Распространение тепла в полуограниченном стержне.

[Николай]

Здравствуйте, форумчане.

Название темы соответствует параграфу из книги Кошляков, Глинер, Смирнов "Уравнения в частных производных математической физики". Решение уравнения $\frac{\partial w}{\partial t}=a^2 \frac{\partial^2 w}{\partial x^2}$ в полуограниченной области при начальном условии $w(x,0)=0$ и граничном условии $w(0,t)=\psi(t)$ есть:

$w(x,t)=\frac{2}{\sqrt{\pi}} \int\limits_{\frac{x}{{2a\sqrt t }}}^\infty {\psi \left( {t + \frac{{x^2 }}{{4a^2 \xi ^2 }}} \right)} e^{ - \xi ^2 } d\xi $. Найдём тепловой поток (точнее пропорциональную ему производную $\frac{\partial w}{\partial x}$). Мэйпл говорит, что $\frac{\partial w}{\partial x}=\frac{x}{{a^2 \sqrt \pi }}\int\limits_{\frac{x}{{2a\sqrt t }}}^\infty {\psi '\left( {t + \frac{{x^2 }}{{4a^2 \xi ^2 }}} \right)} e^{ - \xi ^2 } /\xi ^2 d\xi - \frac{{\psi (2t)}}{{a\sqrt {\pi t} }}e^{ - \frac{{x^2 }}{{4a^2 t}}} $. Здесь $\psi '\left( {t + \frac{{x^2 }}{{4a^2 \xi ^2 }}} \right)$ - производная по аргументу $t + \frac{{x^2 }}{{4a^2 \xi ^2 }}$. Попробуем вычислить тепловой поток на границе $x=0$: $\left. {\frac{{\partial w}}{{\partial x}}} \right|_{x = 0} = \mathop {\frac{1}{{a^2 \sqrt \pi }}\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {x\int\limits_{\frac{x}{{2a\sqrt t }}}^\infty {\psi '\left( {t + \frac{{x^2 }}{{4a^2 t}}} \right)\frac{{e^{ - \xi ^2 } }}{{\xi ^2 }}d\xi } } \right] - \frac{{\psi (2t)}}{{a\sqrt {\pi t} }}$. Следующий шаг вызывает у меня внутреннее сопротивление (в каких случаях это допустимо??):$$\left. {\frac{{\partial w}}{{\partial x}}} \right|_{x = 0} = \mathop {\frac{{\psi '(t)}}{{a^2 \sqrt \pi }}\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {x\int\limits_{\frac{x}{{2a\sqrt t }}}^\infty {\frac{{e^{ - \xi ^2 } }}{{\xi ^2 }}d\xi } } \right] - \frac{{\psi (2t)}}{{a\sqrt {\pi t} }} = \frac{{2\sqrt t }}{{a\sqrt \pi }}\psi '(t) - \frac{1}{{a\sqrt {\pi t} }}\psi (2t) = \frac{1}{{a\sqrt {\pi t} }}\left( {2t\psi '(t) - \psi (t)} \right)$.

Если даже последний шаг неверный (а в частном случае $\psi(t)=t$ это верно), то из предпоследней формулы видно, что тепловой поток на границе в момент $t$ определяется температурой в будущем - ($2t$). Это просто какой-то парадокс!

Буду благодарен любой помощи.

[ИСН]

У Вас парадокс (зависимость от будущего) начинается с самой первой формулы, с $\psi(t+whatever)$. Решения не проверял, но так быть не должно.

[Николай]

Хе, что-то я запутался. Это не так очевидно, если использовать запись решения $w(x,t) = \frac{x}{2a\sqrt(\pi)} \int\limits_0^t {\frac{{\psi (\tau )}}{{(t - \tau )^{{3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}} }}e^{ - \frac{{x^2 }}{{4a^2 (t - \tau )}}} d\tau } $. Заменой $\xi = \frac{x}{{2a\sqrt {t - \tau } }}$ решение преобразуется к вышеприведённому виду $w(x,t)=\frac{2}{\sqrt{\pi}} \int\limits_{\frac{x}{{2a\sqrt t }}}^\infty {\psi \left( {t + \frac{{x^2 }}{{4a^2 \xi ^2 }}} \right)} e^{ - \xi ^2 } d\xi $. Из последней записи, кстати, очевидно выполнение граничного условия при $x=0:$ $w(0,t)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\psi \left( {t} \right) \int\limits_{0}^\infty e^{ - \xi ^2 } d\xi $.

-- Вс июн 21, 2009 07:39:06 --

Ой,ой, подождите. начал смотреть внимательнее - похоже в одной из моих любимых книжек ошибки. Хотя бы $\tau=t-\frac{x^2}{4a^2\xi^2}$, а не $\tau=t+\frac{x^2}{4a^2\xi^2}$. Попробую более внимательно разобраться с самим решением и глянуть его в других книгах.

-- Вс июн 21, 2009 09:46:14 --

Проделав все выкладки, я получил ответ $w(x,t)=\frac{2}{\sqrt{\pi}} \int\limits_{\frac{x}{{2a\sqrt t }}}^\infty {\psi \left( {t - \frac{{x^2 }}{{4a^2 \xi ^2 }}} \right)} e^{ - \xi ^2 } d\xi $ (так что в Кошлякове небольшая опечатка, будьте бдительны ). Теперь вроде с физической точки зрения к решению нет претензий - влияние граничного условия на расстоянии $x$ сказывается с некоторым опозданием. Теперь буду выводить формулу для теплового потока.

[LetsGOX]

Вообще зависимость от будущего, это конечно, парадокс, но всетаки при некоторых домыслах это может быть уместно
Например, кактой эффект Ф1 зависит от будущего времени, но в то же время является следствием эффекта Ф2 Если последствия Ф2 распространятся с некоторым опозданием на эффект Ф1. И веротяно если дано описание формулой эффекта Ф1, то чтобы узнать его состояние, нужно знать состояние Ф2 на то время в будущем, как зависит скорость распространения эффекта
Пример, чтобы было понятно. Вселенная бесконечна, но скорость света ограничена, следовательно на земле мы наблюдаем состояние вселенной в прошлом! Чтобы описать текущее состояние дальних галактик, очевидно свет до земли придет только в будущем