Применение теоремы единственности

[AlTov]

Задача: описать все голоморфные в M={$z: 0\le Im z\le1$} функции, которые тождественно равны 0 на {$z: Im z=0$}.
Предположительный ответ: $f(z) \equiv0$.
По идее, нужно воспользоваться теоремой единственности или теоремой Пенлеве о стирании особенностей, только не понятно какой именно теоремой единственности и как, т. к. теорема единственности для голоморфных функций справедлива для голоморфных в области функций при их совпадении на бесконечном множестве с предельной точкой из этой области, а граничная теорема единственности для гармонических функций дает представление голоморфной функции с точностью до константы.
Помогите, пожалйуста, комплексный анализ понимаю плохо, как ни пытался его разбирать.

[Полосин]

Правильно: ... как ни пытался его разбирать.
Продолжим функцию $f(z)$ аналитически в нижнюю полосу $-1\le y\le0$ по правилу $f^*(z)=\bar f(z)=u(x,-y)-iv(x,-y)$. Тогда новая функция аналитическая и тождественно обращается в нуль на внутренней линии, а стало быть, тождественно равна нулю.

[AlTov]

Полосин в сообщении #224870 писал(а):

Продолжим функцию $f(z)$ аналитически в нижнюю полосу ...

Какую функцию мы продолжаем? В задаче ведь нужно найти общий вид соответствующих функций, как в этом поможет аналитическое продолжение?

Полосин в сообщении #224870 писал(а):

Тогда новая функция аналитическая и тождественно обращается в нуль на внутренней линии, а стало быть, тождественно равна нулю.

На каком множестве тождественно равна нулю?

-- Пт июн 26, 2009 00:37:40 --

Ага, если я прав, то задача и вовсе элементарная, просто по определению $f(z)\in H(M) \Leftrightarrow \exists D $- область: $D \supset M$ \wedge \ f(z)\in H(D) и, применяя теорему единственности для голоморфных функций, получаем ответ $f(z) \equiv 0$