1) Имеет ли смысл этот вопрос?
Возможно, я сейчас ляпну какую-нибудь глупость, но...
Пусть

--- формула, определяющая в PA множество гёделевых номеров предложений. (О вкусах не спорят, но мне кажется, что это вполне адекватная формализация "обладания смыслом".) По лемме о диагонализации существует такое предложение

, что
![${\rm PA}\vdash\bigl[\text{\it ЯИмеюСмысл}\leftrightarrow\text{ИмеетСмысл}(\ulcorner\text{\it ЯИмеюСмысл}\urcorner)\bigr]$ ${\rm PA}\vdash\bigl[\text{\it ЯИмеюСмысл}\leftrightarrow\text{ИмеетСмысл}(\ulcorner\text{\it ЯИмеюСмысл}\urcorner)\bigr]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/b/d/2bdb84526d55ca628c6bb2bef137442f82.png)
. (Опять-таки, о вкусах не спорят, но мне кажется, что такое

--- вполне адекватная формализация утверждения "этот вопрос имеет смысл".) Ясно, что

, т.е. предложение

имеет смысл (причем это доказумо в PA).
По сути дела все сводится к тому, можно ли придать адекватный смысл вопросу "Имеет ли смысл этот вопрос". Если можно (и я попытался это сделать, и это вопрос вкуса), то, разумеется, этот вопрос сразу обретает смысл. Если же нельзя (и это тоже вопрос вкуса), то вопрос смысла не имеет.

По-моему, это вопрос не вкуса, а корректной формализации. Понятное дело, что с точки зрения метатеории этот вопрос имеет смысл, что Вы и продемонстрировали. Если, конечно, правильно определить мета-функцию:

, где

- строка в алфавите арифметики, а

- натуральное число.
Очевидно, что если эта функция присваивает высказываниям арифметики Гёделевские номера, то строка

, удовлетворяющая Вашему
![${\rm PA}\vdash\bigl[\text{\it ЯИмеюСмысл}\leftrightarrow\text{ИмеетСмысл}(\ulcorner\text{\it ЯИмеюСмысл}\urcorner)\bigr]$ ${\rm PA}\vdash\bigl[\text{\it ЯИмеюСмысл}\leftrightarrow\text{ИмеетСмысл}(\ulcorner\text{\it ЯИмеюСмысл}\urcorner)\bigr]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/b/d/2bdb84526d55ca628c6bb2bef137442f82.png)
, не только существует, но и в качестве таковой подойдёт вообще любая теорема арифметики.
-- Пт июн 26, 2009 12:16:36 --Не-не, я пытаюсь теперь сформулировать, что именно мы опровергли. А, ну понятно вроде. То есть не "каталога не существует", а "каталога, такого, что ... (тут многа букав, и вообще бред полный), не существует".
Мы доказали

, причём независимо от сути переменных

и

(главное, чтобы они имели одинаковые типы) и отношения "ссылается на".
-- Пт июн 26, 2009 12:19:49 --Если я не ошибаюсь, достаточно, чтобы "обладание смыслом" обладало свойствами предиката доказуемости в мере, достаточной для применимости теоремы Лёба.
Почему доказуемости? Можно считать, что смыслом обладают любые правильные высказывания предметной теории, даже опровержимые или неразрешимые.