Задача на экстремум, НЕ используя дифф. исчисление

[krabathor]

Помогите, пожалуйста, решить задачу на экстремум, НЕ используя методы дифференциального исчисления:

$\max(\cos(x)\cos(y)+\cos(x)\cos(z)+\cos(y)\cos(z))$

для двух случаев:

а)$x+y+z=180^\circ$;
б) $x,y,z$ - углы треугольника.

Заранее большое спасибо!

[Gortaur]

1. $z = \pi -x-y$;
2. раскрываете скобки и приводите к квадратному трехчлену. У него экстремум в вершине (сначала по одной переменной). Фиксируете соотношение между $x$ и $y$ и решаете задачу по последней переменной.

-- Пн июн 29, 2009 15:20:41 --

это же всевозможные попарные произведения - значит, полуразность квадрата суммы и суммы квадратов

[jetyb]

Попробуйте найти $ x,y,z$, при которых достигаются
1)$\max\left(\cos(x-y)+\cos(x-z)+\cos(y-z)\right)$
2)$\min\left(\cos x+cos y+\cos z\right)$.

[мат-ламер]

Нет ли какой теоремы, утверждающей что максимум симметричной вогнутой функции должен достигаться в центре симплекса (т. е. при $x=y=z= \pi /3$ )?

[jetyb]

Вы имели в виду минимум вогнутой симметричной функции? Я не понял, какое отношение к задаче имеет выпухлая оболочка n+1 точек, не лежащих в n-мерной гиперплоскости.
Насчет теоремы. Сильно сомневаюсь, но кажется есть теорема, что экстремумы симметричной функции $f(x_1,\ldots,x_n)$ в области $x_1+\ldots+x_n=c$ достигаются либо когда все иксы равны, либо когда какой-то $x_i=c$.

[krabathor]

А не могли бы вы подсказать, хотя бы приблизительно, источник, где можно было бы такую теорему найти. Как я понимаю, применение этой теоремы и даст решение задачи, т.е. для варианта б)$x+y+z=\pi/3$, а для варианта а) любой из углов, равный $\pi$.

[мат-ламер]

jetyb в сообщении #225506 писал(а):

Вы имели в виду минимум вогнутой симметричной функции? Я не понял, какое отношение к задаче имеет выпухлая оболочка n+1 точек, не лежащих в n-мерной гиперплоскости.
Насчет теоремы. Сильно сомневаюсь, но кажется есть теорема, что экстремумы симметричной функции $f(x_1,\ldots,x_n)$ в области $x_1+\ldots+x_n=c$ достигаются либо когда все иксы равны, либо когда какой-то $x_i=c$.

Да, я имел в виду эту теорему. Под симплексом я имел в виду область определения функции$ x \ge 0, y \ge 0, z \ge 0, x+y+z= \pi $ . Вообще-то функция не везде вогнутая, а только при острых углах, но это не важно. Где найти теорему - не знаю. В журнале "Квант" были статьи по методам доказательства неравенств. Может там есть?

[jetyb]

Эту теорему в обобщенном видоизмененном виде (не спрашивайте - не помню) я слышал на первом курсе мехмата от лектора Тараса Палыча Лукашенко. Вам проще будет ее проверить, чем найти.

[Gortaur]

Вообще требование "без дифференцирования" напоминает либо олимпиаду, либо школу. В любом случае, Вас могут попросить доказать эту теорему (равно как и все теоремы, которые не доказываются в рамках школьного курса а-ля Менелая). Попробуйте напрямую, чем не нравится?

Насчет строго экстремума все очевидно: предположим, что $f$ симметрична по всем аргументам, и пусть в точке $A = (x',y',z')$ она имеет строгий максимум, тогда либо это неправда (потому что в точках типа $(x',z,'y')$ строгость нарушается), либо в этой точке $x'=y'=z'$. C нестрогими и локальными может быть сложнее, но по-моему, про локальный это вообще говоря неверно, так как симметричность нелокальное свойство.

Со строгостью тоже сложно, потому что по виду функции вряд ли можно сказать, имеет ли она строгий экстремум или может достигать его в шести симметричных точках.

[krabathor]

Спасибо за советы! Задача на самом деле в ВУЗе дана, курс "Задачи на экстремумы" для педагогического направления физико-математического факультета, потому и условие, что "без дифференцирования", но по сути она, конечно, школьно-олимпиадная.

[мат-ламер]

К тому что написал Gortaur хочу добавить. Допустим мы ищем максимум вогнутой (или минимум выпуклой) функции на симметричном множестве. Если максимум (или минимум) достигается в какой-то точке, то он достигается и в симметричной точке (в нашем случае - в двух симметричных точках). Отсюда максимум (минимум) достигается в выпуклой оболочке этих трёх точек. И центр этого множества принадлежит этой выпуклой оболочке, и значит максимум (минимум) достигается и на нём. В нашем случае есть осложнение, что косинус вогнут только до 90 градусов, а дальше выпукл. Но с ним легко справиться, показав, что если один угол тупой, то функция не может превышать $1/4$.

[vlad239]

Позвольте мне не поверить в эту теорему. Рассмотрим плоскость $x+y+z=1$ и треугольник, высекаемый ею в первом октанте. Разрежем этот треугольник на 6 одинаковых кусочков и определим на одном треугольнике функцию так, чтобы ее максимум был в центре, а к границе все спадало к нулю. На остальных треугольничках определим по симметрии. Продолжим ее далее на прочие октанты по четности и симметрии, а на прочие плоскости - по однородности. Тогда максимумы будут как раз в "иголочках". Если хочется, можно равномерно на треугольнике приблизить эту функцию многочленом. Понятно, что можно и симметричным. Так что и для многочленов неверно.

Влад.

[jetyb]

А если потребовать выпуклость, какие-то другие условия? Эта теорема справедлива для сум n-ых степеней, косинусов, возможно, и для сум выпуклых функций. Можно, наверное, выявить класс функций, для которых теорема справедлива?

[ИСН]

Если выпуклость, тогда-то конечно.

[TOTAL]

$F(x,y,z) = \cos(x)\cos(y)+\cos(x)\cos(z)+\cos(y)\cos(z)$
Усредняем два (сначала наибольших) угла треугольника:
$F(\frac{x+y}{2},\frac{x+y}{2},z)-F(x,y,z)=\sin^2\frac{x-y}{2}+2\cos z\cos\frac{x+y}{2}\left(1-\cos \frac{x-y}{2}\right) > 0$