Сомнительно, чтобы здесь была задача на уровне терминологической разницы между "минимальный" и "наименьший". Это бы означало такую постановку: найти локальный минимум, отличный от запрещённого.
В исправленном варианте (другой вариант исправления - точка должна быть внутри искомого отрезка, а не вне его) геометрически всё очевидно - достаточно построить прямоугольник, в котором искомый отрезок является диагональю и рассмотреть другую диагональ: она очевидно не меньше

и реализуется только если этот прямоугольник есть квадрат.
В общей постановке, если точка

внутри прямого угла произвольна, то построение искомого отрезка с помощью циркуля и линейки невозможно, точнее возможно тогда и только тогда, когда

является кубом рационального числа (

- это куб углового коэффициента искомого отрезка).
Сама же наименьшая длина искомого отрезка выглядит так:
