2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Приближённое вычисление смешанной производной 2-го порядка
Сообщение24.06.2009, 22:13 
Есть формулы для приближённого вычисления частных производных (по x и по y) функции двух переменных, заданных таблично. Есть формулы для нахождения частных производных второго порядка в аналогичной ситуации.

А какая формула для приближённого вычисления смешанной производной второго порядка, если функция двух переменных задана таблично?

 
 
 
 Re: Приближённое вычисление смешанной производной 2-го порядка
Сообщение24.06.2009, 22:20 
Тривиально: $(f''_{xy})_{{}_{\scriptstyle0,0}}={1\over4h^2}(f_{1,1}-f_{1,-1}-f_{-1,1}+f_{-1,-1}).$

 
 
 
 Re: Приближённое вычисление смешанной производной 2-го порядка
Сообщение24.06.2009, 22:24 
А что есть индексы при f ?

-- Ср июн 24, 2009 23:29:44 --

Кажется, понял. Спасибо! Смутил последний индекс "1-" ;)

-- Ср июн 24, 2009 23:31:44 --

А где можно почитать литературу с данной формулой, не подскажете?

 
 
 
 Re: Приближённое вычисление смешанной производной 2-го порядка
Сообщение24.06.2009, 22:42 
Mr. Demetrius в сообщении #224688 писал(а):
А где можно почитать литературу с данной формулой, не подскажете?

Наверное, где угодно. Но лучше всего исходить просто из соображений здравого смысла: ${1\over2h}(f_{1,1} -f_{1,-1})$ -- это примерно производная по игрекам на серединке правого слоя, и аналогично ${1\over2h}(f_{-1,1} -f_{-1,-1})$ -- производная на серединке левого. А если теперь вычесть их друг из друга и разделить на $2h$ (расстояние между слоями), то и получится примерно производная по иксам от производной по игрекам. Погрешность формулы есть, естественно, $O(h^2)$ (хотя это, говоря формально, уже надо доказывать, пусть интуитивно это и очевидно).

 
 
 
 Re: Приближённое вычисление смешанной производной 2-го порядка
Сообщение24.06.2009, 22:53 
Ну, оценка погрешности меня пока не интересует. Спасибо ещё раз!

-- Ср июн 24, 2009 23:54:30 --

А, всё таки, круг "где угодно" можно сузить? А то я список литературы составляю =)

 
 
 
 Re: Приближённое вычисление смешанной производной 2-го порядка
Сообщение24.06.2009, 23:03 
Ну погуглите на слова "численные методы" или "вычислительная математика". Список имён там достаточно устоявшийся: Бахвалов, Березин, Самарский, Рябенький, Волков (допустим)...

 
 
 
 Re: Приближённое вычисление смешанной производной 2-го порядка
Сообщение24.06.2009, 23:04 
Понял. Спс.

 
 
 
 Re: Приближённое вычисление смешанной производной 2-го порядка
Сообщение25.06.2009, 07:49 
Разностные схемы второго порядка.

 
 
 
 Re: Приближённое вычисление смешанной производной 2-го порядка
Сообщение07.08.2015, 11:07 
ewert в сообщении #224687 писал(а):
Тривиально: $(f''_{xy})_{{}_{\scriptstyle0,0}}={1\over4h^2}(f_{1,1}-f_{1,-1}-f_{-1,1}+f_{-1,-1}).$


Т.е. численно смешанная вторая производная всегда не зависит от порядка дифференцирования. Получается, в дискретном мире нет контрпримеров? :-)

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group