Парадоксальные вопросы

[Профессор Снэйп]

Всем известен парадокс лжеца, который наглядно демонстрирует нам, что к так называемым "самоотносящимся" утверждениям следует относится с опаской. Если в утверждении, присутствует слово "это", указывающее на само утверждение, в котором оно присутствует, то логика зачастую пасует. И начинаются разные заморочки...

Мне вот недавно на ум пришёл ряд довольно странных вопросов. Типа:

1) Имеет ли смысл этот вопрос?
2) Можете ли вы ответить на этот вопрос?
3) О чём спрашивается в этом вопросе?

И т. п. Парадоксов нет, но я всё равно в лёгком ступоре. Странное какое-то впечатление остаётся...

Кто что думает по поводу сформулированных выше вопросов?

[man]

Профессор Снэйп в сообщении #224848 писал(а):

1) Имеет ли смысл этот вопрос?
2) Можете ли вы ответить на этот вопрос?
3) О чём спрашивается в этом вопросе?
Кто что думает по поводу сформулированных выше вопросов?

1)
2) $\{\}$
3) Об этом ответе.

[Nxx]

1) Имеет
2) Могу
3) Об этом вопросе

[Профессор Снэйп]

Nxx в сообщении #224875 писал(а):

1) Имеет

Вот это, пожалуй, самое интересное Раз вопрос имеет смысл, то расскажите, в чём этот смысл заключается.

[epros]

Профессор Снэйп в сообщении #224848 писал(а):

1) Имеет ли смысл этот вопрос?

Есть несколько вариантов формулировки парадокса лжеца.

Если речь о формулировке: "Это утверждение ложно", то она неформализуема (ибо в ней смешаны разные "уровни рефлексии": метатеоретическое "это утверждение" высказано в рамках предметной теории), а стало быть - бессмысленна. С Nxx я тут не согласен.

Есть вариант формулировки как "парадокса библиотеки": "Каталог всех книг библиотеки, не содержащих ссылки на себя, содержит ссылку на себя". В такой форме парадокс разрешим, правильный ответ: это утверждение ложно. Решение такое: Из предположения о существовании каталога всех книг библиотеки, не содержащих ссылки на себя, следует, что данный каталог не является книгой библиотеки. Поскольку по условию он является каталогом книг именно (и только) библиотеки, то ссылок на другие книги (в том числе - на себя) в нём нет.

[AD]

epros в сообщении #224885 писал(а):

Есть вариант формулировки как "парадокса библиотеки": "Каталог всех книг библиотеки, не содержащих ссылки на себя, содержит ссылку на себя". В такой форме парадокс разрешим

Ну хорошо, исправим формулировку: "Каталог всех книг, находящихся в помещении библиотеки".

[epros]

AD в сообщении #224890 писал(а):

epros в сообщении #224885 писал(а):

Есть вариант формулировки как "парадокса библиотеки": "Каталог всех книг библиотеки, не содержащих ссылки на себя, содержит ссылку на себя". В такой форме парадокс разрешим

Ну хорошо, исправим формулировку: "Каталог всех книг, находящихся в помещении библиотеки".

"Находящихся" или всё же "находящийся"? Потому что слова "находящихся в помещении" ничего к формулировке не добавляют: всё равно речь идёт о книгах библиотеки.

[AD]

Ага, да-да, ну еще и допишем "находящийся ...".

[epros]

AD в сообщении #224893 писал(а):

Ага, да-да, ну еще и допишем "находящийся ...".

Ну хорошо, добавим требование, что каталог - тоже книга библиотеки. Но вывод от этого не изменится. Дело в том, что при формализации этой фразы в исчислении предикатов первого порядка, мы получим нечто вроде:
" Существует книга $x$, такая что для любой книги $y$, из того, что $x$ и $y$ принадлежат библиотеке и $y$ не содержит ссылки на себя, следует, что $x$ содержит ссылку на $y$".

Это утверждение формально опровержимо.

P.S. Тьфу, в самом главном-то я и ошибся: Речь в утверждении идёт не о следовании, а о равносильности. Поэтому: "Существует $x$ (книга библиотеки) такая, что для любой $y$ (книги библиотеки) то, что $y$ не ссылается на себя, равносильно тому, что $x$ ссылается на $y$".

[AD]

epros в сообщении #224894 писал(а):

Это утверждение формально опровержимо.

То есть можно доказать, что ни в одной библиотеке каталога не существует?

[AGu]

Профессор Снэйп в сообщении #224848 писал(а):

1) Имеет ли смысл этот вопрос?

Возможно, я сейчас ляпну какую-нибудь глупость, но...

Пусть $\text{ИмеетСмысл}(y)$ --- формула, определяющая в PA множество гёделевых номеров предложений. (О вкусах не спорят, но мне кажется, что это вполне адекватная формализация "обладания смыслом".) По лемме о диагонализации существует такое предложение $\text{\it ЯИмеюСмысл}$, что ${\rm PA}\vdash\bigl[\text{\it ЯИмеюСмысл}\leftrightarrow\text{ИмеетСмысл}(\ulcorner\text{\it ЯИмеюСмысл}\urcorner)\bigr]$. (Опять-таки, о вкусах не спорят, но мне кажется, что такое $\text{\it ЯИмеюСмысл}$ --- вполне адекватная формализация утверждения "этот вопрос имеет смысл".) Ясно, что ${\rm PA}\vdash\text{ИмеетСмысл}(\ulcorner\text{\it ЯИмеюСмысл}\urcorner)$, т.е. предложение $\text{\it ЯИмеюСмысл}$ имеет смысл (причем это доказумо в PA).

По сути дела все сводится к тому, можно ли придать адекватный смысл вопросу "Имеет ли смысл этот вопрос". Если можно (и я попытался это сделать, и это вопрос вкуса), то, разумеется, этот вопрос сразу обретает смысл. Если же нельзя (и это тоже вопрос вкуса), то вопрос смысла не имеет.

P.S. Ясно, что лемма о диагонализации тут от лукавого. И без нее видно, что на роль $\text{\it ЯИмеюСмысл}$ подходит любое доказуемое предложение. Но это так только для выбранной мной формализации "обладания смыслом". В описанном же выше подходе формализацию обладания смыслом можно варьировать. Если я не ошибаюсь, достаточно, чтобы "обладание смыслом" обладало свойствами предиката доказуемости в мере, достаточной для применимости теоремы Лёба.

[epros]

AD в сообщении #224900 писал(а):

epros в сообщении #224894 писал(а):

Это утверждение формально опровержимо.

То есть можно доказать, что ни в одной библиотеке каталога не существует?

$\exists x \forall y ~ y \notin y \leftrightarrow y \in x$

Здесь знак $\in$ используется как обозначение отношения "на ... есть ссылка из ..." (т.е. не обязательно в теоретико-множественном смысле).

Подстановкой $x$ вместо $y$ получаем ложное утверждение:
$\exists x ~ x \notin x \leftrightarrow x \in x$.

Естественно, это работает только в том случае, если переменные $x$ и $y$ - одного типа (т.е. "из одной библиотеки").

[AD]

Не-не, я пытаюсь теперь сформулировать, что именно мы опровергли. А, ну понятно вроде. То есть не "каталога не существует", а "каталога, такого, что ... (тут многа букав, и вообще бред полный), не существует".

[epros]

AGu в сообщении #224901 писал(а):

Профессор Снэйп в сообщении #224848 писал(а):

1) Имеет ли смысл этот вопрос?

Возможно, я сейчас ляпну какую-нибудь глупость, но...

Пусть $\text{ИмеетСмысл}(y)$ --- формула, определяющая в PA множество гёделевых номеров предложений. (О вкусах не спорят, но мне кажется, что это вполне адекватная формализация "обладания смыслом".) По лемме о диагонализации существует такое предложение $\text{\it ЯИмеюСмысл}$, что ${\rm PA}\vdash\bigl[\text{\it ЯИмеюСмысл}\leftrightarrow\text{ИмеетСмысл}(\ulcorner\text{\it ЯИмеюСмысл}\urcorner)\bigr]$. (Опять-таки, о вкусах не спорят, но мне кажется, что такое $\text{\it ЯИмеюСмысл}$ --- вполне адекватная формализация утверждения "этот вопрос имеет смысл".) Ясно, что ${\rm PA}\vdash\text{ИмеетСмысл}(\ulcorner\text{\it ЯИмеюСмысл}\urcorner)$, т.е. предложение $\text{\it ЯИмеюСмысл}$ имеет смысл (причем это доказумо в PA).

По сути дела все сводится к тому, можно ли придать адекватный смысл вопросу "Имеет ли смысл этот вопрос". Если можно (и я попытался это сделать, и это вопрос вкуса), то, разумеется, этот вопрос сразу обретает смысл. Если же нельзя (и это тоже вопрос вкуса), то вопрос смысла не имеет.

По-моему, это вопрос не вкуса, а корректной формализации. Понятное дело, что с точки зрения метатеории этот вопрос имеет смысл, что Вы и продемонстрировали. Если, конечно, правильно определить мета-функцию:
$y = \ulcorner x \urcorner$, где $x$ - строка в алфавите арифметики, а $y$ - натуральное число.

Очевидно, что если эта функция присваивает высказываниям арифметики Гёделевские номера, то строка $\text{\it ЯИмеюСмысл}$, удовлетворяющая Вашему ${\rm PA}\vdash\bigl[\text{\it ЯИмеюСмысл}\leftrightarrow\text{ИмеетСмысл}(\ulcorner\text{\it ЯИмеюСмысл}\urcorner)\bigr]$, не только существует, но и в качестве таковой подойдёт вообще любая теорема арифметики.

-- Пт июн 26, 2009 12:16:36 --

AD в сообщении #224903 писал(а):

Не-не, я пытаюсь теперь сформулировать, что именно мы опровергли. А, ну понятно вроде. То есть не "каталога не существует", а "каталога, такого, что ... (тут многа букав, и вообще бред полный), не существует".

Мы доказали $\nexists x \forall y ~ y \notin y \leftrightarrow y \in x$, причём независимо от сути переменных $x$ и $y$ (главное, чтобы они имели одинаковые типы) и отношения "ссылается на".

-- Пт июн 26, 2009 12:19:49 --

AGu в сообщении #224901 писал(а):

Если я не ошибаюсь, достаточно, чтобы "обладание смыслом" обладало свойствами предиката доказуемости в мере, достаточной для применимости теоремы Лёба.

Почему доказуемости? Можно считать, что смыслом обладают любые правильные высказывания предметной теории, даже опровержимые или неразрешимые.

[AGu]

epros в сообщении #224906 писал(а):

По-моему, это вопрос не вкуса

Получается, что вопрос о том, является ли этот вопрос вопросом вкуса, является вопросом вкуса.

epros в сообщении #224906 писал(а):

AGu в сообщении #224901 писал(а):

Если я не ошибаюсь, достаточно, чтобы "обладание смыслом" обладало свойствами предиката доказуемости в мере, достаточной для применимости теоремы Лёба.

Почему доказуемости? Можно считать, что смыслом обладают любые правильные высказывания предметной теории, даже опровержимые или неразрешимые.

Да, можно так считать. (И я так считаю.) А для тех, кто может так не считать, я и оставил лазейку для варьирования, причем, как мне кажется, весьма широкую лазейку.