2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Исчезновение несжимаемой жидкости из закрытого сосуда
Сообщение27.06.2009, 16:55 


18/10/08
622
Сибирь
Исчезновение несжимаемой жидкости из запаянного сосуда

Математики уверены, что их способы рассуждения носят абсолютный характер. В этом же уверен и я. Но некоторая математическая практика позволяет задать следующие вопросы: Не появляются ли некоторые математические выводы лишь в результате определённого порядка математической рефлексии? Если сменить этот порядок, оставляя рассуждения строгими, не изменятся ли выводы?

Так, математики и физики привыкли представлять «бесконечно малые величины первого порядка» в виде неких малых прямых отрезков или участков плоскостей. Заменяя, скажем, конкретную гладкую геометрическую поверхность на ломанную поверхность, составленную из комбинаций малых кусков плоскостей, делают вывод относительно ломанной поверхности, и выводы переносят на гладкую поверхность в пределе, т.е. если свойство ломанной поверхности сохраняется при всех достаточно больших $n$, где $n$ – номер ломанной поверхности, то это есть свойство гладкой поверхности. Аналогично, из элементарных кубических объёмов могут составить какой-нибудь объём $V$ как точечное множество с гладкой границей, и заключить, например, о величине $V$, просто подсчитывая число кубиков, заключённых в множество $V$. Соответственно, всё это сказывается на числовой алгебре, сопровождающей рассуждения. Такими методами, к примеру, доказывают известную в математическом анализе теорему Гаусса, связывающую интенсивность источников-стоков с потоком поля через поверхность. Является ли доказательство теоремы Гаусса общезначимым или всего лишь частным конструктом математической рефлексии? Не будет ли теорема выполнена только из-за того, что в её доказательстве используются конкретные неявные аксиомы, касающиеся бесконечно малых величин?

В этой заметке, я докажу, что можно организовать гладкое движение несжимаемой жидкости в абсолютно закрытом сосуде так, что жидкость исчезнет из сосуда.

§1. Конструкция каналов в замкнутом сосуде

Пусть $\Sigma(r)$ – сфера радиуса $r$ с центром в точке $O$. Пусть $\Sigma(1) = \Sigma$ считается твёрдой, непроницаемой стенкой сосуда.

Теорема 1. Пусть, $R > r$, $r = r(R)$ и отношение $\frac{R - r}{r}$ стремится к нулю, когда $R$ стремится к нулю. Пусть $S = S(R)$ – заранее заданная, стремящаяся к положительной бесконечности функция. Существует множество поверхностей $M$ такое, что для каждого $R$ в множестве $M$ найдётся единственная поверхность $A(R)$, которая расположена в объёме, ограниченном сферами $\Sigma(R)$ и $\Sigma(r)$, площадь $A(R)$ больше величины $S(R)$, и $A(R)$ – бесконечно гладкая и не пересекается с другими поверхностями семейства $M$.

Линии ортогональные поверхностям $A(R) \in M$ пусть составляют семейство линий $L$ такое, что каждая трубка $T$, как объёмная фигура, граница которой образованна линиями, взятыми из $L$, пересекает поверхность $A(R)$ по куску этой поверхности $Q(T, R) = T \cap A(R)$, который является сечением трубки. Трубки такого рода, пусть образуют множество трубок $U = U(M)$.

Теорема 2. Всегда можно подобрать семейство $M$ так, что для каждой трубки $T \in U(M)$ площадь сечения $Q(T, R)$ есть величина $F(Q(T, R))$, монотонно растущая до бесконечности с уменьшением $R$, так что всегда $F(Q(T, R)) > S(R) \cdot F(Q(T, 1))$.

Доказательства теорем я опускаю, так как доказательства хотя и весьма важны, но рутинны и достаточно простые. Поясню лишь, что каково бы ни было ненулевое расстояние между сферами $\Sigma(R)$ и $\Sigma(r)$, и каково бы ни было число $A$, всегда существует бесконечно гладкая поверхность, имеющая площадь больше чем $A$ и расположенная между сферами.

§2. Организация движения жидкости для того, чтобы она в конце концов вытекла из сосуда

Теорема 2 верна в частности для канала, который сколь угодно тонок. Т.е., будем считать, для бесконечно гладкого и бесконечно тонкого канала $dT \in U$. Сдвинем жидкость в этом канале строго вдоль его стенок от стенки сосуда $\Sigma$ в сторону точки $O$ на малое расстояние. По теореме 2, $F(Q(dT, R)) > S(R) \cdot F(Q(dT, 1))$, и функцию $S$ мы можем задать заранее сколь угодно быстро растущей. Поэтому, если в начале канала, вблизи стенки $\Sigma$ жидкость сдвинется на расстояние $dx$, то вблизи поверхности $A(R)$, т.е. вблизи сечения $Q(dT, R)$ канала, из-за несжимаемости жидкости, т.е. из-за сохранения её объёма, жидкость сдвинется на расстояние вдоль канала $dy = \frac{F(Q(dT, 1)}{F(Q(dT, R)} \cdot dx$, $dy < \frac{dx}{S(R)}$. Причём, заранее подберём функцию $S$ так, чтобы $dy$ было всегда меньше, чем расстояние между сферами $\Sigma(R)$ и $\Sigma(r)$, в частности, $dy$ окажется меньше расстояния от сечения $Q(dT, R)$ до центра $O$. Соответственно, полагая $dx = dx_1$, $dy = dx_2$, величины $dx_{n}$, $n = 1, 2, 3,…$, определяем одну за другой в сечениях $Q(dT, R_{n})$, $R_{n} \to 0$, сколь угодно малыми по отношению к величине $dx$. В результате, жидкость можно сдвинуть вдоль канала, не сжимая, в направлении точки $O$.

Рассматривая, конечное количество попарно непересекающихся каналов, образующих весь объём сосуда, и увеличивая число каналов до бесконечности, можно добиться бесконечной гладкости в движении жидкости. В итоге, верна

Теорема 3. Вся жидкость вытечет вдоль каналов $\in U$ в направлении точки $O$.

§3. Другие теоремы и вопросы

Можно задать вопрос, не является ли подсчёт обычного евклидового объёма лишь некоторой условностью, связанной с методом подсчёта? Т.е. можно ли указать другие методы подсчёта. В самом деле, если считать объём канала как произведение длины его некоторого участка на сечение канала, то можно ли получить объем евклидового шара равный бесконечности или какому-нибудь другому числу? Этот вопрос мною почти выяснен. Но вот следующий нет.

Именно. Площадь поверхностей $A(R)$ может стремится не к бесконечности, а к конечной величине, когда $R$ стремится к $0$. Можно ли развернуть эти поверхности непрерывным (кроме разрыва в точке $O$) гладким отображением так, чтобы они превратились в сферы такой же площади, что и поверхности. Причём, сферы $\Sigma(R)$, стремящиеся к точке $O$ могут ли отобразиться на поверхности, площадь которых стремится к нулю. В итоге, предположительно, получим следующее: к единичной сфере могут стремится замкнутые, бесконечно гладкие поверхности, ограничивающие объёмы, которые включают единичную сферу, но площадь таких поверхностей стремится к нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исчезновение несжимаемой жидкости из закрытого сосуда
Сообщение27.06.2009, 17:59 


23/05/09
192
Каким условиям-то это Ваша жидкость удовлетворяет хоть: уравнение состояния, граничные условия и т.д. Ей богу, какой-то поток сознания. Почему жидкость сдвинется как отношение какой-то непонятной функции, которая неизвестно какой физический смысл имеет? Вы про Навье-Стокса слышали?

 Профиль  
                  
 
 Re: Исчезновение несжимаемой жидкости из закрытого сосуда
Сообщение27.06.2009, 18:17 


18/10/08
622
Сибирь
CowboyHugges в сообщении #225137 писал(а):
Каким условиям-то это Ваша жидкость удовлетворяет хоть: уравнение состояния, граничные условия и т.д. Ей богу, какой-то поток сознания. Почему жидкость сдвинется как отношение какой-то непонятной функции, которая неизвестно какой физический смысл имеет? Вы про Навье-Стокса слышали?
Ваше возражение только означает, что Вы не вдумались в содержание. Слова типа "поток сознания" прошу не употреблять, поскольку, я сам умею так же.

Хотелось бы знать, что означает Ваша фраза "физический смысл"? Уравнение Навье-Стокса вообще говоря, здесь не причём. Здесь фундаментальная математика. Само уравнение и вывод следствий из упомянутого уравнения осуществляется на каких-то первичных принципах. Я же предъявляю некие строгие рассуждения, на других принципах, которые приводят к выводам, отличным от классических.

Несжимаемость жидкости означает, что классическая дивергенция поля скоростей в канале тождественна нулю. Фактически это единственное условие, если не считать, что движение жидкости должно быть бесконенчно гладким. Движение таково: жидкость "отходит от стенки сосуда" и движется вдоль канала. Поскольку рассматривается математика, а не физика, то как заставить её так двигаться - другой вопрос. Смысл всех функций предельно разъяснён. Функция $S$ имеет лишь математический, геометрический смысл "скорости роста сечения канала при уменьшении $R$ до $0$".

 Профиль  
                  
 
 Re: Исчезновение несжимаемой жидкости из закрытого сосуда
Сообщение27.06.2009, 18:54 


26/04/08
11
Инт в сообщении #225133 писал(а):
Исчезновение несжимаемой жидкости из запаянного сосуда

Теорема 1. Пусть, $R > r$, $r = r(R)$ и отношение $\frac{R - r}{r}$ стремится к нулю, когда $R$ стремится к нулю.
.


А я то, грешным делом, всегда думал, что выражение $\frac{R-r}{r}$ при $R$ стремится к нулю, будет стремиться к $-1$. Вот я тормоз!

 Профиль  
                  
 
 Re: Исчезновение несжимаемой жидкости из закрытого сосуда
Сообщение27.06.2009, 19:00 


18/10/08
622
Сибирь
Hottabych в сообщении #225143 писал(а):
А я то, грешным делом, всегда думал, что выражение $\frac{R-r}{r}$ при $R$ стремится к нулю, будет стремиться к $-1$. Вот я тормоз!
Интересно, за каким "грешным делом" думали?

Мною написано: $R > r$, $r = r(R)$ и отношение $\frac{R - r}{r}$ стремится к нулю, когда $R$ стремится к нулю. Т.е. функция $r = r(R)$ такова, что позволяет достичь указанного предела.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исчезновение несжимаемой жидкости из закрытого сосуда
Сообщение27.06.2009, 19:10 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Инт в сообщении #225133 писал(а):
Математики уверены, что их способы рассуждения носят абсолютный характер. В этом же уверен и я.

Напрасно, кстати. Безотносительно к сосуду -- математики уверены только в том, что их анализ верен ровно настолько, насколько предложенная матмодель отражает физическую реальность. И если "засыпка" неадекватна, то и последующие рассуждения ничего уже исправить не смогут.

(это я типа Гексли как бы пытаюсь цитировать)

 Профиль  
                  
 
 Re: Исчезновение несжимаемой жидкости из закрытого сосуда
Сообщение27.06.2009, 19:12 


26/04/08
11
Инт в сообщении #225144 писал(а):
Hottabych в сообщении #225143 писал(а):
А я то, грешным делом, всегда думал, что выражение $\frac{R-r}{r}$ при $R$ стремится к нулю, будет стремиться к $-1$. Вот я тормоз!
Интересно, за каким "грешным делом" думали?

Мною написано: $R > r$, $r = r(R)$ и отношение $\frac{R - r}{r}$ стремится к нулю, когда $R$ стремится к нулю. Т.е. функция $r = r(R)$ такова, что позволяет достичь указанного предела.

А укажите явно такую функцию! Ну пожалуйста. Уж очень посмотреть хочется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исчезновение несжимаемой жидкости из закрытого сосуда
Сообщение27.06.2009, 19:29 


18/10/08
622
Сибирь
Hottabych в сообщении #225149 писал(а):
А укажите явно такую функцию! Ну пожалуйста. Уж очень посмотреть хочется.
$R = t + t^2$, $r = t$, $t$ - некоторый параметр. $\frac{R-r}{r} = \frac{(t+t^2) - t}{t} \to 0$, если $t \to 0$. Тут ещё надо добавить, что функция такова лишь в некоторой окрестности $O$.

-- Сб июн 27, 2009 20:32:41 --

ewert в сообщении #225146 писал(а):
Инт в сообщении #225133 писал(а):
Математики уверены, что их способы рассуждения носят абсолютный характер. В этом же уверен и я.

Напрасно, кстати. Безотносительно к сосуду -- математики уверены только в том, что их анализ верен ровно настолько, насколько предложенная матмодель отражает физическую реальность. И если "засыпка" неадекватна, то и последующие рассуждения ничего уже исправить не смогут.

(это я типа Гексли как бы пытаюсь цитировать)
Вы про что? У Вас опять какое-то бесполезное и мнимое филосовствование. Меня интересуют технические возражения, если их можно выдвинуть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исчезновение несжимаемой жидкости из закрытого сосуда
Сообщение27.06.2009, 20:03 


23/05/09
192
Инт, объясните какой физический смысл имеют функции $F$ и $S$, первую Вы задали произвольно, функцию $F$ нашли безотносительно жидкости, почему же жидеость будет сдвигаться как отношение этой произвольно заданной функции?

 Профиль  
                  
 
 Re: Исчезновение несжимаемой жидкости из закрытого сосуда
Сообщение27.06.2009, 20:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
Инт в сообщении #225133 писал(а):
математики и физики привыкли представлять «бесконечно малые величины первого порядка» в виде неких малых прямых отрезков или участков плоскостей.

Математики уже давно отвыкли это делать.
Инт в сообщении #225133 писал(а):
если свойство ломанной поверхности сохраняется при всех достаточно больших $n$, где $n$ – номер ломанной поверхности, то это есть свойство гладкой поверхности.

Ошибаетесь. Математики таких рассуждений не проводят.
Инт в сообщении #225133 писал(а):
для бесконечно гладкого и бесконечно тонкого канала $dT \in U$

для последнего понятия определение отсутствует. а. Что такое бесконечно тонкий. б. Гладкость вплоть до $r=0$?
Инт в сообщении #225133 писал(а):
на расстояние $dx$

Что это такое?? Определение отсутствует.
Инт в сообщении #225133 писал(а):
Причём, заранее подберём функцию $S$ так, чтобы $dy$ было всегда меньше, чем расстояние

Не доказано, что это возможно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исчезновение несжимаемой жидкости из закрытого сосуда
Сообщение27.06.2009, 20:40 


18/10/08
622
Сибирь
CowboyHugges в сообщении #225161 писал(а):
Инт, объясните какой физический смысл имеют функции $F$ и $S$, первую Вы задали произвольно, функцию $F$ нашли безотносительно жидкости, почему же жидеость будет сдвигаться как отношение этой произвольно заданной функции?
Указанные функции никакого физического смысла не имеют. Только математический. Суть их в следующем: $S$ - функция которая ограничивает наименьшую скорость роста площади поверхности или сечений той или иной трубки. Фунция $F$ это площать сечения, которое указано как аргумент функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исчезновение несжимаемой жидкости из закрытого сосуда
Сообщение27.06.2009, 21:15 


23/05/09
192
Инт, тогда вопрос остается: почему жидкость сдвинется именно по указанной Вами формуле?

 Профиль  
                  
 
 Re: Исчезновение несжимаемой жидкости из закрытого сосуда
Сообщение27.06.2009, 22:04 


18/10/08
622
Сибирь
shwedka в сообщении #225163 писал(а):
Инт в сообщении #225133 писал(а):
математики и физики привыкли представлять «бесконечно малые величины первого порядка» в виде неких малых прямых отрезков или участков плоскостей.
Математики уже давно отвыкли это делать.
Далеко не все отвыкли, только некоторые. Если вернуться к обоснованию обычных приёмов математического анализа, то с неизбежностью столкнутся с этим вопросом. Я не отказываюсь обсуждать вопрос, но предлагаю пока не делать этого, так как он слишком общего характера. Предлагаю сосредоточиться на технических деталях, которые Вы заприметили. За что Вам плюс.
shwedka в сообщении #225163 писал(а):
Инт в сообщении #225133 писал(а):
если свойство ломанной поверхности сохраняется при всех достаточно больших $n$, где $n$ – номер ломанной поверхности, то это есть свойство гладкой поверхности.
Ошибаетесь. Математики таких рассуждений не проводят.
Ошибаетесь, проводят.
shwedka в сообщении #225163 писал(а):
Инт в сообщении #225133 писал(а):
для бесконечно гладкого и бесконечно тонкого канала $dT \in U$
для последнего понятия определение отсутствует. а. Что такое бесконечно тонкий. б. Гладкость вплоть до $r=0$?
Ну да. Допущена некоторая вольность речи. Под "бесконечно тонким каналом" имелся ввиду канал со сколь угодно малым сечением. "Бесконечно гладкий", это который имеет бесконечно гладкую границу как конечный канал. А если, действительно, взять бесконечно тонкий канал, т.е. по существу линию, то он превращается в бесконечно гладкую линию, т.е. имеющую все соответствующие производные.
shwedka в сообщении #225163 писал(а):
Инт в сообщении #225133 писал(а):
на расстояние $dx$
Что это такое?? Определение отсутствует.
Расстояние $dx$ это смещение жидкости, которое производится в канале вдоль канала. Канал $T$ считаем имеющим два сечения: сечение $Q(T, R)$ - на поверхности $A(R)$, и сечение $Q(T, 1)$ на стенке сосуда $\Sigma$, т.е. $Q(T, 1)$ - торец канала, трубки. Со стороны стенки сосуда давим на жидкость и смещаем её вдоль канала на расстояние $dx$. $dx$ считаем конечным расстоянием, которое определено со сколь угодно большой точностью, в зависимости от того, насколько малым мы взяли сечение кананала и длину смещения. В другом сечении канала жидкость смещается на расстояние $dy$.
shwedka в сообщении #225163 писал(а):
Инт в сообщении #225133 писал(а):
Причём, заранее подберём функцию $S$ так, чтобы $dy$ было всегда меньше, чем расстояние
Не доказано, что это возможно.
Действительно, простейшие доказательства опущены. Поэтому поясняю. Из-за несжимаемости жидкости, т.е. пользуясь сохранение её объёма, получаем, что $F(Q(T, R))dy = F(Q(T, 1))dx$. Если $F(Q(T, R))$ может быть сделана сколь угодно большой величиной по отношению к величине $F(Q(T, 1))$, то $dy$ будет сколь угодно малым по отношению к $dx$. То, что $F(Q(T, R))$ может быть сколь угодно большим и обоснуется теоремами 1 и 2. Но ещё раз поясню. Функцию $S(R)$ можно заранее задать растущей со сколь угодно большой, но фиксированной "скоростью" как абстрактную числовую функцию. Каково бы ни было число $A$, между сферами $\Sigma(R)$ и $\Sigma(r)$ всегда можно найти поверхность $A(R)$, имеющую площадь больше чем число $A$. В частности, поверхность находится, если $A = S(R)$. Аналогично, пропорционально площадям торцов на стенке сосуда, достаточно быстро растёт площадь сечения $Q(T, R)$. Скорость роста площади сечения $Q(T, R)$ канала задаётся заранее по сути функцией $S$.

Надеюсь, что что-то разъяснил.

-- Сб июн 27, 2009 23:16:56 --

CowboyHugges в сообщении #225180 писал(а):
Инт, тогда вопрос остается: почему жидкость сдвинется именно по указанной Вами формуле?
В общем то это я и пытался объяснить в самом первом посте. Надеюсь, что пояснения для shwedkи так же могут что-то прояснить. Но независимо от этого поясняю Вам в грубом приближении: Берём какой-то канал. Его сечение растёт неограниченно и с заранее заданной скоростью. Так как жидкость не сжимаемая, то когда вдоль канала мы сдвинем жидкость на расстояние $dx$ на одном торце на стенке сосуда, то на другом торце, т.е. строго говоря, в каком-то сечении, расположенном ближе к $O$, жидкость сдвинется на существенно более малое расстояние $dy$, так как сечение канала будет во много больше площади торца на стенке сосуда. Собственно, никакой формулы нет. Есть некоторое математическое рассуждение о том, что такое движение осуществимо.

Прояснилось или нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Исчезновение несжимаемой жидкости из закрытого сосуда
Сообщение27.06.2009, 23:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
Уточняю вопросCowboyHugges
Вы молчаливо предполагаете, и это подтверждается ответом на мои вопросы,
что жидкость МОЖЕТ двигается вдоль линий, ортогональных системе поверхностей $A(R)$.
По крайней мере, доказательство этого свойства необходимо.В особенности,в пределе $R\to0$.
ИНаче говоря,
от Вас требуется ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
существования такого движения.
Рискну заявить,
что Ваш парадоксальный вывод и служит доказательством от противного отсутствия такого движения.

Сверх этого, все Ваши упоминания 'бесконечно малых' объектов некоррекрны, так как с общепринятыми в математике они расходятся, а своих определений Вы не даете.
Например,
Инт в сообщении #225190 писал(а):
А если, действительно, взять бесконечно тонкий канал, т.е. по существу линию,

Хороший пример того, как слова 'по существу' используются для обмана.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исчезновение несжимаемой жидкости из закрытого сосуда
Сообщение28.06.2009, 00:26 


23/05/09
192
Инт, думаю что тема затянется ибо любопытна, давайте начнём сначала и понемножку, с Вашего позволения :)
Опустим обсуждение начального параграфа. Первый вопрос: Вы употребляете общепринятые термины "твердая, непроницаемая оболочка"? то есть элементарный поток в каждой точке $\Sigma$ равен нулю (например П.Жермен "Механика сплошных сред") и нормальная компонента скорости жидкости относительно стенки равна нулю (ну тут думаю не так :))

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 85 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group