Несобственные интегралы первого рода

[boh]

$$ F_Y(x)=\int\limits_{-\infty}^xf_Y(t)dt= \left\{ \begin{aligned} \frac{ab}{b-a} \int \limits_{-\infty}^x x^{a-1} ,x\in[0,1) \\ \frac{ab}{b-a} \int \limits_{-\infty}^x x^{b-1} ,x\in[1,+\infty) \\ \end{aligned} \right. $$

Подскажите, как считать эти несобственные интегралы, пожалуйста.

[Gortaur]

У Вас небольшие ошибки - например, когда Вы расписывали интегралы, поменяли переменную интегрирования - она теперь с верхним пределом совпадает и не поставили $dx$ или $dt$. А какие могут быть $a$ и $b$?

[boh]

Спасибо за замечания.

$$ F_Y(x)=\int\limits_{-\infty}^xf_Y(t)dt= \left\{ \begin{aligned} \frac{ab}{b-a} \int \limits_{-\infty}^x t^{a-1}dt ,x\in[0,1) \\ \frac{ab}{b-a} \int \limits_{-\infty}^x t^{b-1}dt ,x\in[1,+\infty) \\ \end{aligned} \right. a>1,b<-2. $$

[Gortaur]

Странно, либо Вы тут где-то $e$ забыли, либо верхний интеграл расходится при $a>1$. Если интегрировать не от нуля, конечно, а от минус бесконечности, как Вы написали. Поправьте меня, если я ошибся.

[boh]

Вообще, это функция распределения случайной величины. Вероятно, на этом интервале она не существует?

[ewert]

Судя по множителю перед интегралам и комментариям к иксам -- у Вас случайная величина положительная. Т.е. плотность вероятности на отрицательной полуоси равна нулю. А это значит следующее: хотя формально интеграл от плотности берётся от минус бесконечности до икса, фактически (после подстановки явного выражения для той самой плотности) он будет браться от нуля до икса. И ещё надо учесть, что плотность задана кусочно. В общем, должно быть так:

$$ F_Y(x)=\int\limits_{-\infty}^xf_Y(t)dt= \begin{cases} 0,\ \ x\in(-\infty;0); \\ \frac{ab}{b-a} \int \limits_{0}^x t^{a-1}dt ,\ \ x\in[0,1); \\ F_Y(1)+\frac{ab}{b-a} \int \limits_{1}^x t^{b-1}dt ,\ \ x\in[1,+\infty). \end{cases} $$

[Gortaur]

Собственно, оба интеграла легко берутся на собственных отрезках $[\alpha,1]$ и $[1,\beta]$, а затем просто приближайте $\alpha$ к 0, а $\beta$ к $\infty$.

Вряд ли Вам нужно найти главное значение, т.к. там играет роль разница в знаках, а плотность неотрицательна.