубка $v$ имела бы постоянное по площади сечение с каждой упомянутой плоскостью $\Pi$, равное сечению на поверхности $A(R)$, то жидкость в этой трубке переместилась бы вдоль линий тока на расстояние $dy$ такое, что $dy \cdot F(Q(u', R)) = dV < dx \cdot F(Q(u', 1 - dx))$. Но сечение трубки $v$ увеличивается по ходу течения жидкости. Следовательно, смещение $dy$ будет ещё меньше, и с точностью до исчезающих членов, получаем: $dy < \frac{F(Q(u', 1 - dx))}{F(Q(u', R))} dx$. Ясно, что неравенство сохранится и в пределе для смещения элемента жидкости вдоль линии тока $q$, когда $a \to 0$.

Разбивая объём $E(R', 1)$ на достаточно большое количество трубок так, чтобы относительно каждой из них можно было бы сделать вывод, получаем неравенство для каждой такой трубки. Движение жидкости в одной трубке не будет мешать движению в другой. Кроме того, для порций жидкости расположенных дальше по трубке $u$, вне объёма $E(R', 1)$ рассуждаем в точности так же как и для порций внутри такого объёма. Т.е. делаем замену $R = R_{n}$, $R' = R_{n+1}$, $dx = dx_{n}$, $dy = dx_{n+1}$, как это уже было указано, и по индукции получаем требуемое.

Разбиения на всё более и более мелкие трубки и рассмотрение движения конечного числа порций даст некоторое $N$-ое приближение полного движения жидкости. В $N$-ом приближении объём жидкости будет сохраняться. Следовательно он будет сохранятся для всех достаточно больших $N$. В итоге, идеальное движение несжимаемой жидкости определимо как предел движений из конечного числа порций жидкости. Причём, это уже предоставляется проверить читателю, можно обеспечить бесконечную гладкость движения.

[shwedka]

Инт в сообщении #225741 писал(а):

shwedka в сообщении #225634 писал(а):
Мое 'зафиксировано' означает, что от автора получено четкое выражение позиции,
которое без серьезных оснований поменять не удастся.
Дак это же хорошо, что не удастся. Я и не буду менять "зафиксированное", которое понимаю так же.
shwedka в сообщении #225634 писал(а):
но ничего сказать нельзя относительно зависимости этой границы от $R$. По крайней мере, автор ничего на сей предмет не доказал.
Можно сказать. См. теоремы 1 и 2.
shwedka в сообщении #225634 писал(а):
Кроме того, не наблюдается доказательства того факта, что функция $dy$ определена для всех положительных $R$. Иначе говоря, не доказано, что поток несжимаемой жидкости, получающийся в результате сдвига начального сечения на $dx$ сможет поместиться в объем, ограниченный поверхностью $A(R)$ и границами выбранной трубки линий тока.
Ну на самом деле, доказательства без детализации приведены. И это, что Вы сейчас запрашиваете, я и готовлю в более подпробных и, надеюсь ясных доказательствах. Можно в грубом приближении так обозначить мои аргументы по этому поводу (которые, на самом деле изложены, как я считаю, в первом посте): сечение каждой трубки растёт неограниченно, поэтому, из-за сохранения объёма жидкости на достаточно большом сечении смещение $dy$ будет достаточно малым.
shwedka в сообщении #225634 писал(а):
отсутствует доказательство неравенства$dy<R$ на поверхности $A(R)$.
Аналогично, по крайней мере некоторые уже точные аргументы по этому поводу приводились: $dy < r(R) < R$.

Не придумывайте. со времени тех 'теорем' и доказательств много чего сменилось (скажем, бресконечно малые ушли, равенства заменились неравенствами..), и они никакого отношения к новейшим формулировкам не имеют.

Инт в сообщении #225741 писал(а):

Это означает, что в точности на такое расстояние вдоль линий тока в трубке сдвинутся те элементы жидкости (точки жидкости), которые находились на стенке сосуда.

Неверно. Не доказано, что такое движение несжимаемо.

Цитата:

Если бы трубка $v$ имела бы постоянное по площади сечение,

Инт в сообщении #225741 писал(а):

Но сечение трубки $v$ увеличивается по ходу течения жидкости.

Докажите!!!

Цитата:

Следовательно, смещение $dy$ будет ещё меньше

Докажите. Для кривых трубок это не так!!Ваши сечения при приближении к центру становятся все более искривленными. Поэтому размахивания руками для получения оценок объема.недостаточно.
Докажите!

Инт в сообщении #225741 писал(а):

равное сечению на поверхности $A(R)$, то жидкость в этой трубке переместилась бы вдоль линий тока на расстояние $dy$ такое, что $dy \cdot F(Q(u', R)) = dV < dx \cdot F(Q(u', 1 - dx))$

У Вас в начале построения взяты поверхности, с возрастающей площадью. Я не вижу доказательства, что аналогичным образом возрастает площадь части поверхности, попадающей в КАЖДУЮ трубку.Почему не может быть так, что вдоль каких-то трубок эта площадь (она, кажется обозначена $F(Q(u', R))$) растет быстро,
а вдоль других--медленно, или вовсе и не растет, а даже убывает. Соответственно, вдоль некоторых трубок поведение $dy$ будет совсем не такое,как Вам хотелось бы . Так что

Инт в сообщении #225741 писал(а):

Но сечение трубки $v$ увеличивается по ходу течения жидкости.

Докажите!

[Инт]

shwedka в сообщении #225855 писал(а):

Не придумывайте. со времени тех 'теорем' и доказательств много чего сменилось (скажем, бресконечно малые ушли, равенства заменились неравенствами..), и они никакого отношения к новейшим формулировкам не имеют.

Это не правда. Вы потребовали чётких условий и ухода от терминологии бесконечно малых, которых, как я понял, Вы не признаёте в окончательных "точных" рассуждениях. Поэтому, после того момента, когда было сказано, что всё зафиксированно, я условия не менял. Кроме того, никакие равенства не менялись на неравенства. К бесконечно малым смещениям теперь легко можно перейти, так как доказано существование конечного смещения.

shwedka в сообщении #225855 писал(а):

Инт в сообщении #225741 писал(а):

Это означает, что в точности на такое расстояние вдоль линий тока в трубке сдвинутся те элементы жидкости (точки жидкости), которые находились на стенке сосуда.

Неверно. Не доказано, что такое движение несжимаемо.

Это уже не серьёзно. Здесь говорится в точности о том, что граница жидкости, в идеальном варианте расположенная на стенке сосуда, сдвигается вдоль линий тока на строго фиксированное расстояние. Если мы имеем какую-нибудь трубку конечного сечения, то несжимаемая жидкость переместится в ней как-то из-за указанного смещения границы, не сжимаясь естественно. Так что, доказывать здесь нечего.

Далее:

Цитата:

Если бы трубка $v$ имела бы постоянное по площади сечение,

Инт в сообщении #225741 писал(а):

Но сечение трубки $v$ увеличивается по ходу течения жидкости.

Цитата:

Следовательно, смещение $dy$ будет ещё меньше

shwedka в сообщении #225855 писал(а):

Докажите!!!

Опять же доказывать нечего. Берём трубку $v$ постоянного сечения, сначала возможно не ту, которая у нас на самом деле имеется, и смотрим как во взятой $v$ (постоянного сечения) поведёт себя выдавленная с другого торца жидкость. Увеличение сечения той $v$, которая имеется на самом деле, следует из теорем 1 и 2. Об этом я писал. Доказательство относительно смещения $dy$ приводилось, по крайней мере, в предположении истинности теорем. Т.е., что расширяется каждая трубка. Легко можно догадаться, что теоремы верны. Сечение расширяется как раз для таких кривых трубок по теоремам 1 и 2. То, что вы обратили внимание на этот момент говорит о том, что всё таки вы отслеживаете правильно логику доказательства.
В частности, это ответ на следующее:

shwedka в сообщении #225855 писал(а):

У Вас в начале построения взяты поверхности, с возрастающей площадью. Я не вижу доказательства, что аналогичным образом возрастает площадь части поверхности, попадающей в КАЖДУЮ трубку.Почему не может быть так, что вдоль каких-то трубок эта площадь (она, кажется обозначена $F(Q(u', R))$) растет быстро, а вдоль других--медленно, или вовсе и не растет, а даже убывает. Соответственно, вдоль некоторых трубок поведение $dy$ будет совсем не такое,как Вам хотелось бы.

shwedka в сообщении #225855 писал(а):

Инт в сообщении #225741 писал(а):

Но сечение трубки $v$ увеличивается по ходу течения жидкости.

Докажите!

Так, что поведение будет именно такое как мне этого хотелось.

[shwedka]

Инт в сообщении #225904 писал(а):

Легко можно догадаться, что теоремы верны.

Знаете, почитав внимательно Вашу Теорему 2, склоняюсь я к тому, что на ней все дальнейшее держится и потому все дальнейшее обсуждение бессмысленно, пока нет уверенности в ее справедливости.
Так чтои, плиз, предъявите доказательство. вы, вроде, писали, что оно простое.

[Инт]

shwedka в сообщении #225982 писал(а):

Знаете, почитав внимательно Вашу Теорему 2, склоняюсь я к тому, что на ней все дальнейшее держится и потому все дальнейшее обсуждение бессмысленно, пока нет уверенности в ее справедливости. Так чтои, плиз, предъявите доказательство. вы, вроде, писали, что оно простое.

Очень радует, что вам ясно это. Предъявлю доказательство в течении недели. По техническим причинам, так как у меня есть ещё другие дела.

Могу сейчас лишь пояснить следующее в обоснование верности этой теоремы: Существование поверхностей $A(R)$ как таковых, площадь которых растёт неограниченно, по-видимому не должно вызывать сомнений (считаем для этого обоснования их существование очевидным). Соответственно, существуют (считаем очевидно для данного обоснования) ортогональные линии к поверхностям, семейство $L$. Для конкретных поверхностей действительно может быть выполнен тот случай, что некоторые трубки будут сужать сечение при приближении $R$ к нулю. Ясно, что не все, так как в целом поверхность должна расти. Берём трубку, которая растёт по сечению. Относительно неё уже ничего доказывать не надо. Тогда берём не пересекающуюся с первой трубкой вторую трубку, которая предположительно уменьшает своё сечение, когда $R \to 0$. Не меняя формы пересечения границ сужающейся трубки с поверхностью $A(R)$, заменяем часть этой поверхности, находящейся в сужающейся трубке, на такую поверхность, которая растёт по площади внутри трубки так, как нам надо. Разбив весь объём на конечное количество трубок. Мы получим часть их "расширяющимися", а часть "сужающимися". Заменяем поверхности в "сужающихся". Это не всё. Если разбить объём каждой из таких трубок на трубки более мелкого разбиения, то ситуация может повториться уже внутри трубки. Но мы и повторим операцию замены. Другое дело, что в итоге надо бесконечное количество раз повторить её так, чтобы "процесс сошёлся", причём желательно, "сошёлся гладко".

[shwedka]

Инт
Вам предстоит доказать возрастание сечения не только в тех трубках, которые входят в Вашу конструкцию (их счетное множество), но ВО ВСЕХ (которых несчетное множество)!!!
Но подождем точного изложения.

Да, поскольку содержимое темы чисто математическое, может быть, Вы обратитесь к модераторам, чтобы они ее вернули в математику...

[Инт]

А я уже обращался к модераторам. К PAV. Ответа не получил. Убеждал про математику. Может быть поможете уговорить?

Что касается счётного количества трубок. Берём произвольную трубку $T$. В ней всегда найдётся конечное количество трубок из достаточно "мелкого разбиения", т.е. из тех, которые расширяются неограниченно. Поэтому, и $T$ расширяется неораниченно. Это, конечно, только наводящее соображение.

[Александр Козачок]

Глубокоуважаемый Инт!

Вы в сообщении #225904 писал(а):

К бесконечно малым смещениям теперь легко можно перейти, так как доказано существование конечного смещения.

Запишите, пожалуйста, формулу связи между бесконечно малыми и конечными смещениями, которая позволяет осуществить такой переход.

С уважением, Александр Козачок

[Инт]

Александр Козачок в сообщении #226019 писал(а):

Глубокоуважаемый Инт! Запишите, пожалуйста, формулу связи между бесконечно малыми и конечными смещениями, которая позволяет осуществить такой переход.

Глубокоуважаемый Александр Козачок. Про бесконечно малые рассказывают ещё в школе, и в худшем случае, в университете. Я думал в нашей стране про них все знают. И известно собственно, что нет никакой формулы связи, так как нет чёткого определения, что подразумевать под бесконечно малыми, ещё со времён Архимеда. Это есть некий способ говорить. Другое дело, что способ говорить сопровождается некой интуицией. Если бы вы заглянули в моё решение континуум-проблемы, то там, в конце §6 даётся точное определение по этому поводу. Впрочем, я не претендую на то, что дал определение бесконечно малых первым. Вся суть определения состоит в том, что бесконечно малая это - функция, которая стремится к нулю от какого-нибудь аргумента, который можно интерпретировать как степень узнавания бесконечно малой. Например, пусть этим аргументом будет натуральное число. Таким образом, бесконечно малая это величина, которая становится сколь угодно малой, с каждым новым натуральным числом принимая, вообще говоря, конечное значение. Это же касается и бесконечно малого смещения жидкости.

[maxal]

Возвращено в Дискуссионные темы (М)