Дельта-функция в пространстве Соболева

[Borat]

Помогите, плз, с такой задачкой:

Дан функционал $\delta(x)=x(0)$ над пространством Соболева $W^1_2(-1;1)$. Необходимо представить его в виде Рисса, т.е. найти $f(x)$ такую, что $(f; u) = \delta(u)$.

Идеи есть такие: расписать скалярное произведение $(f; u)$ в пространстве Соболева через интегралы, проинтегрировать по частям интеграл с производными, в результате получить краевую задачу для f. Правильно ли я понимаю, что ответом будет функция Грина этой задачи, один из аргументов которой будет взят в нуле?

[Gafield]

Функция $f$ как раз равна $\delta$. Однако этот функционал не является непрерывным в пространстве $W^1_2(-1,1)$ и дельта функция ему не принадлежит.

[terminator-II]

Gafield в сообщении #225390 писал(а):

Однако этот функционал не является непрерывным в пространстве $W^1_2(-1,1)$

является

Borat в сообщении #225374 писал(а):

Дан функционал $\delta(x)=x(0)$ над пространством Соболева $W^1_2(-1;1)$. Необходимо представить его в виде Рисса, т.е. найти $f(x)$ такую, что $(f; u) = \delta(u)$.

а какую функцию нужно продифференцировать, чтоб получить $\delta$?

[ewert]

terminator-II в сообщении #225407 писал(а):

Borat в сообщении #225374 писал(а):

Дан функционал $\delta(x)=x(0)$ над пространством Соболева $W^1_2(-1;1)$. Необходимо представить его в виде Рисса, т.е. найти $f(x)$ такую, что $(f; u) = \delta(u)$.

а какую функцию нужно продифференцировать, чтоб получить $\delta$?

Так дёшево не выйдет. А вот если решить уравнение $-y''+y=\delta(x)$ (с нулевыми граничными условиями на производную) -- тогда дело другое.

[Borat]

ewert в сообщении #225410 писал(а):

terminator-II в сообщении #225407 писал(а):

Borat в сообщении #225374 писал(а):

Дан функционал $\delta(x)=x(0)$ над пространством Соболева $W^1_2(-1;1)$. Необходимо представить его в виде Рисса, т.е. найти $f(x)$ такую, что $(f; u) = \delta(u)$.

а какую функцию нужно продифференцировать, чтоб получить $\delta$?

Так дёшево не выйдет. А вот если решить уравнение $-y''+y=\delta(x)$ (с нулевыми граничными условиями на производную) -- тогда дело другое.

Так я это и имел в виду в исходном соощении.
Значит, взять функцию Грина $G(x, s)$ оператора $Ly = -y''+y$ при $s = 0$ - верное решение?

[terminator-II]

ewert в сообщении #225410 писал(а):

terminator-II в сообщении #225407 писал(а):

Borat в сообщении #225374 писал(а):

Дан функционал $\delta(x)=x(0)$ над пространством Соболева $W^1_2(-1;1)$. Необходимо представить его в виде Рисса, т.е. найти $f(x)$ такую, что $(f; u) = \delta(u)$.

а какую функцию нужно продифференцировать, чтоб получить $\delta$?

Так дёшево не выйдет. А вот если решить уравнение $-y''+y=\delta(x)$ (с нулевыми граничными условиями на производную) -- тогда дело другое.

у кого не выйдет? там подбором все делается. хотя, да уравнение написать лучше

[ewert]

Borat в сообщении #225440 писал(а):

Значит, взять функцию Грина $G(x, s)$ оператора $Ly = -y''+y$ при $s = 0$ - верное решение?

Но я же не знаю, что Вы понимаете под "эс". Если условия Неймана, то -- да, правильное.

-- Пн июн 29, 2009 18:30:36 --

terminator-II в сообщении #225460 писал(а):

у кого не выйдет? там подбором все делается.

Боюсь, что у Вас. Каким таким подбором можно вывести вполне конкретные экспоненты?... (и, кстати, с не совсем очевидными коэффициентами -- там хоть какая, но арифметика требуется)

Есть подозрение, что Вы подсознательно имели в виду не просто $W_2^1$, но $W_2^1$ с граничными условиями Дирихле. Там -- да, можно и подбором, при одном из двух естественных и эквивалентных определений скалярного произведения.

[terminator-II]

ewert в сообщении #225530 писал(а):

Borat в сообщении #225440 писал(а):

Значит, взять функцию Грина $G(x, s)$ оператора $Ly = -y''+y$ при $s = 0$ - верное решение?

Но я же не знаю, что Вы понимаете под "эс". Если условия Неймана, то -- да, правильное.

-- Пн июн 29, 2009 18:30:36 --

terminator-II в сообщении #225460 писал(а):

у кого не выйдет? там подбором все делается.

Боюсь, что у Вас. Каким таким подбором можно вывести вполне конкретные экспоненты?... (и, кстати, с не совсем очевидными коэффициентами -- там хоть какая, но арифметика требуется)

Есть подозрение, что Вы подсознательно имели в виду не просто $W_2^1$, но $W_2^1$ с граничными условиями Дирихле. Там -- да, можно и подбором, при одном из двух естественных и эквивалентных определений скалярного произведения.

да, действительно, я почему-то решил, что это $H^1_0$ и соответственно $(u,v)=\int u'v'dx$

[Borat]

В общем, всем спасибо