О ПРОСТОМ ЧИСЛЕ
Обозначения:

- i-ое простое число (

= 2,

= 3,

= 5 и т.д.);
A, B – натуральные числа.
(1) Число Q такое, что:
1. 1 < Q <

;
2. Q = |AX – BY|, где (AX, BY) = 1, XY =



, принадлежащий промежутку (0,

]. В этом случае

|AX – BY, но

обязательно будет делить X или Y. Если

|X, следовательно,

|AX, откуда

|BY, а значит (AX, BY) > 1, что противоречит условию. Если

|Y, следовательно,

|BY, откуда

|AX, а значит (AX, BY) > 1, что противоречит условию. Следовательно, если 1 < Q <

, то Q – простое число. ■
(2) Число Q >

Доказательство: действительно, если число Q ≤

, следовательно, оно равно некоторому простому числу, принадлежащему промежутку (0,

], что невозможно, т.к. число Q не делится ни на одно простое число, принадлежащее промежутку (0,

]. ■
(3) Если

|

или

|

, то

≠

Доказательство: если

=

, тогда

|

Y или

|

X, откуда (

X,

Y) > 1, что противоречит условию. ■
Пример:

= 2,

= 3,

= 5,

= 49

= |2 – 3∙5| = |2 – 15| = 13

= |

– 3∙5| = |4 – 15| = 11

= |

–

∙5| = |4 – 45| = 41

= |

– 3∙5| = |8 – 15| = 7

= |

–

∙5| = |8 – 45| = 37

= |

–

∙5| = |16 – 45| = 29

= |

– 3∙5| = |32 – 15| = 17

= |

– 3∙

| = |32 – 75| = 43

= |

–

∙5| = |64 – 45| = 19

= |

–

∙

| = |256 – 225| = 31

= |3 – 2∙

| = |3 – 50| = 47

= |

– 2∙

| = |27 – 50| = 23
(4) Если Q =

– Y, где X =

, A = B = 1, число Y содержит как минимум 2 разных простых делителя (3, 5, …), число

– 1 простое, тогда число Q – 2 также будет простым.
Доказательство:

> Y, Q – 2 = 2(

– 1) – Y, если Q – 2 составное, тогда оно делится, по крайней мере, на один простой делитель числа Y, значит

– 1 равно некоторому простому делителю числа Y, значит Q – 2 < 0, что невозможно. ■