Надо взять фактор пространство

Тогда задача сведётся к случаю

- прямая сумма. И показать, что норма

<1.
Про фактор не совсем понял. Как там скалярное произведение на факторе определяется?..
Но, безусловно, задача сводится к случаю, когда

и

. Первое очевидно в силу

, для второго достаточно рассмотреть ортогональное дополнение

к подпространству

и ограничения операторов на это дополнение.
А вот далее начинается самое интересное. Неравенства

будет, безусловно, достаточно для решения задачи. Однако оно не является необходимым условием для равенства нулю соответствующего предела. И я вот что-то уже начал сомневаться в том, что оно вообще будет выполняться в бесконечномерном случае. Хотя утверждать обратное тоже не возьмусь.