Помогите с Интегралами

[XenoX]

В общем насчёт вот этого, ничего в голову не лезет:
$ \int_0^\frac 1 2\frac{8x-arctg2x}{1+4x^2}dx $
$ \int\frac{xcosx+sinx}{(xsinx)^2}dx $
Подскажите, что можно сделать? (решать не обязательно)
Над вторым сидел долго и так и так вертел пришёл к выводу, что если бы там был минус в числителе, то было бы всё очень просто, а вот именно в таком варианте ничего придумать не могу.
И ещё есть тип задач, по которому я не очень понимаю, пример:
1) Вычислить длины дуг кривых заданных уравнениями в полярных координатах:
$ \left\{ \begin{array}{l} \rho= 3(1 +sin\varphi) \\ - \frac \pi 6 \le \varphi \ge \pi \end{array} \right. $
2)Вычислить площадь фигур, ограниченных линиями:
$ \left\{ \begin{array}{l} x = 32cos^3t \\ y = sin^3t \end{array} \right. x = 4 (x \ge 4) $
3)Вычислить объёмы тел образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций. ось вращения ОХ
$ y = 1-x^2, x=0, x=(y-1)^\frac 1 2, x=1 $
Я понимаю, что нужно решить интегралы, но вот какие они там и как записать не понимаю, просьба напишите, что за интегралы надо посчитать и напишите книжку, где можно об этом подробнее прочитать

[Хорхе]

В первом интеграле замена просто напрашивается.
Во втором, наверное, действительно минус должен быть.

В остальных просто написать формулы, интегралы вроде несложные получаются.

[garin99]

В первом разбиваем на разность двух интегралов, а уже потом для каждого напрашивается своя замена.
А вот во втором сразу напрашивается замена и именно с плюсом в числители. Оба интеграла в одну строчку.

[EtCetera]

Не знаю, может быть я и ошибаюсь, но у меня и без минуса неплохо получается:
$(x\sin x)'=\sin x+x\cos x$.
Тогда $\int\frac{x\cos x+\sin x}{(x\sin x)^2}\,dx=\int\frac{d(x\sin x)}{(x\sin x)^2}=...$
Меня уже опередили...

[vlad239]

Формулы для площадей и объемов есть в задачнике Демидовича перед соответствующими параграфами.

Влад.

[Хорхе]

EtCetera в сообщении #225069 писал(а):

Не знаю, может быть я и ошибаюсь, но у меня и без минуса неплохо получается:
$(x\sin x)'=\sin x+x\cos x$.

Да, плохо я знаю таблицу производных

[XenoX]

2 EtCetera
$ (xsinx)' = sinx-xcosx $
У меня лично так, разве нет?
2 garin99
Подскажите замену во втором, там где с плюсом.
2 Хорхе

Цитата:

В остальных просто написать формулы, интегралы вроде несложные получаются.

Проблема в том, что не знаю как из таких условий записывать формулы, можете написать?

[EtCetera]

Xenox
Да вроде нет: $(\sin x)'=\cos x$, $(x\sin x)'=(x)'\sin x+x(\sin x)'=\sin x+x\cos x$. Откуда минус?

[garin99]

XenoX в сообщении #225107 писал(а):

2 EtCetera
$ (xsinx)' = sinx-xcosx $
У меня лично так, разве нет?
2 garin99
Подскажите замену во втором, там где с плюсом.
2 Хорхе

Цитата:

В остальных просто написать формулы, интегралы вроде несложные получаются.

Проблема в том, что не знаю как из таких условий записывать формулы, можете написать?

Может Вы это забыли:
$(uv)'=u'v+uv'$
Бывает что именно здесь минус ставят путая с производной частного.

[XenoX]

Народ вы неповерите Я упорно считал интеграл xsinx, он то как раз с минусом получается.
Ответ получился
$-xsinx$ Правильно?
А первый интеграл у меня получился так:
разбиваю на два интеграла
$ \int_0^\frac 1 2 \frac{8x}{1+4x^2}dx, делаю замену t=4x^2 \\ \int_0^\frac 1 2 \frac{1}{1+t}dt = ln\mid 2 \mid \\ \int_0^\frac 1 2 \frac{arctg2x}{1+4x^2}dx, t=arctg2x \\ \int_0^\frac \pi 4 tdt=\frac {\pi^2}{32} \\ $
Правильно?
p.s. Подскажите насчёт задачек

[garin99]

$ \int\limits_0^\frac 1 2 \frac{8x}{1+4x^2}dx= \int\limits_0^ 1 \frac{1}{1+t}dt = ln\mid 2 \mid $
В смысле пределы интегрирования меняются.

[ewert]

XenoX в сообщении #225112 писал(а):

$ \int_0^\frac 1 2 \frac{arctg2x}{1+4x^2}dx, t=arctg2x \\ \int_0^\frac \pi 4 tdt=\frac {\pi^2}{32} \\ $

А здесь потеряна двойка, выскакивающая из-под дифференциала.

[Alhimik]

3)Вычислить объёмы тел образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций. ось вращения ОХ
$ y = 1-x^2, x=0, x=(y-1)^\frac 1 2, x=1 $

Догадываюсь, что речь идёт об одном теле. Однако это тело ничем не ограничено сверху.