Исчезновение несжимаемой жидкости из закрытого сосуда

[shwedka]

Инт в сообщении #225190 писал(а):

когда вдоль канала мы сдвинем жидкость на расстояние $dx$

что это значит математически
и
почему это возможно???

[Инт]

shwedka в сообщении #225201 писал(а):

Уточняю вопросCowboyHuggesВы молчаливо предполагаете, и это подтверждается ответом на мои вопросы, что жидкость МОЖЕТ двигается вдоль линий, ортогональных системе поверхностей $A(R)$. По крайней мере, доказательство этого свойства необходимо.В особенности,в пределе $R\to0$. Иначе говоря, от Вас требуется ДОКАЗАТЕЛЬСТВО существования такого движения. Рискну заявить, что Ваш парадоксальный вывод и служит доказательством от противного отсутствия такого движения.

Такими вещами, как сознательный обман, не занимаюсь. Доказательство в принципе было описано. Но все детальные пояснения готов давать и далее, так что просьба не переживать так сильно. Поэтому поясняю дальше. И если не пояснил, то просьба ткнуть пальцем где.

Итак, берём конкретный канал $T$. И сдвигаем вдоль него какое-то количество жидкости, какое-то количество объёма. Считаем, поначалу, что канал наполовину пуст. Т.е. считаем, что от торца канала до некоторого фиксированного сечения $Q(T, R)$ он заполнен жидкостью, а далее нет. Затем, сдвигаем эту первую порцию жидкости вдоль канала так, чтобы в начале канала жидкость сместилась на величину $dx = dx_{1}$. На другом конце порции, в сечении $Q(T, R_{2})$, $R_{2} = R$, жидкость сместится на величину $dy = dx_{2}$. Первая порция сместится так, что не достигнет точки $O$. Если бы за первой порцией стояла вторая порция, то эта вторая сместилась бы в районе сечения $Q(T, R_{3})$ на некоторую величину $dx_{3}$ много меньшую, чем $dx_{2}$. Это мы можем гарантировать, заранее задав функцию $S$. Заодно, заведомым заранее заданным законом $S$ можно гарантировать увеличение сечения $Q(T, R_{3})$ по отношению к сечению $Q(T, R_{2})$ настолько намного, что смещение $dx_{3}$ не приведёт к достижению точки $O$ и второй порцией. И т.д. Т.е. каждая порция, расположенная от сечения $Q(T, R_{n})$ до$Q(T, R_{n+1})$ сместится воль канала на величину $dx_{n+1}$ и не достигнет точки $O$. Тут есть некий ньюанс, состоящий в том, что канал будет расширяться по сечению, и не может, начиная с некоторого места, считаться достаточно тонким. Эта трудность несущественна. Так как всегда можно разбить следующую, утолщённую часть канала на достаточно малые по сечению "подканалы" и продолжить рассуждение.

shwedka в сообщении #225201 писал(а):

Сверх этого, все Ваши упоминания 'бесконечно малых' объектов некоррекрны, так как с общепринятыми в математике они расходятся, а своих определений Вы не даете. Например,

Инт всообщении #225190 писал(а):

А если, действительно, взять бесконечно тонкий канал, т.е. по существу линию,

Хороший пример того, как слова 'по существу' используются для обмана.

Да всё корректно. В точности такие же термины употребляются в обычном математическом анализе. Я уже упоминал, что термин "бесконечно тонкий канал" употребляется для удобства в качестве синонима "сколь угодно тонкий канал". Далее, так как конечный канал $\in U$ может быть непрерывно стянут в линию $\in L$, а та бесконечно гладка в самом строгом смысле, то можно говорить, что бесконечно малый канал является линией, линией тока, если хотите. Ясно, что это может восприниматься в качестве удобного или неудобного жаргона, а может быть и точно переведено на формальный язык. Однако я сторонник объяснять по существу, и не в коей мере не обманывать.

Просьба опять ткнуть меня где не ясно.

-- Вс июн 28, 2009 02:01:33 --

CowboyHugges в сообщении #225206 писал(а):

Инт, думаю что тема затянется ибо любопытна, давайте начнём сначала и понемножку, с Вашего позволения Опустим обсуждение начального параграфа. Первый вопрос: Вы употребляете общепринятые термины "твердая, непроницаемая оболочка"? то есть элементарный поток в каждой точке $\Sigma$ равен нулю (например П.Жермен "Механика сплошных сред") и нормальная компонента скорости жидкости относительно стенки равна нулю (ну тут думаю не так )

Поток, перпендикулярный стенке не нуль, вообще говоря всего лишь в начале движения, в один момент времени. Пока жидкость не отошла от стенки. Поток направлен от стенки во внутрь сосуда. Стенка действительно непроницаемая, идеально твёрдая. Но она нужна лишь на первых порах. Вообще говорить о потоке, считаю, не очень надо, поэтому, именно потому, что хочу пояснить суть движения, говорю сначала только о элементарном смещении жидкости $dx$.

-- Вс июн 28, 2009 02:05:02 --

shwedka в сообщении #225208 писал(а):

Инт в сообщении #225190 писал(а):

когда вдоль канала мы сдвинем жидкость на расстояние $dx$

что это значит математически и почему это возможно???

Не ну это довольно нематематический вопрос. Например, в теории идеальной жидкости какое-нибудь инфинитеземальное (бесконечно малое) смещение считается возможным допустимым. Я почему и говорю о некоторой изменённой рефлексии. Когда выводят, скажем, уравнение Навье-Стокса или Бернулли, именно и рассматривают такого рода смещения.

[shwedka]

Инт в сообщении #225209 писал(а):

"сколь угодно тонкий канал"

Злоупотребление терминологией.

Повторяю.Что означают слова 'сколь угодно тонкий канал'?

Это не пустяковая придирка. Здесь существо дела.

ЕСть переход к пределу по 'толщине'
или
нет??

Инт в сообщении #225209 писал(а):

В точности такие же термины употребляются в обычном математическом анализе.

Неверно. В анализе они выступают в качестве свободно переменной:'для сколь угодно малого $\epsilon$ найдется $\delta$...'

Не скрывайтесь за аналогиями, это тоже метод обмана.

Инт в сообщении #225209 писал(а):

Тут есть некий ньюанс, состоящий в том, что канал будет расширяться по сечению, и не может, начиная с некоторого места, считаться достаточно тонким.

'достаточно' для чего??

Может, станете употреблять точный язык??

-- Сб июн 27, 2009 23:12:17 --

Инт в сообщении #225209 писал(а):

Так как всегда можно разбить следующую, утолщённую часть канала на достаточно малые по сечению "подканалы" и продолжить рассуждение.

Докажите!!! В точных терминах.

[Инт]

shwedka в сообщении #225211 писал(а):

Инт в сообщении #225209 писал(а):

"сколь угодно тонкий канал"

Злоупотребление терминологией. Повторяю.Что означают слова 'сколь угодно тонкий канал'? Это не пустяковая придирка. Здесь существо дела. ЕСть переход к пределу по 'толщине'
или нет??

Да есть переход к пределу по толщине. Именно, разбиваем объём на конечное количество каналов, достаточных по толщине, чтобы провести рассуждение в первом приближении и т.д. Затем, делаем разбиение все более и более мелким. Этого пояснения достаточно?

-- Вс июн 28, 2009 02:24:20 --

shwedka в сообщении #225211 писал(а):

Не скрывайтесь за аналогиями, это тоже метод обмана...Может, станете употреблять точный язык??Докажите!!! В точных терминах.

Приписывать мне обман не стоит. Сначала стоит разобраться с сутью идеи. Что значит точные термины? Это просто принятые термины, в которых можно выразить идею, как некий базис. Можно выразить в любых других лишь бы была понятна. Я готов к любой детализации. Но полный переход к формальным выкладкам довольно бессмыленен, увеличит текст и за этим не будет видна сама идея. Ну да, подумаю о сути возражений. Но какие-то они стали не техничные, не по существу вопроса.

-- Вс июн 28, 2009 02:30:11 --

Мне конечно приятно, что кто-то не спит.

-- Вс июн 28, 2009 02:34:37 --

shwedka в сообщении #225211 писал(а):

Инт в сообщении #225209 писал(а):

Так как всегда можно разбить следующую, утолщённую часть канала на достаточно малые по сечению "подканалы" и продолжить рассуждение.

Докажите!!! В точных терминах.

Тут доказывать нечего. Разбиваем и всё.

[shwedka]

Инт в сообщении #225212 писал(а):

Сначала стоит разобраться с сутью идеи. Что значит точные термины? Это просто принятые термины, в которых можно выразить идею, как некий базис. Можно выразить в любых других лишь бы была понятна. Я готов к любой детализации. Но полный переход к формальным выкладкам довольно бессмыленен, увеличит текст и за этим не будет видна сама идея. Ну да, подумаю о сути возражений. Но какие-то они стали не техничные, не по существу вопроса.

Именно по существу вопроса. Идет жонглирование словами 'бесконечно малое', 'сколь угодно малое' и тп.
Перейдите к точным терминам--и 'идеи' не останется.

Ваше рассуждение -- не первое и не последнее из тех, где из верного утверждения
$dy/dx=f$ делается ошибочный вывод $dy=fdx$ с таинственными бесконечно или сколь угодно малыми $dy,dx$

Возьмите фиксированное $dx$, рассмотрите объем, отвечающий исходному сечению трубки и длине $dx$ вдоль линий тока,
и перейдите к пределу. Это будут точные термины. Но тут-то ВАше рассужделие и развалится.

Еще точнее, Вы не сможете доказать, без жульничества,
что при фиксированном $dx$, имеется бесконечно много дизъюнктных объемов в трубке,
отвечающих сдвигу на $dx$.

[Инт]

shwedka в сообщении #225224 писал(а):

Перейдите к точным терминам--и 'идеи' не останется. Ваше рассуждение -- не первое и не последнее из тех, где из верного утверждения $dy/dx=f$ делается ошибочный вывод $dy=fdx$ с таинственными бесконечно или сколь угодно малыми $dy,dx$

Какой ещё ошибочный вывод? Вы про что? Выражения "бесконечно малая", "сколь угодно малая" не таинственны, а являются стандартными выражениями математического анализа.

shwedka в сообщении #225224 писал(а):

Возьмите фиксированное $dx$, рассмотрите объем, отвечающий исходному сечению трубки и длине $dx$ вдоль линий тока, и перейдите к пределу. Это будут точные термины. Но тут-то ВАше рассужделие и развалится. Еще точнее, Вы не сможете доказать, без жульничества, что при фиксированном $dx$, имеется бесконечно много дизъюнктных объемов в трубке,
отвечающих сдвигу на $dx$.

Неверный тезис. Ложный. Хорошо, более детальное доказательство требуемое Вами изложу.

[CowboyHugges]

Инт, дайте пожалуйста свое математическое определение непроницаемой стенки и укажите, пожалуйста, явно где в Ваших рассуждениях используется то, что стенка непроницаема?

[Инт]

CowboyHugges в сообщении #225276 писал(а):

Инт, дайте пожалуйста свое математическое определение непроницаемой стенки и укажите, пожалуйста, явно где в Ваших рассуждениях используется то, что стенка непроницаема?

Да нигде не используется. Так как жидкость по существу не взаимодействует со стенкой. Можете считать, что это водяной шар в невесомости, который схопывается определённым образом. Это я Вам писал. Вообще, тема относится к основаниям математики. Физическое её содержание лишь форма донести предмет. Следствия для физики конечно имеются, но пока я не напишу более детальные выкладки для shwedkи думаю обсуждать это не стоит, так как в противном случае, меня обвинят в обсуждений следствий из ещё недоказанных теорем. Доказательства, конечно, приведены. Именно потому, что для профессиональных математиков достаточно некой идеи доказательства. Если бы не было предубеждений, то понимание теорем шло бы легче.

Поскольку запрашиваемая вами стенка не имеет никакого особого значения, кроме того, что жидкость не пересекая её исчезает из сосуда, то было бы лучше, если бы Вы задавали вопросы по элементам математического доказательства.

-- Вс июн 28, 2009 17:25:38 --

shwedka в сообщении #225211 писал(а):

Докажите!!! В точных терминах.

Детальные доказательства, касающиеся течения жидкости.

Определим конкретно и заранее

$S = S(R) = exp(\frac{1}{R - r(R)})$

$\frac{R - r(R)}{r(R)} \to 0$

Следовательно, $R - r(R) << r(R)$, при всех достаточно малых $R$.

Следовательно, $\frac{1}{R - r(R)} >> \frac{1}{r(R)}$ при тех же $R$.

Следовательно, $exp(\frac{1}{R - r(R)}) >> \frac{1}{r(R)}$ при достаточно малых $R$.

Следовательно, $r \cdot S >> 1$ и $r >> \frac{A}{S}$ при всех достаточно малых $R$, какова бы ни была константа $A$.

Следовательно, если $dy < \frac{A}{S(R)} \cdot dx$, то $dy < \frac{A}{S(R)} \cdot dx < r \cdot dx < r = r(R)$ при всех достаточно малых $R$, если $dx$ брать всегда меньше $1$.

Выбираем заранее последовательность чисел $\delta_{n} \to 0$, $\delta_{n} > \delta_{n+1}$, где $n$ - натуральное число.

Считаем, что теоремы 1 и 2 верны. Если требуется детализация и этих теорем, то будем делать такую детализацию. Однако сейчас, сосредотачиваем внимание на смещении жидкости вдоль каналов. В этой части диспута, обосновываю такое смещение.

Считаем, что $A(R_{1}) = \Sigma$, $R_{1} = 1$.

Берём такую поверхность $A(R)$, чтобы её площадь превышала величину $S(R)$. Т.е., в силу теорем 1 и 2 выбираем $R = R_{2} < \delta_{2}$ таким, что $F(A(R_{2})) > S(R_{2})$. И тогда же окажется, что $F(Q(T, R_{2})) > S(R_{2}) \cdot F(Q(T, 1))$ для любой трубки $T \in U$.

Фиксируем $dx < 1$. Рассматриваем всевозможные трубки множества $U$. Выбираем из этого множества некоторое конечное множество трубок $U_{2}$, не пересекающихся между собой по внутренности и образующих весь объём сосуда. Пусть каждая трубка $w$ множества $W_{2}$ есть часть трубки $u$ из множества $U_{2}$. Торцами $w$ считаем: торец трубки $u$ на стенке сосуда; сечение $Q(u, R_{2})$ на поверхности $A(R_{2})$. Потребуем, при выборе множества $U_{2}$ для выбранного $R_{2}$, чтобы сечение каждой трубки из множества $W_{2}$ поверхностью $A(R)$, где $R$ не меньше чем $R_{2}$, имело бы величину, не превышающую $\delta_{2}$. Сместим жидкость вдоль каждой трубки $w \in W_{2}$ в направлении точки $O$ вдоль линий тока $\in L$ на расстояние $dx$. Это означает, что каждый элемент жидкости, находящийся на внешнем торце, т.е. около стенки сосуда, сместится вдоль линии тока на указанное расстояние. Считаем, для этого, что поначалу жидкость заполняла лишь трубки множества $W_{2}$. Заметим, трубка конечная, самая, что ни на есть классическая.

Каково будет смещение элементов жидкости на втором торце трубки? Т.е. на какое максимальное расстояние от своего первоначального положения сместятся элементы жидкости вдоль линий тока $\in L$, находящиеся около второго торца трубки $w$, т.е. около сечения $Q(u, R_{2})$, где $u \in U_{2}$ трубка, частью которой является $w \in W_{2}$? По теореме 2 рост сечения канала $u$ происходит монотонно, и такое смещение будет иметь величину

$dy < \frac{F(Q(u, 1 - dx))}{F(Q(u, R_{2}))} \cdot dx < \frac{F(Q(u, 1 - dx))}{S(R_{2}) \cdot F(Q(u, 1))} \cdot dx < r(R_{2})$,

которой всегда можно добиться, взяв достаточно подходящий малый $R_{2}$. Это неравенство не зависит от того, какое разбиение $U_{2}$ выбрано. Если уменьшив $R_{2}$ мы не получаем то условие, что сечение каждой трубки из множества $W_{2}$ поверхностью $A(R)$ имеет величину, не превышающую $\delta_{2}$, то дополнительным разбиением трубок, уже твёрдо зафиксировав выбранный $R_{2}$, добиваемся выполнения указанного условия.

Предположим определены множества $W_{n}$ и $U_{n}$ как некие разбиения соответствующих объёмов, и число $R_{n}$. Пусть так же установлена величина $dx_{n}$.

Число $R_{n+1} < \delta_{n+1}$ выбираем настолько малым, что каково бы ни было разбиение $U_{n+1}$ будет выполнено

$dx_{n+1} < \frac{F(Q(u, R_{n} - dx_{n}))}{F(Q(u, R_{n+1}))} \cdot dx_{n} < \frac{F(Q(u, R_{n} - dx_{n}))}{S(R_{n+1}) \cdot F(Q(u, 1))} \cdot dx_{n} < r(R_{n+1})$, для каждой $u \in U_{n+1}$.

Разбиение $W_{n+1}$ составляем из непересекающихся по своей внутренности трубок, один торец которых расположен на поверхности $A(R_{n})$, а второй на поверхности $A(R_{n+1})$. Трубки заполняют весь объём между этими поверхностями. Пусть, каждая трубка $\in W_{n+1}$ является частью трубки $\in U_{n+1}$, и максимальное сечение трубок $\in W_{n+1}$ не превышает величины $\delta_{n+1}$. Последнего добиваемся достаточным измельчением трубок.

В итоге, когда фиксированы разбиения $W_{n}$, получаем следующую картину движения жидкости: Жидкость из каналов разбиения $W_{n}$ переходит в каналы разбиения $W_{n+1}$. Последние, возможно, мельче предыдущих. Жидкость смещается около внешних торцов каждого разбиения $W_{n}$ на величину $dx_{n} < r(R_{n})$, т.е. не достигает точки $O$. В итоге вся жидкость смещается вдоль каналов. Ясно, что каждое разбиение $W_{n}$ можно ещё более измельчить шаг за шагом добившись определения непрерывного и гладкого течения жидкости.

[shwedka]

Инт в сообщении #225250 писал(а):

Выражения "бесконечно малая", "сколь угодно малая" не таинственны, а являются стандартными выражениями математического анализа.

это так, но Вы используете их в каком-то другом смысле.

Возьмите книгу по анализу, извлеките оттуда определение бм и сравните с Вашим.

Инт в сообщении #225286 писал(а):

$dy < \frac{dx}{S(R)} < r \cdot dx $

Обозначения $dy , dx $
не определены. Разговор о бесконечно малых--детский лепет
Неравенство не доказано

-- Вс июн 28, 2009 19:33:49 --

Инт в сообщении #225286 писал(а):

$dy < \frac{F(Q(u, 1 - dx))}{F(Q(u, R_{2}))} \cdot dx < \frac{F(Q(u, 1 - dx))}{S(R_{2}) \cdot F(Q(u, 1))} \cdot dx < r(R_{2})$,

Величины не определены. Неравенство не доказано

Инт в сообщении #225286 писал(а):

Жидкость смещается около внешних торцов каждого разбиения $W_{n}$ на величину $dx_{n} < r(R_{n})$

Не доказано.

Можно так поступать со всеми дальнейшими 'рассуждениями'. Все бессмысленно, пока не придан четкий смысл всяким $dx_{n}$

[Инт]

shwedka в сообщении #225342 писал(а):

Все бессмысленно, пока не придан четкий смысл всяким $dx_{n}$

$dx_{n}$ это строго конечные величины. Т.е они суть ненулевые действительные числа.

[shwedka]

Инт в сообщении #225370 писал(а):

Т.е они суть ненулевые действительные числа

Понятно.Зафиксировали.О бесконечно малых более не вспоминаем.
Теперь,
при фиксированном $dx$ что такое $dy$?
Ответьте и
докажите Ваши неравенства.

[Инт]

Даю доказательство, пока для одного из неравенств.
Поскольку, определено, что $S = S(R) = exp(\frac{1}{R - r(R)})$ и $\frac{R - r(R)}{r(R)} \to 0$, то какова бы ни была положительная константа $A$, окажется $A \cdot (R - r(R)) < r(R)$, при всех достаточно малых $R$. Следовательно, $\frac{1}{R - r(R)} > \frac{A}{r(R)}$ при тех же $R$. Следовательно, $exp(\frac{1}{R - r(R)}) > \frac{A}{r(R)}$ при достаточно малых $R$. Следовательно, $r > \frac{A}{S}$ при всех достаточно малых $R$. Следовательно, если $dy < \frac{A}{S(R)} \cdot dx, то $dy < \frac{A}{S(R)} \cdot dx < r \cdot dx < r = r(R)$ при всех достаточно малых $R$, если $dx$ брать всегда меньше $1$.

Ну да некоторая опечатка. Было написано $dy < \frac{A}{S(R)} \cdot dx < r \cdot dx < r = r(R)$, а надо "если $dy < \frac{A}{S(R)} \cdot dx$, то $dy < r \cdot dx < r = r(R)$".

-- Пн июн 29, 2009 00:55:28 --

Доказываем теперь, что $dy < \frac{F(Q(u, 1 - dx))}{F(Q(u, R_{2}))} \cdot dx < \frac{F(Q(u, 1 - dx))}{S(R_{2}) \cdot F(Q(u, 1))} \cdot dx < r(R_{2})$.

Доказательство. Величина $\frac{F(Q(u, 1 - dx))}{F(Q(u, 1))}$ есть константа, после выбора $dx$ и $u$, а $R_{2}$ можно выбрать произвольно среди достаточно малых. $dy$ это реальное смещение элементов жидости, не превышающее величин $\frac{F(Q(u, 1 - dx))}{F(Q(u, R_{2}))} \cdot dx$ и $\frac{F(Q(u, 1 - dx))}{S(R_{2}) \cdot F(Q(u, 1))} \cdot dx$. По предыдущему неравенству и из-за конечного числа трубок получаем, что $\frac{F(Q(u, 1 - dx))}{S(R_{2}) \cdot F(Q(u, 1))} \cdot dx < r(R_{2})$.

-- Пн июн 29, 2009 01:01:28 --

Неравенство $dx_{n+1} < \frac{F(Q(u, R_{n} - dx_{n}))}{F(Q(u, R_{n+1}))} \cdot dx_{n} < \frac{F(Q(u, R_{n} - dx_{n}))}{S(R_{n+1}) \cdot F(Q(u, 1))} \cdot dx_{n} < r(R_{n+1})$, для каждой $u \in U_{n+1}$, верно. Рассуждаем аналогично, по индукции.

[shwedka]

Инт в сообщении #225377 писал(а):

$dy$ это реальное смещение элементов жидкости

Зафиксируем!!!
Каких элементов??
Где???
Ведь у Вас трубка есть, составленная из траекторий,
ортогональных поверхностям.
$dyе$-расстояние между двумя такими поверхностями??
А что это такое?? В разных местах расстояние между поверхностями вдоль линий тока разное.Или Вы можете доказать, что поверхности эквидистантны??
Посмотрим на доказательство!!! С интересом!
И еще:

Инт в сообщении #225377 писал(а):

если $dy < \frac{A}{S(R)} \cdot dx$

А если реальное смещение элементов жидкости не удовлетворяет этому неравенству,
что станете делать??? Ведь реальное смещение не в Вашей власти!!!

[Инт]

Слишком много эмоций.

Поясню по элементам. Остальное потом. Считаем, что элементы (подвижные точки) жидкости движутся вдоль линий тока $\in L$. Несжимаемость жидкости означает, что если в ней выделить произвольный объём (пусть с хорошей границей), то величина объёма не изменится тогда, когда он переместится вдоль линий тока в определённом направлении.

Ещё замечу, что реальное смещение даже в Вашей власти.

[CowboyHugges]

Инт в сообщении #225286 писал(а):

Так как жидкость по существу не взаимодействует со стенкой. Можете считать, что это водяной шар в невесомости, который схопывается определённым образом.

Ну так, а в чём тогда парадокс, какое тогда "просачивание", если у Вас и стенки-то как таковой нет. Естественно если подействовать на жидкость у поверхности силой ("сдвинуть элемент жидкости у основания трубки"), то она с другого конца вероятно вытечет без граничных условий. Правда и тут как замечает Вам г-жа shwedka, Вы почему-то рассматриваете движение жидкости как Вам заблагорассудится, вводя свои функции и линии тока по которым жидкость от чего-то должна двигаться