сравнение чисел до третьего знака

[sasha_vertreter]

вот была такая задачка на устном экзамене на мех. мат

сравнить $\sqrt 2 +\sqrt 3 $ с $\pi$

я пробовал через $\sin (\frac{\pi}{2})+\sin (\frac{\pi}{3})$, через площади вписанных и описанных многоугольников - ничего не получается.

а так как это с устного экзамена - то решение, как я понимаю, должно быть быстрым.

Спасибо!

[Geremy]

Возможно, нужно возвести в квадрат :
$(\sqrt 2 + \sqrt 3)^2 = \pi^{2}$ .
$\sqrt 6 = 2.5$
$6 = 6.25$


Или довести решение так:
$5+2\sqrt 6 = \pi^{2}$
$\sqrt 6 = \frac{\pi^{2}-5}{2}$
$\pi^{4}-10\pi^{2}+1=0$
И решить как биквадратное уравнение

[sasha_vertreter]

Geremy в сообщении #224539 писал(а):

Возможно, нужно возвести в квадрат :
$(\sqrt 2 + \sqrt 3)^2 = \pi^{2}$ .
$\sqrt 6 = 2.5$
$6 = 6.25$

по-моему этот метод не работает, хотя бы потому, что как можно оценить $\pi^2$?
а потом квадрат суммы дает $5+2\sqrt6$ и что...

[meduza]

Для обозначения неизвестного символа (>,<,=) использовал $\vee$ и $\wedge$ -- для удобства, их можно переворачивать и не запутаться в знаках:
$\sqrt{2}+\sqrt{3} \vee \pi$
$5+2\sqrt{6} \vee \pi^2$
$2\sqrt{6} \vee \pi^2-5$
$24 \vee \pi^4-10\pi^2+25$
$-1 \vee \pi^4-10\pi^2$
$1 \wedge \pi^2(10-\pi^2)$
$1 \wedge \pi \sqrt{10-\pi^2}$
Помня, что $\pi^2 < 10$ и $\pi \approx 3$, получаем:
$1 \wedge 3 \cdot 1$
Т.е. $\wedge = <$, значит $\vee = >$ и $\sqrt{2}+\sqrt{3} > \pi$.

[sasha_vertreter]

да, все просто, спасибо

[nn910]

sasha_vertreter в сообщении #224532 писал(а):

вот была такая задачка на устном экзамене на мех. мат

.

а так как это с устного экзамена - то решение, как я понимаю, должно быть быстрым.

Кто помнит корни (или соответствующие секансы,тангенсы) и Пи дальше 2го знака,сразу и ответит. В школе учили до 4го знака

[RIP]

Вообще-то, с $\approx$ надо быть аккуратным. $\pi\sqrt{10-\pi^2}=1.1344\ldots$, что никак не $\approx3\cdot1$.

[sasha_vertreter]

RIP в сообщении #224553 писал(а):

Вообще-то, с $\approx$ надо быть аккуратным. $\pi\sqrt{10-\pi^2}=1.1344\ldots$, что никак не $\approx3\cdot1$.

да, так вот где была проблема, как это строго можно оценить. я помнил, что простое возведение в квадрат, даже 2 раза не дает оценку точности.

таким образом вопрос остается открытым...

[RIP]

Чтобы строго доказать, можно, например, по той же схеме доказать $\sqrt2+\sqrt3>22/7$.

[ewert]

nn910 в сообщении #224551 писал(а):

Кто помнит корни (или соответствующие секансы,тангенсы) и Пи дальше 2го знака,сразу и ответит.

Ну, достаточно, например, помнить, что $\sqrt2>1.414$, $\sqrt3>1.73$ и $\pi=3.141\ldots$. Только совершенно непонятно, при чём тут математика.

[sasha_vertreter]

RIP в сообщении #224558 писал(а):

Чтобы строго доказать, можно, например, по той же схеме доказать $\sqrt2+\sqrt3>22/7$.

простите, а как сравнить $\pi$ и $\frac{22}{7}$?

[RIP]

ewert в сообщении #224561 писал(а):

Только совершенно непонятно, при чём тут математика.

А ни при чём. Это ж вступительный экзамен.

-- Ср 24.6.2009 17:46:48 --

sasha_vertreter в сообщении #224563 писал(а):

простите, а как сравнить $\pi$ и $\frac{22}{7}$?

А разве неравенства $3\frac{10}{71}<\pi<3\frac17$ сейчас в школе не проходят?

[sasha_vertreter]

то есть если рациональное число x больше суммы корней и больше$\pi$ - то все доказано. но вот как доказать что 22/7 больше $\pi$?

-- Ср июн 24, 2009 13:50:05 --

Цитата:

А разве неравенства $3\frac{10}{71}<\pi<3\frac17$ сейчас в школе не проходят?

то есть принять это как данность?

[ИСН]

Это его подходящая дробь. То есть факт не "случайный", в отличие от subj.

[RIP]

sasha_vertreter в сообщении #224566 писал(а):

но вот как доказать что 22/7 больше $\pi$?

А это не надо доказывать: этот факт, имхо, входит в школьную программу (по крайней мере, в моей школе это проходили, а она была отнюдь не математическая).