Доказать, что все группы порядка 3 и 4 коммутативны

[Geremy]

Здравствуйте, при решении данной задачи появились некоторые вопросы.
Доказать , что любая группа третьего (четвертого) порядка коммутативна.

Определения:
Непустое множество $G$ с одной бинарной алгебраической операцией называется группой , если:
1) операция в $G$ ассоциативна.
2) $\exists e$ : $ea=ae=e$.
3) $\forall a ~ \exists a^{-1}$ : $aa^{-1}=a^{-1} a=e$.

Порядок - количество элементов группы.
Решение:
На основе этих определений получается:
Пусть ${a,b,e}$ элементы группы $G$.Тогда
1) $a*(b*e)=(a*b)*e$
2) $\exists e$
На 3 пункте возникает вопрос: если группа $G$ третьего порядка =>
$a*b=e$ ??? На основе чего можно утверждать что $G$ коммутативна?
Как можно доказать коммутативность если $G$ четвертого порядка?

[ИСН]

Переберите все группы этих порядков и проверьте в лоб.
Как перебрать. Брать каждые два элемента и смотреть: какой элемент получается при их перемножении. Может ли это быть a? b? не противоречит ли это аксиомам группы? если нет - идём дальше.

[Geremy]

Кажется, что-то всплыло.
Если рассмотреть пример такой:
Пусть элементами группы $G$ являются матрицы 2-ого порядка {$A,B,E$}.
1) ассоциативность выполняется по свойству матриц.
2) существует единичная матрица $E$.
3) если $B=A^{-1}$ , то $G$ - коммутативная группа , т.к. $AB=BA=E$
если $B!=A^{-1}$, то $G$ - не группа, что противоречит условию.

[bot]

Geremy в сообщении #224477 писал(а):

Кажется, что-то всплыло

Конечная группа представляется матрицами, это верно, но отсюда Вам всплывать придётся долго. Прислушайтесь лучше к ИСН

[lbstr]

Зачем перебирать все группы? Используйте теорему Кэли, дальше - очевидно.

[Geremy]

Цитата:

Зачем перебирать все группы? Используйте теорему Кэли, дальше - очевидно.

Спасибо. Таблицы построил , всё нормально получилось.

[Mathusic]

bot в сообщении #224480 писал(а):

Geremy в сообщении #224477 писал(а):

Кажется, что-то всплыло

Конечная группа представляется матрицами, это верно, но отсюда Вам всплывать придётся долго. ИСН

Над каким полем/кольцом? Существует ли конкретный алгоритм представления?

lbstr в сообщении #224939 писал(а):

Зачем перебирать все группы? Используйте теорему Кэли, дальше - очевидно.

То есть нужно доказать, что все подгруппы порядка $3$, $4$ в $S_3$, $S_4$ соответственно коммутативны? Почему это очевидно?
--------
Для $n=3$. Любые две группы простого порядка изоморфны. Поэтому в качестве реализации группы можно взять $(\mathbb{Z}_3,+)$, которая коммутативна.

[bot]

Mathusic в сообщении #246681 писал(а):

bot в сообщении #224480 писал(а):

Конечная группа представляется матрицами, это верно, но отсюда Вам всплывать придётся долго. ИСН

Над каким полем/кольцом? Существует ли конкретный алгоритм представления?

Конечная группа вкладывается в группу подстановок. Конкректный алгоритм (правые сдвиги) - в доказательстве теоремы Кэли.

Отображение $\sigma=\begin{pmatrix}1&2&\dots & n\\ \sigma_1&\sigma_2&\dots & \sigma_n\end{pmatrix} \rightarrow (a_{ij})$, где $a_{i\sigma_i}=1$ и $a_{ij}=0$ при $j\ne \sigma_i$

является вложением группы подстановок в группу унимодулярных матрицу любого кольца с единицей - это тоже где-нибудь написано, легче самому проверить, чем искать.

lbstr в сообщении #224939 писал(а):

Зачем перебирать все группы? Используйте теорему Кэли, дальше - очевидно.

Он пошутил. С порядком три разобрались. Берём четвёртый. Либо в группе есть элемент 4-го порядка либо его нет.
Если таковой есть, то ...
Если такового нет, то какого есть? Что он породит? Берём ещё один ...
Это и есть перебор, который сразу предложил ИСН.

[Mathusic]

Спасибо. В такой группе должен быть элемент порядка 2.

[bot]

Да, должен - в любом случае, есть элемент 4-го порядка или его нет. НоВы не на все вопросы ответили и не все троеточия заполнили. Проделайте эту несложную работу и всё станет ясно.