полные решетки

[terminator-II]

определение полной решетки звучит так: полной решеткой называется частично упорядоченное множество каждое подмножество которого, включая пустое подмножество, имеет sup и inf.

вопрос такой: а как понимать $\sup \emptyset$?

[ewert]

не знаю, но логично было бы считать, что это -- инфимум самого множества.

[Gortaur]

Какого? или Вы подразумеваете относительность пустого множества?
Для пустого множества, порожденного множеством $X$ инфимум равен инфимум $X$, а для пустого, порожденного $Y$, инфимум равен инфимуму $Y$.

[bot]

$\sup \emptyset =0, \ \inf \emptyset =1$

[terminator-II]

thanx

[Gortaur]

bot
это шутка?

[bot]

Какая шутка? Это в точности по определению.
Вот вопрос на ту же тему. Укажите подмножество в $\mathbb R$, нижняя грань которого строго больше верхней.

[AD]

Gortaur в сообщении #224226 писал(а):

bot
это шутка?

Ну надо полагать, что в упорядоченных множествах "нулем" называется наименьший элемент, а "единицей" - наибольший. Похоже? Ну это будут "алгебраические" "нуль" и "единица" по отношению к "операции умножения" $\min\{a,b\}$.

[ewert]

bot в сообщении #224227 писал(а):

Укажите подмножество в $\mathbb R$, нижняя грань которого строго больше верхней.

По обычному упорядочению? Не укажу. Если речь о нижней и верхней границах, то они могут быть как меньше, так и больше друг друга. Если о супремуме и инфимуме, то они не существуют (как элементы $\mathbb R$).

[bot]

ewert в сообщении #224229 писал(а):

то они не существуют

Пусть в несобственном смысле - на расширенной числовой оси.

[ewert]

bot в сообщении #224230 писал(а):

ewert в сообщении #224229 писал(а):

то они не существуют

Пусть в несобственном смысле - на расширенной числовой оси.

Но это уже не $\mathbb R$.

[bot]

ewert, не придирайтесь - считайте, что я поправился. В общем - это обычный логический трюк того же типа, что и
$\sum\limits_{x\in \emptyset} x\ =0, \ \prod\limits_{x\in \emptyset} x\ =1$, также и $0^0=1$ в интерпретации есть ровно одно отображение из пустого множества в пустое.

[Gortaur]

bot
безусловно, такого множества нет. Если бы вопрос был такой "укажите множество элементов $\mathbb{R}$, для которых выполнено <невыплоняемое по определению условие>", то ответ был бы $\emptyset$. В Вашем же случае такого множества нет.

[ewert]

Gortaur в сообщении #224235 писал(а):

bot
безусловно, такого множества нет.

Есть. Для пустого множества любое число вообще является формально верхней границей. Поэтому супремум пустого множества как наименьшая верхняя граница равен минус бесконечности.

[bot]

Есть. На расширенной числовой прямой $\sup\emptyset = -\infty,\ \inf\emptyset = +\infty$

-- Вт июн 23, 2009 14:37:21 --

ewert опередил, но у него описка во втором предложении, вместо инфимума должен быть супремум.