Исчезновение несжимаемой жидкости из закрытого сосуда

[Инт]

Исчезновение несжимаемой жидкости из запаянного сосуда

Математики уверены, что их способы рассуждения носят абсолютный характер. В этом же уверен и я. Но некоторая математическая практика позволяет задать следующие вопросы: Не появляются ли некоторые математические выводы лишь в результате определённого порядка математической рефлексии? Если сменить этот порядок, оставляя рассуждения строгими, не изменятся ли выводы?

Так, математики и физики привыкли представлять «бесконечно малые величины первого порядка» в виде неких малых прямых отрезков или участков плоскостей. Заменяя, скажем, конкретную гладкую геометрическую поверхность на ломанную поверхность, составленную из комбинаций малых кусков плоскостей, делают вывод относительно ломанной поверхности, и выводы переносят на гладкую поверхность в пределе, т.е. если свойство ломанной поверхности сохраняется при всех достаточно больших $n$, где $n$ – номер ломанной поверхности, то это есть свойство гладкой поверхности. Аналогично, из элементарных кубических объёмов могут составить какой-нибудь объём $V$ как точечное множество с гладкой границей, и заключить, например, о величине $V$, просто подсчитывая число кубиков, заключённых в множество $V$. Соответственно, всё это сказывается на числовой алгебре, сопровождающей рассуждения. Такими методами, к примеру, доказывают известную в математическом анализе теорему Гаусса, связывающую интенсивность источников-стоков с потоком поля через поверхность. Является ли доказательство теоремы Гаусса общезначимым или всего лишь частным конструктом математической рефлексии? Не будет ли теорема выполнена только из-за того, что в её доказательстве используются конкретные неявные аксиомы, касающиеся бесконечно малых величин?

В этой заметке, я докажу, что можно организовать гладкое движение несжимаемой жидкости в абсолютно закрытом сосуде так, что жидкость исчезнет из сосуда.

§1. Конструкция каналов в замкнутом сосуде

Пусть $\Sigma(r)$ – сфера радиуса $r$ с центром в точке $O$. Пусть $\Sigma(1) = \Sigma$ считается твёрдой, непроницаемой стенкой сосуда.

Теорема 1. Пусть, $R > r$, $r = r(R)$ и отношение $\frac{R - r}{r}$ стремится к нулю, когда $R$ стремится к нулю. Пусть $S = S(R)$ – заранее заданная, стремящаяся к положительной бесконечности функция. Существует множество поверхностей $M$ такое, что для каждого $R$ в множестве $M$ найдётся единственная поверхность $A(R)$, которая расположена в объёме, ограниченном сферами $\Sigma(R)$ и $\Sigma(r)$, площадь $A(R)$ больше величины $S(R)$, и $A(R)$ – бесконечно гладкая и не пересекается с другими поверхностями семейства $M$.

Линии ортогональные поверхностям $A(R) \in M$ пусть составляют семейство линий $L$ такое, что каждая трубка $T$, как объёмная фигура, граница которой образованна линиями, взятыми из $L$, пересекает поверхность $A(R)$ по куску этой поверхности $Q(T, R) = T \cap A(R)$, который является сечением трубки. Трубки такого рода, пусть образуют множество трубок $U = U(M)$.

Теорема 2. Всегда можно подобрать семейство $M$ так, что для каждой трубки $T \in U(M)$ площадь сечения $Q(T, R)$ есть величина $F(Q(T, R))$, монотонно растущая до бесконечности с уменьшением $R$, так что всегда $F(Q(T, R)) > S(R) \cdot F(Q(T, 1))$.

Доказательства теорем я опускаю, так как доказательства хотя и весьма важны, но рутинны и достаточно простые. Поясню лишь, что каково бы ни было ненулевое расстояние между сферами $\Sigma(R)$ и $\Sigma(r)$, и каково бы ни было число $A$, всегда существует бесконечно гладкая поверхность, имеющая площадь больше чем $A$ и расположенная между сферами.

§2. Организация движения жидкости для того, чтобы она в конце концов вытекла из сосуда

Теорема 2 верна в частности для канала, который сколь угодно тонок. Т.е., будем считать, для бесконечно гладкого и бесконечно тонкого канала $dT \in U$. Сдвинем жидкость в этом канале строго вдоль его стенок от стенки сосуда $\Sigma$ в сторону точки $O$ на малое расстояние. По теореме 2, $F(Q(dT, R)) > S(R) \cdot F(Q(dT, 1))$, и функцию $S$ мы можем задать заранее сколь угодно быстро растущей. Поэтому, если в начале канала, вблизи стенки $\Sigma$ жидкость сдвинется на расстояние $dx$, то вблизи поверхности $A(R)$, т.е. вблизи сечения $Q(dT, R)$ канала, из-за несжимаемости жидкости, т.е. из-за сохранения её объёма, жидкость сдвинется на расстояние вдоль канала $dy = \frac{F(Q(dT, 1)}{F(Q(dT, R)} \cdot dx$, $dy < \frac{dx}{S(R)}$. Причём, заранее подберём функцию $S$ так, чтобы $dy$ было всегда меньше, чем расстояние между сферами $\Sigma(R)$ и $\Sigma(r)$, в частности, $dy$ окажется меньше расстояния от сечения $Q(dT, R)$ до центра $O$. Соответственно, полагая $dx = dx_1$, $dy = dx_2$, величины $dx_{n}$, $n = 1, 2, 3,…$, определяем одну за другой в сечениях $Q(dT, R_{n})$, $R_{n} \to 0$, сколь угодно малыми по отношению к величине $dx$. В результате, жидкость можно сдвинуть вдоль канала, не сжимая, в направлении точки $O$.

Рассматривая, конечное количество попарно непересекающихся каналов, образующих весь объём сосуда, и увеличивая число каналов до бесконечности, можно добиться бесконечной гладкости в движении жидкости. В итоге, верна

Теорема 3. Вся жидкость вытечет вдоль каналов $\in U$ в направлении точки $O$.

§3. Другие теоремы и вопросы

Можно задать вопрос, не является ли подсчёт обычного евклидового объёма лишь некоторой условностью, связанной с методом подсчёта? Т.е. можно ли указать другие методы подсчёта. В самом деле, если считать объём канала как произведение длины его некоторого участка на сечение канала, то можно ли получить объем евклидового шара равный бесконечности или какому-нибудь другому числу? Этот вопрос мною почти выяснен. Но вот следующий нет.

Именно. Площадь поверхностей $A(R)$ может стремится не к бесконечности, а к конечной величине, когда $R$ стремится к $0$. Можно ли развернуть эти поверхности непрерывным (кроме разрыва в точке $O$) гладким отображением так, чтобы они превратились в сферы такой же площади, что и поверхности. Причём, сферы $\Sigma(R)$, стремящиеся к точке $O$ могут ли отобразиться на поверхности, площадь которых стремится к нулю. В итоге, предположительно, получим следующее: к единичной сфере могут стремится замкнутые, бесконечно гладкие поверхности, ограничивающие объёмы, которые включают единичную сферу, но площадь таких поверхностей стремится к нулю.

[CowboyHugges]

Каким условиям-то это Ваша жидкость удовлетворяет хоть: уравнение состояния, граничные условия и т.д. Ей богу, какой-то поток сознания. Почему жидкость сдвинется как отношение какой-то непонятной функции, которая неизвестно какой физический смысл имеет? Вы про Навье-Стокса слышали?

[Инт]

CowboyHugges в сообщении #225137 писал(а):

Каким условиям-то это Ваша жидкость удовлетворяет хоть: уравнение состояния, граничные условия и т.д. Ей богу, какой-то поток сознания. Почему жидкость сдвинется как отношение какой-то непонятной функции, которая неизвестно какой физический смысл имеет? Вы про Навье-Стокса слышали?

Ваше возражение только означает, что Вы не вдумались в содержание. Слова типа "поток сознания" прошу не употреблять, поскольку, я сам умею так же.

Хотелось бы знать, что означает Ваша фраза "физический смысл"? Уравнение Навье-Стокса вообще говоря, здесь не причём. Здесь фундаментальная математика. Само уравнение и вывод следствий из упомянутого уравнения осуществляется на каких-то первичных принципах. Я же предъявляю некие строгие рассуждения, на других принципах, которые приводят к выводам, отличным от классических.

Несжимаемость жидкости означает, что классическая дивергенция поля скоростей в канале тождественна нулю. Фактически это единственное условие, если не считать, что движение жидкости должно быть бесконенчно гладким. Движение таково: жидкость "отходит от стенки сосуда" и движется вдоль канала. Поскольку рассматривается математика, а не физика, то как заставить её так двигаться - другой вопрос. Смысл всех функций предельно разъяснён. Функция $S$ имеет лишь математический, геометрический смысл "скорости роста сечения канала при уменьшении $R$ до $0$".

[Hottabych]

Инт в сообщении #225133 писал(а):

Исчезновение несжимаемой жидкости из запаянного сосуда

Теорема 1. Пусть, $R > r$, $r = r(R)$ и отношение $\frac{R - r}{r}$ стремится к нулю, когда $R$ стремится к нулю.
.

А я то, грешным делом, всегда думал, что выражение $\frac{R-r}{r}$ при $R$ стремится к нулю, будет стремиться к $-1$. Вот я тормоз!

[Инт]

Hottabych в сообщении #225143 писал(а):

А я то, грешным делом, всегда думал, что выражение $\frac{R-r}{r}$ при $R$ стремится к нулю, будет стремиться к $-1$. Вот я тормоз!

Интересно, за каким "грешным делом" думали?

Мною написано: $R > r$, $r = r(R)$ и отношение $\frac{R - r}{r}$ стремится к нулю, когда $R$ стремится к нулю. Т.е. функция $r = r(R)$ такова, что позволяет достичь указанного предела.

[ewert]

Инт в сообщении #225133 писал(а):

Математики уверены, что их способы рассуждения носят абсолютный характер. В этом же уверен и я.

Напрасно, кстати. Безотносительно к сосуду -- математики уверены только в том, что их анализ верен ровно настолько, насколько предложенная матмодель отражает физическую реальность. И если "засыпка" неадекватна, то и последующие рассуждения ничего уже исправить не смогут.

(это я типа Гексли как бы пытаюсь цитировать)

[Hottabych]

Инт в сообщении #225144 писал(а):

Hottabych в сообщении #225143 писал(а):

А я то, грешным делом, всегда думал, что выражение $\frac{R-r}{r}$ при $R$ стремится к нулю, будет стремиться к $-1$. Вот я тормоз!

Интересно, за каким "грешным делом" думали?

Мною написано: $R > r$, $r = r(R)$ и отношение $\frac{R - r}{r}$ стремится к нулю, когда $R$ стремится к нулю. Т.е. функция $r = r(R)$ такова, что позволяет достичь указанного предела.

А укажите явно такую функцию! Ну пожалуйста. Уж очень посмотреть хочется.

[Инт]

Hottabych в сообщении #225149 писал(а):

А укажите явно такую функцию! Ну пожалуйста. Уж очень посмотреть хочется.

$R = t + t^2$, $r = t$, $t$ - некоторый параметр. $\frac{R-r}{r} = \frac{(t+t^2) - t}{t} \to 0$, если $t \to 0$. Тут ещё надо добавить, что функция такова лишь в некоторой окрестности $O$.

-- Сб июн 27, 2009 20:32:41 --

ewert в сообщении #225146 писал(а):

Инт в сообщении #225133 писал(а):

Математики уверены, что их способы рассуждения носят абсолютный характер. В этом же уверен и я.

Напрасно, кстати. Безотносительно к сосуду -- математики уверены только в том, что их анализ верен ровно настолько, насколько предложенная матмодель отражает физическую реальность. И если "засыпка" неадекватна, то и последующие рассуждения ничего уже исправить не смогут.

(это я типа Гексли как бы пытаюсь цитировать)

Вы про что? У Вас опять какое-то бесполезное и мнимое филосовствование. Меня интересуют технические возражения, если их можно выдвинуть.

[CowboyHugges]

Инт, объясните какой физический смысл имеют функции $F$ и $S$, первую Вы задали произвольно, функцию $F$ нашли безотносительно жидкости, почему же жидеость будет сдвигаться как отношение этой произвольно заданной функции?

[shwedka]

Инт в сообщении #225133 писал(а):

математики и физики привыкли представлять «бесконечно малые величины первого порядка» в виде неких малых прямых отрезков или участков плоскостей.

Математики уже давно отвыкли это делать.

Инт в сообщении #225133 писал(а):

если свойство ломанной поверхности сохраняется при всех достаточно больших $n$, где $n$ – номер ломанной поверхности, то это есть свойство гладкой поверхности.

Ошибаетесь. Математики таких рассуждений не проводят.

Инт в сообщении #225133 писал(а):

для бесконечно гладкого и бесконечно тонкого канала $dT \in U$

для последнего понятия определение отсутствует. а. Что такое бесконечно тонкий. б. Гладкость вплоть до $r=0$?

Инт в сообщении #225133 писал(а):

на расстояние $dx$

Что это такое?? Определение отсутствует.

Инт в сообщении #225133 писал(а):

Причём, заранее подберём функцию $S$ так, чтобы $dy$ было всегда меньше, чем расстояние

Не доказано, что это возможно.

[Инт]

CowboyHugges в сообщении #225161 писал(а):

Инт, объясните какой физический смысл имеют функции $F$ и $S$, первую Вы задали произвольно, функцию $F$ нашли безотносительно жидкости, почему же жидеость будет сдвигаться как отношение этой произвольно заданной функции?

Указанные функции никакого физического смысла не имеют. Только математический. Суть их в следующем: $S$ - функция которая ограничивает наименьшую скорость роста площади поверхности или сечений той или иной трубки. Фунция $F$ это площать сечения, которое указано как аргумент функции.

[CowboyHugges]

Инт, тогда вопрос остается: почему жидкость сдвинется именно по указанной Вами формуле?

[Инт]

shwedka в сообщении #225163 писал(а):

Инт в сообщении #225133 писал(а):

математики и физики привыкли представлять «бесконечно малые величины первого порядка» в виде неких малых прямых отрезков или участков плоскостей.

Математики уже давно отвыкли это делать.

Далеко не все отвыкли, только некоторые. Если вернуться к обоснованию обычных приёмов математического анализа, то с неизбежностью столкнутся с этим вопросом. Я не отказываюсь обсуждать вопрос, но предлагаю пока не делать этого, так как он слишком общего характера. Предлагаю сосредоточиться на технических деталях, которые Вы заприметили. За что Вам плюс.

shwedka в сообщении #225163 писал(а):

Инт в сообщении #225133 писал(а):

если свойство ломанной поверхности сохраняется при всех достаточно больших $n$, где $n$ – номер ломанной поверхности, то это есть свойство гладкой поверхности.

Ошибаетесь. Математики таких рассуждений не проводят.

Ошибаетесь, проводят.

shwedka в сообщении #225163 писал(а):

Инт в сообщении #225133 писал(а):

для бесконечно гладкого и бесконечно тонкого канала $dT \in U$

для последнего понятия определение отсутствует. а. Что такое бесконечно тонкий. б. Гладкость вплоть до $r=0$?

Ну да. Допущена некоторая вольность речи. Под "бесконечно тонким каналом" имелся ввиду канал со сколь угодно малым сечением. "Бесконечно гладкий", это который имеет бесконечно гладкую границу как конечный канал. А если, действительно, взять бесконечно тонкий канал, т.е. по существу линию, то он превращается в бесконечно гладкую линию, т.е. имеющую все соответствующие производные.

shwedka в сообщении #225163 писал(а):

Инт в сообщении #225133 писал(а):

на расстояние $dx$

Что это такое?? Определение отсутствует.

Расстояние $dx$ это смещение жидкости, которое производится в канале вдоль канала. Канал $T$ считаем имеющим два сечения: сечение $Q(T, R)$ - на поверхности $A(R)$, и сечение $Q(T, 1)$ на стенке сосуда $\Sigma$, т.е. $Q(T, 1)$ - торец канала, трубки. Со стороны стенки сосуда давим на жидкость и смещаем её вдоль канала на расстояние $dx$. $dx$ считаем конечным расстоянием, которое определено со сколь угодно большой точностью, в зависимости от того, насколько малым мы взяли сечение кананала и длину смещения. В другом сечении канала жидкость смещается на расстояние $dy$.

shwedka в сообщении #225163 писал(а):

Инт в сообщении #225133 писал(а):

Причём, заранее подберём функцию $S$ так, чтобы $dy$ было всегда меньше, чем расстояние

Не доказано, что это возможно.

Действительно, простейшие доказательства опущены. Поэтому поясняю. Из-за несжимаемости жидкости, т.е. пользуясь сохранение её объёма, получаем, что $F(Q(T, R))dy = F(Q(T, 1))dx$. Если $F(Q(T, R))$ может быть сделана сколь угодно большой величиной по отношению к величине $F(Q(T, 1))$, то $dy$ будет сколь угодно малым по отношению к $dx$. То, что $F(Q(T, R))$ может быть сколь угодно большим и обоснуется теоремами 1 и 2. Но ещё раз поясню. Функцию $S(R)$ можно заранее задать растущей со сколь угодно большой, но фиксированной "скоростью" как абстрактную числовую функцию. Каково бы ни было число $A$, между сферами $\Sigma(R)$ и $\Sigma(r)$ всегда можно найти поверхность $A(R)$, имеющую площадь больше чем число $A$. В частности, поверхность находится, если $A = S(R)$. Аналогично, пропорционально площадям торцов на стенке сосуда, достаточно быстро растёт площадь сечения $Q(T, R)$. Скорость роста площади сечения $Q(T, R)$ канала задаётся заранее по сути функцией $S$.

Надеюсь, что что-то разъяснил.

-- Сб июн 27, 2009 23:16:56 --

CowboyHugges в сообщении #225180 писал(а):

Инт, тогда вопрос остается: почему жидкость сдвинется именно по указанной Вами формуле?

В общем то это я и пытался объяснить в самом первом посте. Надеюсь, что пояснения для shwedkи так же могут что-то прояснить. Но независимо от этого поясняю Вам в грубом приближении: Берём какой-то канал. Его сечение растёт неограниченно и с заранее заданной скоростью. Так как жидкость не сжимаемая, то когда вдоль канала мы сдвинем жидкость на расстояние $dx$ на одном торце на стенке сосуда, то на другом торце, т.е. строго говоря, в каком-то сечении, расположенном ближе к $O$, жидкость сдвинется на существенно более малое расстояние $dy$, так как сечение канала будет во много больше площади торца на стенке сосуда. Собственно, никакой формулы нет. Есть некоторое математическое рассуждение о том, что такое движение осуществимо.

Прояснилось или нет?

[shwedka]

Уточняю вопросCowboyHugges
Вы молчаливо предполагаете, и это подтверждается ответом на мои вопросы,
что жидкость МОЖЕТ двигается вдоль линий, ортогональных системе поверхностей $A(R)$.
По крайней мере, доказательство этого свойства необходимо.В особенности,в пределе $R\to0$.
ИНаче говоря,
от Вас требуется ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
существования такого движения.
Рискну заявить,
что Ваш парадоксальный вывод и служит доказательством от противного отсутствия такого движения.

Сверх этого, все Ваши упоминания 'бесконечно малых' объектов некоррекрны, так как с общепринятыми в математике они расходятся, а своих определений Вы не даете.
Например,

Инт в сообщении #225190 писал(а):

А если, действительно, взять бесконечно тонкий канал, т.е. по существу линию,

Хороший пример того, как слова 'по существу' используются для обмана.

[CowboyHugges]

Инт, думаю что тема затянется ибо любопытна, давайте начнём сначала и понемножку, с Вашего позволения
Опустим обсуждение начального параграфа. Первый вопрос: Вы употребляете общепринятые термины "твердая, непроницаемая оболочка"? то есть элементарный поток в каждой точке $\Sigma$ равен нулю (например П.Жермен "Механика сплошных сред") и нормальная компонента скорости жидкости относительно стенки равна нулю (ну тут думаю не так )