Связь между радиусами окружностей

[nn910]

Батороев в сообщении #223518 писал(а):

Как справедливо отметил nn910, для упорядочения по величине периферийных радиусов достаточно переставить между собой лишь две окружности (остальные варианты перестановок будут повторением данной).
При такой перестановке изменяются касания окружностей в двух местах. Как мне представляется, одно изменение компенсирует изменение другого.

Опять не так просто.Группа, порожденная обращением{4321} и циклом{2341}является группой инвариантов данной задачи.Длина ее 8= 4 цикла Х 2 обращения. Всего перестановок 4!=24, значит факторгруппа содержит 3 элемента(класса,представителями которых можно взять {1234},{1243} и {1324}) Для n данных радиусов, если они даны неупорядоченно, получится 0,5(n-1)! разных задач с вообще говоря разными ответами.

-- Вс июн 21, 2009 18:07:24 --

Даны радиусы 4 кругов, ищем пятый (r). Никаких внутренних касаний. Пусть$a=R_1+R_2+R_3+R_4$, $b=(R_1+R_2)(R_3+R_4)+(R_2+R_3)(R_1+R_4)$, $c=R_1R_2R_3R_4$, $d=(R_1-R_3)(R_4-R_2)$
Уравнение

$$(1-\dfrac{d^2}{16c})r^4+ar^3+\dfrac{b}{2}r^2-c=0$$

имеет ровно 1 положительный корень при $d^2\leq16c$ и ровно 2 при $d^2>16c$.Пример: $R_1=R_2=10$,$R_3=R_4=1$ - 2 корня 1,0028 и 9,7289 не только соответствуют реальным чертежам,но даже могут быть показаны на одном чертеже(центры О1 и О2 красные)-случайно,по причине симметрии.
$\begin{picture}(120,100)(100,-100) \put(-2,0){\circle{4}}\put(-10,0){D} \put(2,0){\circle{4}}\put(10,0){C} \put(-20,13){\circle{90}}\put(-18,15){A} \put(20,13){\circle{90}}\put(20,15){B} \color{red} \put(0,4){\circle{4}}\put(4,5){O1} \put(0,-22){\circle{90}}\put(4,-20){O2} \end{picture}$
anermak ввел $A=16c-d^2$,$B=16ac$, $C=8bc$, $D=16c^2$ и получил уравнение$Ar^4+Br^3+Cr^2-D=0$ (поздравляю,третьим будете). В общем дело вкуса какой системой параметров пользоваться

[anermak]

nn910 в сообщении #223682 писал(а):

(поздравляю,третьим будете).

а я и не говорил, что первый, напротив - писал

anermak в сообщении #222722 писал(а):

Забавно, что если рассматривать косинусы не $x_i$, а $x_i/2$
вытекает занятное симметричное равенство, с его помощью можно проще получить это ур-ие 4-й ст.

Я упростил Ваш громоздкий вывод ур-ия...
Который по-сути делается в две строчки...

[nn910]

anermak в сообщении #223752 писал(а):

Я упростил Ваш громоздкий вывод ур-ия...
Который по-сути делается в две строчки...

Да, был громоздкий, с арифм.ошибками. Кстати если хотели перейти к $r+B/4A$
так лучше к $\dfrac{1}{r}$

[anermak]

Dimoniada в сообщении #223351 писал(а):

Господа, поверьте, никакими хитрыми построениями/инверсиями/... (уже не раз упомянутое) ур-ние 4 степени на r Вы не "обманите". Сам пробовал. И личный опыт тоже подсказывает
)

Таки нет - я нашел Всем спасибо!!!