Приближённое вычисление смешанной производной 2-го порядка

[Mr. Demetrius]

Есть формулы для приближённого вычисления частных производных (по x и по y) функции двух переменных, заданных таблично. Есть формулы для нахождения частных производных второго порядка в аналогичной ситуации.

А какая формула для приближённого вычисления смешанной производной второго порядка, если функция двух переменных задана таблично?

[ewert]

Тривиально: $(f''_{xy})_{{}_{\scriptstyle0,0}}={1\over4h^2}(f_{1,1}-f_{1,-1}-f_{-1,1}+f_{-1,-1}).$

[Mr. Demetrius]

А что есть индексы при f ?

-- Ср июн 24, 2009 23:29:44 --

Кажется, понял. Спасибо! Смутил последний индекс "1-"

-- Ср июн 24, 2009 23:31:44 --

А где можно почитать литературу с данной формулой, не подскажете?

[ewert]

Mr. Demetrius в сообщении #224688 писал(а):

А где можно почитать литературу с данной формулой, не подскажете?

Наверное, где угодно. Но лучше всего исходить просто из соображений здравого смысла: ${1\over2h}(f_{1,1} -f_{1,-1})$ -- это примерно производная по игрекам на серединке правого слоя, и аналогично ${1\over2h}(f_{-1,1} -f_{-1,-1})$ -- производная на серединке левого. А если теперь вычесть их друг из друга и разделить на $2h$ (расстояние между слоями), то и получится примерно производная по иксам от производной по игрекам. Погрешность формулы есть, естественно, $O(h^2)$ (хотя это, говоря формально, уже надо доказывать, пусть интуитивно это и очевидно).

[Mr. Demetrius]

Ну, оценка погрешности меня пока не интересует. Спасибо ещё раз!

-- Ср июн 24, 2009 23:54:30 --

А, всё таки, круг "где угодно" можно сузить? А то я список литературы составляю =)

[ewert]

Ну погуглите на слова "численные методы" или "вычислительная математика". Список имён там достаточно устоявшийся: Бахвалов, Березин, Самарский, Рябенький, Волков (допустим)...

[Mr. Demetrius]

Понял. Спс.

[Gortaur]

Разностные схемы второго порядка.

[Pumpov]

ewert в сообщении #224687 писал(а):

Тривиально: $(f''_{xy})_{{}_{\scriptstyle0,0}}={1\over4h^2}(f_{1,1}-f_{1,-1}-f_{-1,1}+f_{-1,-1}).$

Т.е. численно смешанная вторая производная всегда не зависит от порядка дифференцирования. Получается, в дискретном мире нет контрпримеров?